La función de utilidad (2)
Ante un juego, o ante un problema de decisión, tenemos un conjunto de posibilidades de actuación, cada una de las cuales nos da un resultado. Quizás el resultado es determinista, quizás no lo es. En el primer caso diremos que estamos en ambiente de certidumbre, y en el segundo diremos que estamos en ambiente de riesgo.
La manera de unificar ambos ambientes es la siguiente:
Tenemos un conjunto A={A1, A2,..., An} de posibles estrategias o actuaciones que desembocan en resultados. Se supone que existe una relación entre los posibles resultados, que llamaremos relación de preferencia-indiferencia. El jugador debe saber decidir si entre dos resultados A y B prefiere uno, otro ,o le son indiferentes.
Una función de utilidad es una aplicación definida en el conjunto de posibles resultados A, con valores reales, tal que respeta la relación de preferencia entre los resultados. Esto es: si el resultado A es preferido al B, entonces la utilidad U(A) es mayor que la utilidad U(B).
Cuando nos movemos en ambientes probabilísticos, una actuación suele desembocar en posibles resultados: eligiendo la estrategia, X tenemos una probabilidad p1 de obtener el resultado A1, una probabilidad p2 de obtener el resultado A2... y una pi de obtener el resultado Ai. En este caso , una vez definida la función de utilidad de los sucesos Ai, la valoración de utilidad de la adopción de la estrategia o elección X será: p1·U(A1)+ ... + pi·U(Ai), donde la suma de todas las pi es lógicamente la unidad.
De esta forma, el ambiente de certidumbre se considera como una variedad del ambiente en riesgo, para el cual ante una determindad ectuación o estrategia, las probabilidades de todos los resultados posibles son cero excepto para uno de ellos, que vale uno: Hablamos de una distribución de probabilidad degenerada. Hablaremos pues de ambiente de riesgo, entendiendo que es el general que engloba al de certidumbre como caso particular.
John Von Neumann y Oscar Morgenstein establecieron la axiomática de las utilidad utilizando un concepto adicional: el de mixtura
Ante dos opciones X e Y, la mixtura de ambas se representa por pX+(1-p)Y. Aquí, tanto X como Y son actuaciones que llevan una distribución de probabilidad asociada de obtener los resultados Ai con probabilidades pi la X y con probabilidades qi la Y. La mixtura de ambas se interpreta como una decisión aleatoria consistente en elegir la actuación X con probabilidad p y elegir Y con probabilidad (1-p).
Existen cuatro axiomas de comportamiento racional que deben cumplir las mixturas. Cuando lo cumplen, el conjunto de todas las posibles decisiones junto con la operación mixtura se denomina un espacio de mixtura P.
Son los siguientes:
1.- Si X e Y pertenecen a P, entonces pX+(1-p)Y tambien pertenece a P.
2.- 1·X + 0·Y=X
3.- pX+(1-p)Y= (1-p)Y+pX
4.- Si Z= pX + (1-p)Y, entonces qZ + (1-q)Y = pqX + (1-pq)Y
En tal caso, la axiomática que nos ocupa consta de otros cuatro axiomas, que son los siguientes:
A I: Hay en P definidada una relación de preferencia-indiferencia que es un preorden completo.
A II: Hay definida en P una operación que lo convierte en un espacio de mixtura.
A III: Axioma de sustitución: Para cualquier X,Y,Z de P, X es preferida a Y si y solo si pX+(1-p)Z es preferida a pY + (1-p)Z.
A IV: Axioma de continuidad: Si X,Y,Z son tales que X es preferida a Y e Y es preferida a Z, entonces existen dos números p, q comprendidos entre cero y uno tales que:
pX + (1-p)Z es preferida a Y
Y es preferida a qX + (1-p)Z.
Cuando se cumple todo lo anterior, el teorema de existencia de función de utilidad, debido a Von Neuman y Morgenstein dice que existe una función U definida en el espacio de mixtura, única salvo por transformaciones lineales, lineal a su vez y que queda determinada fijando el valor de dos actuaciones.
La manera de unificar ambos ambientes es la siguiente:
Tenemos un conjunto A={A1, A2,..., An} de posibles estrategias o actuaciones que desembocan en resultados. Se supone que existe una relación entre los posibles resultados, que llamaremos relación de preferencia-indiferencia. El jugador debe saber decidir si entre dos resultados A y B prefiere uno, otro ,o le son indiferentes.
Una función de utilidad es una aplicación definida en el conjunto de posibles resultados A, con valores reales, tal que respeta la relación de preferencia entre los resultados. Esto es: si el resultado A es preferido al B, entonces la utilidad U(A) es mayor que la utilidad U(B).
Cuando nos movemos en ambientes probabilísticos, una actuación suele desembocar en posibles resultados: eligiendo la estrategia, X tenemos una probabilidad p1 de obtener el resultado A1, una probabilidad p2 de obtener el resultado A2... y una pi de obtener el resultado Ai. En este caso , una vez definida la función de utilidad de los sucesos Ai, la valoración de utilidad de la adopción de la estrategia o elección X será: p1·U(A1)+ ... + pi·U(Ai), donde la suma de todas las pi es lógicamente la unidad.
De esta forma, el ambiente de certidumbre se considera como una variedad del ambiente en riesgo, para el cual ante una determindad ectuación o estrategia, las probabilidades de todos los resultados posibles son cero excepto para uno de ellos, que vale uno: Hablamos de una distribución de probabilidad degenerada. Hablaremos pues de ambiente de riesgo, entendiendo que es el general que engloba al de certidumbre como caso particular.
John Von Neumann y Oscar Morgenstein establecieron la axiomática de las utilidad utilizando un concepto adicional: el de mixtura
Ante dos opciones X e Y, la mixtura de ambas se representa por pX+(1-p)Y. Aquí, tanto X como Y son actuaciones que llevan una distribución de probabilidad asociada de obtener los resultados Ai con probabilidades pi la X y con probabilidades qi la Y. La mixtura de ambas se interpreta como una decisión aleatoria consistente en elegir la actuación X con probabilidad p y elegir Y con probabilidad (1-p).
Existen cuatro axiomas de comportamiento racional que deben cumplir las mixturas. Cuando lo cumplen, el conjunto de todas las posibles decisiones junto con la operación mixtura se denomina un espacio de mixtura P.
Son los siguientes:
1.- Si X e Y pertenecen a P, entonces pX+(1-p)Y tambien pertenece a P.
2.- 1·X + 0·Y=X
3.- pX+(1-p)Y= (1-p)Y+pX
4.- Si Z= pX + (1-p)Y, entonces qZ + (1-q)Y = pqX + (1-pq)Y
En tal caso, la axiomática que nos ocupa consta de otros cuatro axiomas, que son los siguientes:
A I: Hay en P definidada una relación de preferencia-indiferencia que es un preorden completo.
A II: Hay definida en P una operación que lo convierte en un espacio de mixtura.
A III: Axioma de sustitución: Para cualquier X,Y,Z de P, X es preferida a Y si y solo si pX+(1-p)Z es preferida a pY + (1-p)Z.
A IV: Axioma de continuidad: Si X,Y,Z son tales que X es preferida a Y e Y es preferida a Z, entonces existen dos números p, q comprendidos entre cero y uno tales que:
pX + (1-p)Z es preferida a Y
Y es preferida a qX + (1-p)Z.
Cuando se cumple todo lo anterior, el teorema de existencia de función de utilidad, debido a Von Neuman y Morgenstein dice que existe una función U definida en el espacio de mixtura, única salvo por transformaciones lineales, lineal a su vez y que queda determinada fijando el valor de dos actuaciones.
5 comentarios
ana -
Carolina -
natalia aguirre -
es urgente para ya
Yolanda -
Rodrigo -