Género de una superficie cerrada.

Cuando hablamos del poliedro de Szilassi, dijimos que en número de caras menos el de aristas más el de vértices es una constante para todos aquellos cuerpos que comparten una propiedad importante: el género. Vimos que, básicamente el género lo dictaba el número de agujeros pasantes que el cuerpo tuviera. Así, una esfera maciza tenía género igual a cero, un toro (donut) lo tenía igual a 1, etc.

La fórmula de Euler generalizada, quedaba entonces así:

C - A + V = 2 - 2 g

Esta cantidad es invariante por transformaciones contínuas, de hecho es el invariante topológico por excelencia, y recibe el nombre de Característica de Poincaré

Para aquellos cuerpos que no tengan ni caras ni aristas ni vértices por ser curvos, la importancia de la Característica de Poincaré sigue siendo idéntica dado que siendo una característica topológica, siempre podremos triangular el cuerpo y obtener otro topológicamente equivalente al dado, pero con caras planas. EL nuevo cuerpo así conseguido siempre tendrá la misma característica de Poincaré, sea cual sea la triangulación que efectuemos, por lo que se trata de una propiedad intrínseca del cuerpo original.

El poliedro de Szilassi era de género igual a la unidad, por ser topológicamente equivalente a un toro, por lo que en dicho poliedro se debe cumplir que C - A + V = 0 , cosa que así ocurría en efecto.

Hablemos de superficies orientables, acotadas y cerradas; que son las más simples. Una superficie diremos que es orientable cuando queda perfectamente definido un volumen que encierra dicha superficie, que llamaremos interior . Así, evitaremos referirnos en este post a objetos más complicados, como la botella de Klein , para la cual tal cosa no ocurre.

Pues bien; resulta que incluso para estos objetos sencillos, a veces es difícil encontrar el género. La forma más intuitiva, y perfectamente válida de hacerlo, es imaginar deformaciones continuas (homeomorfismos), de forma que pasemos de la figura dada a una en la que el género se vea de forma trivial. Estos cuerpos triviales son la esfera (g=0), el toro (g=1), y el toro de n agujeros (g=n).

Como ejemplo, les invito a que intenten encontrar el género del cuerpo que les propongo: se trata de una esfera maciza con tres agujeros; pero ojo: no son tres agujeros pasantes, sino que los tres se encuentran en el centro. En la ilustración se ve también un corte de la misma para comprenderla mejor.Si los tres agujeros fueran pasantes, el género sería trivialmente tres: es muy fácil deformar dicha figura y convertirla en un donut de tres agujeros. Pero la figura propuesta es un poquillo más perversa...

Les espero.

6 comentarios

[Rimblow - 13 de enero de 2004 - 14:29]

Pues me habeis convencido, es de género 2, venga vale...

[Shunt - 13 de enero de 2004 - 14:16]

Pues... agrandando mucho un agujero y aplanando la figura parece... ¿un plato con dos asas? Sería entonces como un toro con dos agujeros, también me apunto, género 2... ??? Y lo peor será cuando ni siquiera haya manera de visualizar los objetos.

[Sam Berimbad - 13 de enero de 2004 - 12:46]

Upps perdón, quise decir que finalmente, tendríamos un toro con una agujero más del que tiene por definición, usease, con 2 agujeros.

[Sam Berimbad - 13 de enero de 2004 - 12:41]

Parece claro que, con dos cualesquiera de los agujeros, se traspasa la bola y obtendríamos un toro. El tercer agujero traspasaría completamente el toro obtenido. Finalmente,(de acuerdo con Carlos) tendríamos un toro con un agujero, esto es: género 2. Aunque nunca se sabe, Tio Petros es un hábil prestidigitador y podría estar completamente equivocado.

[Carlos - 13 de enero de 2004 - 00:06]

Hay que darse cuenta que en una bola es equivalente a un toro si tiene un agujero que la traspasa de lado a lado, es decir,tiene un "tubo" que entra por un lado y sale por otro. Si tiene un agujero que no sale por el otro lado, podemos "hinchar la bola" hasta que la superficíe se estire y estire y se ponga lisa otra vez, es decir, sigue siendo equivalente a una bola. Ahora tenemos una bola con tubo que la traspasa, pero este tubo tiene una salida más. Con lo cual, a simple vista, parece algo intermedio entre un toro y un toro con dos agujeros.
No sé, no llego a visualizarlo bien. Pero lo que me parece es que tengo un tubo que traspasa la bola, y otro que no sé si la traspasa, no estoy seguro, pero diré que si, por lo tanto, es posible que tenga género 2, aunque mi figuración espacial ... no sé no sé ...

[rimblow - 12 de enero de 2004 - 14:27]

Ni idea, si por mi fuera diría que el genero es infinito, pero no tengo ni idea...