Base matemática de la música ( y 3 )
PRECISANDO LA NOCION DE DISTANCIA
Este es un buen momento para introducir el concepto de distancia, de forma tan general que sea aplicable tanto a distancias ordinarias entre puntos del espacio como a distancias entre notas musicales, o entre diferentes apuestas de un sistema de quinielas.
Previo a la necesidad de tal concepto, tenemos un conjunto X de objetos entre los cuales queremos difinir algo que pueda llamarse distancia.
El producto cartesiano X x X no es sino el conjunto de todos los pares de objetos de X de la forma (a,b). Pues bien; una distancia es una aplicación de X x X en R (conjunto de los reales), d: X x X -------- R que cumpla cuatro propiedades:
1.- d(a,b) mayor o igual que 0
2.- d(a,b)=0 si y solo si a=b
3.- d(a,b)=d(b,a)
4.- d(a,b) menor o igual que d(a,c)+d(c,b)
Por lo demás, tenemos plena libertad para elegir la función d. A partir de ahora consideraremos que las letras que representan notas en realidad representan las frecuencias en herzios de dichas notas. Para medir las distancias entre notas musicales, la función d(a,b)=b-a no es interesante. Hemos visto que es la relación de frecuencias la importante, no su diferencia. Dos notas con relación doble- mitad tienen la misma distancia según nuestra percepción (una octava), sin importar los valores absolutos de frecuencia de ninguna de ellas. Por lo tanto la distancia que nos interesa debe ser de la forma d(a,b)=b/a. Como para el caso de que a y b sean iguales la distancia debe ser cero (primera propiedad). Dado que el logaritmo de 1 es precisamente 0, y dado que las leyes logarítmicas son las que mejor se adaptan a la sensibilidad de nuestros sensores, tomaremos como función distancia:
D(a,b)=K. Abs( Log (b/a))
La K no es sino una constante de escala, sin la menor importancia teórica, aunque sí práctica como veremos. He tomado el valor absoluto del logaritmo para que se cumpla la propiedad 1. Como sabemos (ahora lo sabemos, porque ya hemos leído los dos post anteriores, verdaaaaaaad?) que una octava tiene 12 semitonos, si tomo K=1200/log(2), entonces un Do estará del Do inmediatamente superior a una distancia de:
(1200/log(2)) . log(2)=1200 unidades,
que llamaremos cents , y por lo tanto un semitono de la escala temperada, que era la que dividía la octava en doce intervalos idénticos, tendrá 100 cents. Un tono temperado 200, etc, etc.
Quede claro que los cents no son una unidad de frecuencia, de tono ni nada parecido: son una unidad de separación entre tonos.
Podemos calcular ahora cuántos cents tiene un intervalo de quinta justa, que es el que hemos utilizado para construir nuestra escala de posts anteriores.
quinta justa = log 3/2 x 1200/log2 = 701,955 cents
Recordemos que, por definición:
octava justa= 1200 cents.
Habíamos visto que doce quintas justas no eran idénticas a siete octavas. Efectivamente:
12 quintas= 12 x 701,955 = 8.423,46 cents
7 octavas = 7 x 1200 = 8.400 cents
La diferencia es exactamente el déficit de la quinta del lobo del post anterior, y se denomina coma pitagórica .
1 coma pitagórica= 23,46 cents
Así pues, todo el misterio está en repartir estos casi 23 cents y medio entre las doce quintas, en función de qué es lo que queramos conseguir. Si queremos facilidad en la afinación de instrumentos, y no somos muy exigentes (eso es exactamente lo que pasa con la música actual), repartimos equitativamente: 23,5/12= 1,95 cents por quinta; valor que aproximaremos a 2 cents por quinta. De esta manera, ninguno de los intervalos entre notas será perfecto (expresable por una de esas fracciones de pequeños números, que producían un gran equilibrio entre las ondas senoidales de ambas notas). Un oído entrenado lo notará.
Las otras posibles soluciones? Pues pasan por el compromiso de destrozar cierto número de quintas justas y dejar perfectas las demás. Una solución es la de Valotti, que consiste en elegir seis de las doce quintas y distribuir en ellas una coma pitagórica (4 cents por quinta elegida)
Otro sistema, llamado Werckmeister III lo hace tomando cuatro quintas y restando seis cents a cada una de ellas:
Por último, el sistema Kirnberger reparte 11 cents entre dos quintas consecutivas, dejando los 2 restantes para otra:
Cada uno de ellos tiene una razón de ser, presenta sus ventajas y sus desventajas, pero estas profundidades musicales exceden los límites de Tio Petros (entendiendo por Tio Petros tanto el blog como su autor).
Este es un buen momento para introducir el concepto de distancia, de forma tan general que sea aplicable tanto a distancias ordinarias entre puntos del espacio como a distancias entre notas musicales, o entre diferentes apuestas de un sistema de quinielas.
Previo a la necesidad de tal concepto, tenemos un conjunto X de objetos entre los cuales queremos difinir algo que pueda llamarse distancia.
El producto cartesiano X x X no es sino el conjunto de todos los pares de objetos de X de la forma (a,b). Pues bien; una distancia es una aplicación de X x X en R (conjunto de los reales), d: X x X -------- R que cumpla cuatro propiedades:
1.- d(a,b) mayor o igual que 0
2.- d(a,b)=0 si y solo si a=b
3.- d(a,b)=d(b,a)
4.- d(a,b) menor o igual que d(a,c)+d(c,b)
Por lo demás, tenemos plena libertad para elegir la función d. A partir de ahora consideraremos que las letras que representan notas en realidad representan las frecuencias en herzios de dichas notas. Para medir las distancias entre notas musicales, la función d(a,b)=b-a no es interesante. Hemos visto que es la relación de frecuencias la importante, no su diferencia. Dos notas con relación doble- mitad tienen la misma distancia según nuestra percepción (una octava), sin importar los valores absolutos de frecuencia de ninguna de ellas. Por lo tanto la distancia que nos interesa debe ser de la forma d(a,b)=b/a. Como para el caso de que a y b sean iguales la distancia debe ser cero (primera propiedad). Dado que el logaritmo de 1 es precisamente 0, y dado que las leyes logarítmicas son las que mejor se adaptan a la sensibilidad de nuestros sensores, tomaremos como función distancia:
D(a,b)=K. Abs( Log (b/a))
La K no es sino una constante de escala, sin la menor importancia teórica, aunque sí práctica como veremos. He tomado el valor absoluto del logaritmo para que se cumpla la propiedad 1. Como sabemos (ahora lo sabemos, porque ya hemos leído los dos post anteriores, verdaaaaaaad?) que una octava tiene 12 semitonos, si tomo K=1200/log(2), entonces un Do estará del Do inmediatamente superior a una distancia de:
(1200/log(2)) . log(2)=1200 unidades,
que llamaremos cents , y por lo tanto un semitono de la escala temperada, que era la que dividía la octava en doce intervalos idénticos, tendrá 100 cents. Un tono temperado 200, etc, etc.
Quede claro que los cents no son una unidad de frecuencia, de tono ni nada parecido: son una unidad de separación entre tonos.
Podemos calcular ahora cuántos cents tiene un intervalo de quinta justa, que es el que hemos utilizado para construir nuestra escala de posts anteriores.
quinta justa = log 3/2 x 1200/log2 = 701,955 cents
Recordemos que, por definición:
octava justa= 1200 cents.
Habíamos visto que doce quintas justas no eran idénticas a siete octavas. Efectivamente:
12 quintas= 12 x 701,955 = 8.423,46 cents
7 octavas = 7 x 1200 = 8.400 cents
La diferencia es exactamente el déficit de la quinta del lobo del post anterior, y se denomina coma pitagórica .
1 coma pitagórica= 23,46 cents
Así pues, todo el misterio está en repartir estos casi 23 cents y medio entre las doce quintas, en función de qué es lo que queramos conseguir. Si queremos facilidad en la afinación de instrumentos, y no somos muy exigentes (eso es exactamente lo que pasa con la música actual), repartimos equitativamente: 23,5/12= 1,95 cents por quinta; valor que aproximaremos a 2 cents por quinta. De esta manera, ninguno de los intervalos entre notas será perfecto (expresable por una de esas fracciones de pequeños números, que producían un gran equilibrio entre las ondas senoidales de ambas notas). Un oído entrenado lo notará.
Las otras posibles soluciones? Pues pasan por el compromiso de destrozar cierto número de quintas justas y dejar perfectas las demás. Una solución es la de Valotti, que consiste en elegir seis de las doce quintas y distribuir en ellas una coma pitagórica (4 cents por quinta elegida)
Otro sistema, llamado Werckmeister III lo hace tomando cuatro quintas y restando seis cents a cada una de ellas:
Por último, el sistema Kirnberger reparte 11 cents entre dos quintas consecutivas, dejando los 2 restantes para otra:
Cada uno de ellos tiene una razón de ser, presenta sus ventajas y sus desventajas, pero estas profundidades musicales exceden los límites de Tio Petros (entendiendo por Tio Petros tanto el blog como su autor).
15 comentarios
camila chicky -
francisxo -
aa
yomeyamo
francisco oyetienes
msn
aaaaaaa
elmioes
fracoco-2000@hotmail.com
listo
gagaga
aaaaaaaaaaaaa
camila -
la
s
como
estas
aaaaaaaaaaaaa
ya
tienesmsn
aaaaaa
sio
no
aaaaaaaaaaaaaa
dimenomas
aaaaaaaaa
gagagaga
yayayayaya
astayyegamos
aaaaaaaaaaaaa
jajajjajajjajajajajajj
aaaaaaa
ja
elmioes
francoco_2000@hotmail.com
esees
elmio
aaaaaaaaa
jajaja
aorafaltaeltuyo
aaaaaaa
siissiisissi
aaaaaaaaaaaaa
jajaja
toni -
ANTONIO -
charo -
Darby -
Tockeer -
1 (nota base) 0 C .do
2 2 semitonos D .re
3 4 semitonos E .mi
4 5 semitonos F .fa
5 7 semitonos G .sol
6 9 semitonos A .la
7 11 semitonos B .si
8 12 semitonos C .do
barby -
Tio Petros -
[Quique] -
Shunt -
Tio Petros -
Gracias por el aviso, quizás nunca me hubiera dado cuenta...
Rimblow -
Shunt -