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Tio Petros

Una vuelta de tuerca al problema de Monty Hall

Una vuelta de tuerca al problema de Monty Hall En los comentarios de un post anterior se mencionaba el famoso problema de Monty Hall. No tenía intención de hablar de él, por aquello del compromiso inicial de huir del tópico; pero he encontrado una vuelta de tuerca al asunto muy interesante.

Recordemos el problema y su solución:

En un concurso nos ofrecen tres cofres: uno con un premio y dos vacíos. Elegimos uno de ellos, y luego el presentador nos abre uno de los otros dos, que está vacío. Ahora nos da la oportunidad de quedarnos con nuestra elección primera o cambiar. Supondremos que el presentador nos ofrece el cambio siempre, que no es una estrategia que use a su conveniencia.¿Qué debemos hacer?


La solución del problema es que debemos cambiar: de esta forma doblamos las posibilidades de llevarnos el premio. No quiero incidir en esto, pues está muy hablado ya, y el que no se lo crea puede revisar en la web mil páginas que lo explican. La aceptaremos sin discusión.

La vuelta de tuerca es la siguiente:

Tenemos TRES concursantes, cada uno de los cuales ha elegido un cofre distinto. El presentador abre uno de los cofres vacíos, con lo que el concursante correspondiente queda eliminado. Ahora, los dos restantes, que conocen la solución al problema de Monty Hall, cambian sin dudar sus respectivos cofres para doblar sus posibilidades: pero esto es absurdo!

Entre ambos tienen siempre el 100% de posibilidades, es imposible que doblen sus probabilidades ambos a la vez. Por otro lado, no vemos que ninguno de los dos concursantes pueda tener ventaja alguna sobre el otro...

¿Qué sucede aquí?

Quisiera animarles a participar con sus comentarios. Los comentarios son los que le dan vida al blog. Cada comentario es un regalo para el autor y para el resto de los lectores.

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42 comentarios

Ronald Becerra -

Respondo al comentario sobre el concurso televisivo del japonés y del español.

El concursante japonés no tiene manera de saber cuál de las puertas es la que corresponde a la original en el concurso Monty Hall del español y cuál es la otra que dejó cerrada el presentador, así que es tan probable que escoja una como la otra. Una vez escogida la B, el japonés ha elegido la puerta que tiene 2/3 de probabilidad, sólo que no lo sabe y todavía piensa en 1/2.

Eso de que la probabilidad dependa de su conocimiento o no no debe parecer nada raro, porque si lo vemos desde el punto de vista del presentador, una vez que el concursante ha elegido ya sabe si acertó o perdió (100% de probabilidad o 0%), así que ahí ya no cuenta el 2/3. Nota que cuando dices que ya ha escogido la B te estás restringiendo a un caso específico, porque no necesariamente tuvo que haber escogido ésa. Lo que hace la diferencia entre los dos concursantes es el momento en que tienen que elegir, no cuando ya hayan elegido. El concursante español puede darse el lujo de forzar su elección a la puerta que tiene mayor probabilidad porque sabe cuál es, mientras que el otro no.

Si se repitiera el experimento muchas veces, el japonés aproximadamente la mitad de las veces habría escogido la puerta que para el español era la original, y aproximadamente la mitad la otra, por lo que al final terminaría ganando 1/2 de las veces.

Esto también te debería aclarar el segundo escenario que planteas. Cuando la otra persona le informa, solamente le advierte que ya está en el caso específico en que tiene 2/3 de probabilidad, pero eso no va a cambiar si va a ganar o no. De todos modos, cuando el presentador le abriera la puerta, le estaría informando si tiene 100% o 0%.

Juan carlos z s -

Hola quiero comentar pero no me deja, será que porque es muy extensa mi explicación?

Juan carlos z s -

Porque dices que si hay 22 cajas y si solo una tiene el premio mayor la probabilidad de dar con ella es 1/22, hasta ahi concuerdo, pero decir que entonces en 22 intentos tendriamos 1 acierto para el premio gordo, ahi no concuerdo contigo. Es facil caer en la trampa de la intuición en que si multiplico la probabilidad por un numero n de intentos para tener 1 (exito) pues ese exito lo conseguire en n intentos. Siendo mas generalbla formula que propones es: p*(p^-1*m)=m donde m son los exitos y (p^-1*m) los intentos para tner esos m exitos. Pues dejame decirte que esa fórmula es valida pero no como dices sino que da el numero de exitos m que es mas probable sacar en (p^-1*m) intentos. Es decir en el caso de las 22 cajas, en 22 intentos podriamos fracasar en todos, tener 1 solo exito, 2, 3 ... 22. Pero es mas probable sacar un exito en 22 intentos (p=.376) ya fracasar en los 22 intentos es p=.359, de 2 exitos en 22 intentos p=.188. Asi que el pico esta en 1 exito. Pero aunque haya 22 intentos (programas) no podriamos asegurar (ya que en esto nada es seguro) ni tampoco podemos decir que es muy probable sacar al menos 1 exito porq la prob para q eso ocurra en 22 intentos es p=.64 que no es muy alta comobpara casi asegurar. El tal casobnecesitariamos de 50 intentos ya hay una p=.9 para que ocurra al menos 1 exito. Espero mr haya dado a entender.

Juan carlos z s -

Bueno antesbque nada escribire rapido y sin cuidar la ortografia porque es mucho y tengo prisa, pero me gusta impartir conocimiento. El objetivo en elproblema de monty hall es diferente al de la tuerca. En uno es la probabilidad de ganar siempre jugando cambiando en la segunda etapa del juego. En la tuerca es la probabilidad de ganar dado que has pasado a la segunda etapa del juego, esta última es una probabilidad condicional, y sin mucho es 0.5. La probabilidad en monty hall no es condicional, se puede usar probabilidades condicionales para hallarla como muestras en tu blog anterior es donde la probabilidad a calcularves P(ganar y cambiar)=P("fallar en la primera etapa, cmbiar" y "ganar')=P(fallar en la primera, luego cambiar)*P(ganar

Juan carlos z s -

Bueno antesbque nada escribire rapido y sin cuidar la ortografia porque es mucho y tengo cosas que hacer, pero me gusta impartir conocimiento. El objetivo en elproblema de monty hall es diferente al de la tuerca. En uno es la probabilidad de ganar siempre jugando cambiando en la segunda etapa del juego. En la tuerca es la probabilidad de ganar dado que has pasado a la segunda etapa del juego, esta última es una probabilidad condicional, y sin mucho es 0.5. La probabilidad en monty hall no es condicional, se puede usar probabilidades condicionales para hallarla como muestras en tu blog anterior es donde la probabilidad a calcularves P(ganar y cambiar)=P("fallar en la primera etapa, cmbiar" y "ganar')=P(fallar en la primera, luego cambiar)*P(ganar

antonio dieguez -

creo que la solucion seria cambiar de caja cada vez que gane por que olvidamos que la estatística siempre és de cada 3 veces lo cual acertamos 1 de 3 que es cuando ganamos   las otras dos perdemos que es cuando cambiar osun saludo

lino -

Obvio la probabilidad de ganar es 1/3 para ccada uno de los tres ya que cada uno elige al azar una puerta de tres y por mucho que intercambien los que siguen jugando no parece razonable pensar que esto incida en sus probabilidades de ganar...
Me parece especialmente vibrante la entrada de agagar con la variante japonesa.
Comentar que el problema aquí es el propio problema, es decir , si por alguna extraña razón el japo siempre elige la misma caja que el concursante experto de Monty Hall tendría , medie llamada telefónica o no, la misma probabilidad de acertar que el agudo concursante: 2/3,. Estaríamos hablando aquí, por supuesto, de una probabilidad condicionada.

Fina -

No hay paradoja. Si se abre una puerta las posibilidades aumentan al 66% tanto si cambias como si no lo haces. Por otra parte, cuando se abre una puerta se acaba el problema inicial y se entra en otro de 50/50. Son dos problemas distintos, con dos soluciones distintas, pero ninguna da lugar a una paradoja.

arovis -

Si damos por hecho que los que pasen a segunda ronda cambiaran sus cofres, entonces todo se decide en la primera ronda con la misma probabilidad:
- 33,3% de probabilidad de elegir el coche en la primera y perder.
- 33,3% de probabilidad de elegir el cofre que abrirá Monthy y perder.
- 33,3% de probabilidad de elegir la otra cabra y ganar.

Hola -

Hola con respecto al juego de las puertas observen las estadísticas:
Estadística del Juego
6 total partidas
100 % Ganas cuando no cambias. (3 de 3)
33 % Ganas cuando cambias. (1 de 3)

Wilmar Rodriguez -

Tengo otro punto de vista para el problema de Monty Hall: De las tres opciones dadas, al seleccionar inicialmente cualquiera de ellas se estaría pidiendo simplemente que le dejen sólo dos, es decir un 50-50, lo que corresponde a una probabilidad de 1/2 la cual difiere de 1/3 y de 2/3 correspondiente a las explicaciones anteriormente dadas. Cabe notar que entiendo perfectamente dichas explicaciones y no las contradigo, pero me queda la gran duda de la probabilidad correcta.
En la vuelta de tuerca la probabilidad es de 1/3 por que cabe la posibilidad de que el eliminado seas tu, si logras pasar dicha probabilidad se convierte en 1/2 por lo que daría lo mismo cambiar o no cambiar de baúl.

Muchas gracias por estos interesantes problemas

Riko -

Hola, yo creo que otro problema esta en las posibilidades totales que estais considerando. Las posibilidades no son 3 como bien decís, dependiendo del orden en que se escoja (si eres el 1º, 2º o 3º) hay unas 54 posibilidades. Si yo escojo la 2ª caja el segundo solo puede escoger la 1ª o la 3ª, y una vez escoja la que quede para el último; pero hay que tener en cuenta que no tienes por que ser el primero y si es así las posibilidades varian de un simple 3 mucho. Y en el segundo apartado, cuando uno marcha, el problema no cambia, solo que ahora tienes una probabilidad condicionada, y sería algo parecido al problema de Hall. Un saludo

Esteban Rozo -

El problema de monty hall no tiene nada que ver con este problema, ya que en el problema de monty hall, el presentador abre cualquiera de las otras dos puertas excepto la mía. Sin embargo, en el problema de los 3 cofres, el presentador sencillamente puese echarme a mí del juego. Por ende en la primera elección la probabilidad de escoger un cofre que no esté vacio, es de 2/3. Al tomar al tomar la siguiente elección, la probabilidad pasa a ser de 1/2, ya que son eventos independientes, mientras que en el problema de monty hall la elección del presentador depende de la elección del jugador. así que es indiferente si se escoje cualquier cofre.

Omar -

A esto ultimo si el concursante de japon ve que hay dos puertas cerradas y una abierta va a tener la misma probabilidad que el que estaba en españa( 66%), ahora si sólo viera las dos puertas cerradas tendria un 50% porciento de posibilidades. En conclusion esto es relativo es decir depende del contexto o del enfoque que le des.

Ahora acerca de los tres cofres si ambos han visto que uno de los cofres no tenia nada y ambos deciden intercambiar se da lo siguiente: que ambos tienen 2/3 de posibilidades de ganar el premio mayor, PERO tambien tienen ambos 1/3 de posibilidades de perder. Esto hay que tomarlo del punto de vista individual y no grupal y si lo toman desde este punto de vista se daran cuenta que se da lo mismo que en el problema de Monty Hall.

agagar -

Estimados,

En un concurso televisivo japonés, se le presentan al concursante tres puertas, A, B y una puerta C abierta mostrando una cabra. Detrás de una de las puertas hay un coche. Obviamente no está detrás de la puerta C. El concursante escoje la B. Tiene 1/2 de probabilidad de conseguir el coche, ¿no? Las puertas de ese concurso no están físicamente en el plató, sino que se muestran en una pantalla.

Por otro lado, en un concurso televisivo español se está jugando al Monty Hall. Hay tres puertas, el concursante escoje la A, el presentador abre la C, se descubre que escondía una cabra, le pregunta si quiere cambiar de puerta o quedarse con la misma, el concursante cambia a la puerta B. En ese momento tiene 2/3 de probabilidad de ganar. En ese momento realizan una conexión en directo desde un concurso japonés.

El concursante japonés ve en pantalla tres puertas, dos cerradas (A, B) y una abierta (C) que muestra una cabra. Son las puertas del concurso español, pero él no lo sabe. Escoje la B.

En ese instante simultáneo y en juego físicamente las mismas puertas, y habiendo elegido la misma puerta B, el concursante español tiene 2/3 de probabilidad de ganar, y el concursante japonés solo 1/2. ¿Eso es así aunque le cueste a la intuición, no?

Variante: El concursante japonés ve tres puertas, dos cerradas (A, B) y una abierta (C) que muestra una cabra. Piensa en escojer la B. Tiene 1/2 de probabilidad de ganar. Recibe una lamada de un amigo español que le informa de que esas puertas que está viendo en pantalla son las de un concurso tipo Monty Hall en que el concursante ha cambiado de puerta a la B. Por esta llamada, el concursante japonés pasa a tener 2/3 de posibilidades de ganar en vez de 1/2, ¿no?

Posiblemente sea muy obvio para vosotros, pero agradecería cualquier aclaración, no soy matemático y mi intuición se niega a entenderlo aunque la lógica (y los resultados experimentales) digan que es así.

Gracias de antemano,

Francisco -

Es claro que los dos tienen que cambiar la caja, pues tendrían el 66% de obtener el premio y no hay interferencia en las probabilidades pues cada uno tiene un suceso independiente.
NO veo la diferencia

Fernando -

Hay una diferencia muy importante entre el problema de Monty Hall original y esta vuelta de tuerca.

En el problema de Monty Hall original, el concursante sabe que, tanto si la puerta elegida inicialmente tiene premio como si no, nunca se abrirá su puerta. Por tanto, al abrir otra puerta, no se le da ninguna información adicional.

En cambio, en la "vuelta de tuerca", si tu puerta no tiene premio, tú puedes ser el que sea eliminado al principio. El hecho de que tú no hayas sido eliminado, sí te proporciona información adicional.



paco -

La solución que ofrece la ciencia tiene graves errores:

http://www.artstudiomagazine.com/tecnologia/critica-paradojas-ciencia-monty-hall.html

R. Jorge -

Otro ejemplo similar: Supongamos que escojo un número del 1 al 6 (pongamos que escojo el 2), Alguien tira un dado, a priori la probabilidad de acertar es 1/6. Alguien observa el dado y me da una información: ha salido par y menor que 6, ¿cual es ahora la probabilidad de haber acertado?
Evidentemente es 0,5

¿Escoger entre cambiar o no? ¡Yo lo decidiría a cara o cruz!

R. Jorge

R. Jorge -

Estoy de acuerdo con Manolo (…un año después…)

¿Nos hemos olvidado de la condicionada?
Las explicaciones de mejora se basan en la distribución a priori: en el primer espacio teníamos tres cajas equiprobables y un tercio de ganar.
Pero en el momento que nos dan una información (una de las cajas está vacía) el espacio probabilístico ha cambiado: la probabilidad de haber acertado ya no es de 1/3. Solo hay dos resultados posibles que siguen siendo equiprobables y por lo tanto las probabilidades (condicionadas, evidentemente) son 0,5, es decir P(C1= premio

joel -

bueno aqui falta ver si los dos tienen que estar de acuerdo de cambiar o si puede uno cambiar y el otro no, pudiendo asi tener dos ganadores, un ganador o ningun ganador. si cada uno puede elegir cambiar independientemente del otro, entonces para empezar tendria 2/3 de probabilidad de pasar "a la segunda ronda" y ya estando ahi tendria 1/2 de probabilidad de que sea su caja la ganadora, por lo que entonces cada concursante tendria 1/3 de probabilidad de ganar el premio.

iris moreno -

En primer lugar creo que no podría hacerse, porque como eleguirían a cual de los dos participantes que tienen la cabra eliminar en primera instancia. Sería siempre inusto para la otra persona que también tiene la cabra.

En segundo lugar, las probabilidades de ambos serían iguales una vez que se destape la primera cabra. Porque? Forzozamente uno tiene una cabra y uno tiene un coche. Cambiar de caja neutraliza las posibilidades ya que le da ventaja a uno de los jugadores pero se la quita al otro.

Valentín -

El problema que le veo a la explicación de Angel es que en el caso de tres concursantes, cuando queden 2; siempre habrá un ganador y un pededor, por lo que en 100 casos habrán 100 ganadores y 100 perdedores. En definitiva a largo plazo siempre sería lo mismo cambiar o no. Creo que la diferencia es, si el virtual concurso lo permite, que de los 2 últimos jugadores individualmente cada uno cambie o no, teniendo así la posibilidad de superponerse 2 personas en la misma elección. Allí si a largo plazo se verá cuantos premios se entregaron y cuantos no, sabiendo por la teoría de que serán más los premios entregados que cabras.

Angel -

Yo creo que Alvi lo pone sencillo pensando de nuevo en llas 1000 cajas.
Creo que no debemos confundir, mayor probabilidad con certeza total.
Cada jugador tiene 2/3 de probabilidad de acertar si cambia de caja el otro tercio hasta la unidad es el caso de no cambiar.
Pero que yo tenga 2/3 de probabilidad de acertar cambiando de caja, no implica que acierte seguro.

Si pensamos en el problema original (que es el mismo) se aconseja cambir de caja porque hay más probabilidad de acertar, pero eso no implica certeza total, el premio podría estar en la caja que abandonas, es menos probable, pero al fin y al cabo posible.

Gabriel -

Quedan 1/2 y 1/2 de posibilidades porque no contamos todos los casos en los que nosotros somos eliminados los primeros de todos (que son 1/3 del total). Claro, jugando con solo los 2/3 de los casos es normal que mi contrincante y yo estemos igualados.

Gabriel -

No veo realmente la diferencia con el Monty Hall original. En el original tu tenias 1/3 de posibilidades de estar acertado en principio, y al eliminar el presentador una caja la tercera caja reune 2/3 de ser acertada. Por tanto tu escoges cambiar de caja. Supongamos que en el segundo concurso con vuelta de tuerca el concursante eliminado no existe o es un muñeco de cera. Supongamos que el otro concursante en lid es tambien un muñeco de cera, aunque a nosotros nos tenga engañados, pero realmente es un objeto, una fantasía, y no existe para nada. ¿No puede ser que YO cambiando gane 2/3 veces y ÉL pierda esos 2/3 de las veces? De todos modos hay restricciones extrañas: ¿y si uno de nosotros quiere cambiar y el otro no?

Juan Fer -

Hola. Yo soy nuevo aqui, y se me hizo interesante este razonamiento de las cajas. Veamos, en el Monty hall original, si podias doblar las posibilidades, pero en esta propuesta la ventaja se pierde ya que tienes igual de probabilidades que el otro concursante para ganar, como han dicho anteriores autores en este blog. Por lo tanto, la solucion es simple: quedate con la caja que tienes.

Manolo -

Menuda forma de liar probabilidades a priori y a posteriori...

El proceso por el que se halla llegado a la situación os debería dar lo mismo. El hecho es que la probabilidad de que la caja que tienes tenga premio es equiprobable con que no lo tenga.

[Quique] -

Ha pasado el tiempo, pero tal vez Ivan vuelva a leer por aquí. Y es que lo has dicho tan claro, Ivan:

"yo si cambio mi caja vacía me gano un lindo autito" (fíjate y verás que esto pasa dos veces de cada tres!)

"si tenia la caja con el premio no lme llevo nada" (fíjate que esto sólo pasa una de cada tres veces!)

Por lo tanto, ganarás el lindo autico conprobabilidad 2/3.

Consejo eterno: coje dos bolas blancas y una negra (el auto). un dao, tres cajitas, un ayudante y hazlo muchas veces. Anota los resultados. De 100 veces, ¿cuantas veces conseguiste el auto?

Ivan -

Este clasico me intentaron de explicar miles de vezes pero sigo dudando. Por que despues q se descarto la tercer caja, yo si cambio mi caja vacia me gano un lindo autito, pero si tenia la caja con el premio no me llevo nada, y yo no se si en mi caja tengo algo o no.....
y el monty hall este siempre va a descartar unacaja vacia. No entiendo.

Abraham -

Se podria aplicar dicho teorema al programa ALLA TU de telecinco, el de las cajas, llevamos toda la mañana pensandolo...gracias.

tio Johnny -

Mi explicación que veo equivalente a la de Mariano:
El experimento aleatorio es diferente en ambos casos.En la formulación original: la probabilidad de haber elegido el cofre con el premio es 1/3 y de haberse equivocado 2/3 de ahí que convenga cambiar el cofre. En la nueva formulación hay 1/3 de haber elegido el premio,1/3 de ser descartado por el presentador y 1/3 de no ser descartado y no haber elegido el premio. Los dos concursantes "en pie" tiene probabilidades equivalentes de tener el premio.

Alvy -

Yo creo que de aunque la probabilidad pasa de 1/3 a 1/2 es necesario cambiar para que eso suceda. Como en el Monty Hall original, creo que se ve mejor con 1.000 cajas.

El presentador retira a 998 concursantes y deja a dos. Cualquiera de esos dos tenía originalmente 1/1000 de ganar el premio, ahora quedan solo dos cajas. Y para que la probabilidad pase a ser 1/2 deben cambiar de caja. Al menos yo lo haría.

Tio Petros -

Y dicho esto, aprovecho para decirte, Sam; que yo también espero verte pronto.
Como le pasó a uno de los Bernoulli cuando vió el problema de la braquistocrona resuelto por Newton y firmado con seudónimo, así me ha pasado a mi: "por las garras conocemos al león".

Tio Petros -

No seré yo quien añada una coma a las perfectas explicaciones que habeis dado aquí. Mariano dió en el clavo con certeza, concisión y claridad; y Sam Berimbad remató la jugada.

Sam Berimbad -

...Y dicho esto, aprovecho para felicitar efusívamente a mi querido amigo "Tio Petros" por dejarnos un trocito (¿fractal?) tan brillante de sí mismo, inconfundible por otro lado, en la web. Gracias por volver a contagiarme un poquito de tu pasión por las cosas bellas y por hacerlo con tanta agudeza, lucidez y gracia. Leyendo tus magníficos artículos, siento nostalgia de tiempos pasados y, tal vez, un poco de tristeza por no haber seguido un camino paralelo al que tu seguiste. Espero verte pronto para poder darte un fuerte abrazo.

Sam Berimbad -

Abundando en la explicación de Mariano:
En el problema original el presentador tiene una restricción: no puede abrir el cofre elegido por el concursante (y sí cualquiera de los otros dos); por tanto, el retirar un cofre vacío no aporta ninguna información sobre un cambio en la probabilidad del primero (el cofre del concursante no es retirado, no porque tenga premio o lo deje de tener, sino porque no está permitido por las normas del concurso). La probabilidad de éste de albergar el premio sigue siendo 1/3 (mientras que el resto de la probabilidad, 2/3, se distribuye ahora por entero en el cofre restante).
Esta restricción o ligadura no existe en la vuelta de tuerca que plantea Tio Petros. A priori, cualquiera de los tres cofres puede ser abierto por el presentador; el hecho de retirar uno vacío nos informa, ahora sí, de un cambio en la probabilidad de los otros dos (cualquiera de ellos puede tener el premio con igual probabilidad). El total de la probabilidad se distribuye pues, simétricamente entre los dos cofres restantes (como dice Mariano, pasa de 1/3 a 1/2 en los dos cofres que quedan). Cambiar de cofre no beneficia a ninguno de los dos concursantes.
El matiz diferencial de ambos casos es pues, la presencia o ausencia de dicha restricción.

[Quique] -

Creo que Mariano le ha hincado el diente al problema, pero la vuelta de tuerca sigue en pie: los concursantes que quedan concursando tras la apertura del cofre no tienen por qué saber nada del otro/otros concursantes. Para cada uno de ellos por separado, la experiencia es exactamente la misma q en el problema original, y la paradoja, de alguna manera, se mantiene. Debe haber una circunstanca, simple de señalar y entender q nos mostrara con claridad en qué radica la diferencia. Dudas.

Mariano -

La clave es que no es seguro que uno pueda hacer la eleccion, puede ser uno mismo el que se queda afuera cuando el presentados abre un cofre. En el problema original era una certeza que el presentador abriera un cofre diferente al que habíamos elegido. De esta manera, la probabilidad (1/3) de haber acertado se mantenía (y pasaba a 2/3 en caso de cambiar). En este caso no es una certeza que el presentador no nos va a dejar afuera, por lo que la probabilidad de haber acertado pasa de 1/3 a 1/2 en el momento en que el presentador no abre el cobre que habíamos elegido.

Alvy -

Yo diría que ambos realmente mejoran sus probabilidades, como en el original.

Shunt -

Las condiciones han cambiado mucho. Ahora hay tres concursantes y están condicionados a elegir un cofre distinto cada uno. Había que ver cómo se ponían de acuerdo :-)
Luego echan a uno en la primera fase. Esto supone que el resto del protocolo ha quedado desvirtuado respecto del original. Se podría decir que si te quedas, da igual si cambias o no. Y si te echan es como si te divides entre cero :-) El que se va se lleva la esencia del problema original.
Lo que sí podrían hacer los que quedan es ponerse de acuerdo para no cambiar (o hacerlo los dos) y así asegurarse el premio. Claro que, en las conversaciones tripartitas iniciales, podrían haber acordado llevarse 1/3 cada uno. En resumen, ya no es lo mismo.

rimblow -

Primero he de decir que me encanta que nos hagas piques (para pensar un ratillo). Respecto al problema no tengo ni idea, no se si puede ser porque cada uno de los concursantes es un suceso independiente que no incurre realmetne en la probalidad del otro concursante, por lo que ambos si doblan su probabilidad...Espero que como tu dices, la gente se anime a participar, espero diariamente los comentarios y por su supuesto tus artículos,.... Adelante!!!! Gracias!!!
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