El Poliedro de Szilassi (y 3)
Prosigamos según el esquema que nos hemos marcado en los dos post anteriores.
Vamos a investigar si puede existir un poliedro tridimensional con un agujero( topológicamente similar a una rosquilla o a un toro) que tenga la propiedad tetraedral consistente en que todo par de sus caras se encuentra en una arista.
Ahora el fórmula del Teorema de Euler nos dice que
C V + A = 2 2h
Como h es el número de agujeros, y ahora tenemos uno, la cosa queda así:
C V + A = 0
Diremos que la característica de Poincaré de los poliedros con un agujero vale cero. Las otras dos ecuaciones que ligaban aristas , vértices y caras permanecen invariables, pues surgían naturalmente de la imposición de que cara par de caras compartieran una arista común.
Si introducimos aquellas dos ecuaciones, que eran:
A = C ( C 1 ) / 2
V = 2 A / 3
Obtenemos:
C2-7C=0 , que es lo mismo que:
C ( C 7 ) = 0
Que tiene dos soluciones; C=0 y C=7. La primera no nos interesa, porque con cero caras poco podemos hacer, y la segunda es la gran sorpresa:
Con siete caras, tenemos A=(7x6)/2=21 aristas y V=21x2/3=14 vértices. Así pues, parece existir un extraordinario poliedro con tan sólo siete caras, con 21 aristas y 14 vértices, que es topológicamente similar a una rosquilla por tener un agujero, y que además cada par de caras se encuentran en una arista. Podemos saber además que todas las caras son hexagonales, pues cada una de las siete debe tener una arusta común con las seis restantes. Sabemos también que de cada vértice salen exactamente tres aristas
Lajos Szilassi presentó en sociedad tal joya geométrica en el año 1.977: el heptaedro toroidal , o poliedro de Szilassi.
Tiene exactamente las propiedades que hemos predicho: tiene un agujero, siete caras hexagonales, 21 aristas y 14 vértices. Pueden admirarlo en la figura. Si alguien tiene el interés de construirlo, tiene también el desarrollo del mismo.
Espero que les parezca, como me parece a mi, maravilloso que podamos saber todas las características importantes de un objeto mucho antes de que sea descubierto. Con la única fuerza del razonamiento matemático.
¿Se acuerdan del teorema de los cuatro colores?
Cuatro colores bastan para colorear cualquier mapa sobre un plano o sobre una esfera de forma que dos países que comparten frontera común sean de distinto color.
El teorema era topológico, de forma que nada nos afirma del número de colores necesarios para un mapa sobre un toro, por ejemplo. ¿Qué relación tiene esto con el poliedro de Szilassi?
De ello hablaremos en el siguiente post.
Vamos a investigar si puede existir un poliedro tridimensional con un agujero( topológicamente similar a una rosquilla o a un toro) que tenga la propiedad tetraedral consistente en que todo par de sus caras se encuentra en una arista.
Ahora el fórmula del Teorema de Euler nos dice que
C V + A = 2 2h
Como h es el número de agujeros, y ahora tenemos uno, la cosa queda así:
C V + A = 0
Diremos que la característica de Poincaré de los poliedros con un agujero vale cero. Las otras dos ecuaciones que ligaban aristas , vértices y caras permanecen invariables, pues surgían naturalmente de la imposición de que cara par de caras compartieran una arista común.
Si introducimos aquellas dos ecuaciones, que eran:
A = C ( C 1 ) / 2
V = 2 A / 3
Obtenemos:
C2-7C=0 , que es lo mismo que:
C ( C 7 ) = 0
Que tiene dos soluciones; C=0 y C=7. La primera no nos interesa, porque con cero caras poco podemos hacer, y la segunda es la gran sorpresa:
Con siete caras, tenemos A=(7x6)/2=21 aristas y V=21x2/3=14 vértices. Así pues, parece existir un extraordinario poliedro con tan sólo siete caras, con 21 aristas y 14 vértices, que es topológicamente similar a una rosquilla por tener un agujero, y que además cada par de caras se encuentran en una arista. Podemos saber además que todas las caras son hexagonales, pues cada una de las siete debe tener una arusta común con las seis restantes. Sabemos también que de cada vértice salen exactamente tres aristas
Lajos Szilassi presentó en sociedad tal joya geométrica en el año 1.977: el heptaedro toroidal , o poliedro de Szilassi.
Tiene exactamente las propiedades que hemos predicho: tiene un agujero, siete caras hexagonales, 21 aristas y 14 vértices. Pueden admirarlo en la figura. Si alguien tiene el interés de construirlo, tiene también el desarrollo del mismo.
Espero que les parezca, como me parece a mi, maravilloso que podamos saber todas las características importantes de un objeto mucho antes de que sea descubierto. Con la única fuerza del razonamiento matemático.
¿Se acuerdan del teorema de los cuatro colores?
Cuatro colores bastan para colorear cualquier mapa sobre un plano o sobre una esfera de forma que dos países que comparten frontera común sean de distinto color.
El teorema era topológico, de forma que nada nos afirma del número de colores necesarios para un mapa sobre un toro, por ejemplo. ¿Qué relación tiene esto con el poliedro de Szilassi?
De ello hablaremos en el siguiente post.
4 comentarios
Crystal -
rimblow -
Vailima -
Shunt -
Esto me recuerda los calidociclos.
Os dejo un enlace. Perdonad si está muy visto:
http://www.oni.escuelas.edu.ar/2002/buenos_aires/infinito/calidoci.htm