Tio Petros

Muy interesante... pero no le veo el fallo. Socorroooooo

Yo el primer error q veo es que no veo ninguna afirmación acerca de "m" que estemos intentando comprobar. ¿cuál sería esa afirmación?

Si suponemos q la afirmación es " Para todo m=max{a,b} con a,b enteros; a=b " entonces el error inmediato que se observa es que sabiendo que "a" es un entero positivo, no puedes asegurar que "a-1" también lo sea. ¿habrá otros errores implicados, ya de paso?

Hola [QQ]:
REspecto a tu primera pregunta, sí estamos haciendo una afirmación que involucra a m. La afirmación sería la siguiente:
"Dado un entero positivo m, si tenemos una pareja de enteros positivos tales que el mayor de ambos es precisamente m, entonces la pareja está formada por dos enteros idénticos"
Si probamos esta aberración para todo m ( que es lo que supuestamente hace nuestra "demostración", hemos demostrado que dada una pareja cualquiera de enteros positivos, ambos son iguales sin importar cuál es el máximo; y de ahí, concluimos que todos los positivos enteros son iguales.

Bueno, entonces yo sigo en mis trece... digo, en mi "a-1". :)

Pues yo estoy con Quique, el problema es el a-1, supongamos por inducción que en efecto todos los enteros hasta m son iguales, y tomemos a,b

Seguimos, cosas que pasan por poner ≤, decía que tomemos a,b≤m+1, el problema es que las hipótesis son: 0<a,b≤m+1, y al restar uno queda -1<a-1,b-1≤m, es decir puede que alguno de los números se nos salga del rango en que estamos haciendo la inducción, luego no se puede aplicar la hipótesis de inducción a a-1 y b-1, y en consecuencia no puede concluirse que a-1=b-1.

Un saludo.

Da gusto tener unos lectores tan agudos...

Si me lo permites, voy a reformular tu demostración, a ver si alguno de los lectores encuentra el error:
La hipótesis de inducción dice en este caso que dado un intervalo cerrado de longitud n, todos los enteros que contiene son iguales.
Demostración:
Para n=0 es evidente.
Supongamos que vale hasta n-1 y veamos para n, sea I un intervalo cerrado de longitud n, y a,b dos elementos del mismo, partimos I en dos mitades (por tanto cada una tiene longitud menor que n, y se les puede aplicar la inducción). En el caso en que n no sea divisible por 2, se parte I en dos intervalos de longitudes lo más aproximadas posibles, por ejemplo 5=2+3.
Si a y b están en la misma mitad, por hipótesis de inducción son iguales, y si no lo estan, sea c el punto de la división de I, a y c están en una mitad y c y b en la otra, aplicando la hipótesis de inducción a=c y c=b, luego a=b.

Un saludo.

PD: si puedes corrige lo del < del comentario anterior cambiandolo por su valor, y si de paso me explicas como habría que ponerlo, ya lo se para el futuro.

Debo ser un poco corto, pero no entiendo el desarrollo del segundo paso. Escribes "m=max{a,b}=m+1", es decir, "m=m+1".

Me da la impresión de que quieres partir de m+1=max{a,b}, y retroceder a m={a-1,b-1}; pero hay que tomar en cuenta que también se cumple con m={a-2,b-1}, m={a-3,b-1}, m={a-4,b-1}...m={a-1,b-2}, m={a-1,b-3}... (tomando en consideración el rango de valores en que se mueven 'a' y 'b').

Hola Jorge. No sé si la pregunta va para mi o para algún comentarista de este artículo. En todo caso, no veo dónde afirma nadie que m=m+1, deducido del hecho que sea M=max{a,b}=m+1.

Lo que se afirma exactamente es que:
Sean a,b tales que m=max{a,b}=m+1. Entonces es evidente que max{a-1,b-1}=m, y por la hipótesis de inducción, tenemos que a-1=b-1, de donde clarísimamente concluimos que a=b.

Este era el punto crucial ( y falso) de la "demostración", como [Quique] ha escrito más arriba...

Escribes: "Lo que se afirma exactamente es que:
Sean a,b tales que m=max{a,b}=m+1." Claramente, estás escribiendo "m=m+1", es decir, "0=1". Parece que lo que realmente querías escribir es "M=max{a,b}=m+1", es decir "M=m+1", que es algo totalmente distinto.

Me parece que la única razón por la que no entiendo el razonamiento es que, precisamente, es un razonamiento erróneo... A continuación, voy a reescribir el segundo paso, a ver si me aclaro.

Hasta el valor m se cumple que "a=b=m". Para el valor m+1 tendremos los siguientes casos:

1) m+1=max{a,b}
2) m+1=max{a+1,b}
3) m+1=max{a,b+1}
4) m+1=max{a+1,b+1}

En el 1º caso, dado que "a=b=m" se deduce que "m+1=max{a,b}=max{m,m}=m", es decir, "m=m+1" (¡justo lo que discutiamos antes!), esto es, "0=1".

El 4º caso no da problemas. El 2º y el 3º, de ser cierta la hipótesis a demostrar, dicen ambos lo mismo, que "a=a+1" (porque "a=b"), ¡otra vez "0=1"!

Perdón, y mil veces perdón. El apresuramiento me ha jugado una mala pasada. Efectivamente, debiera poner M=max{a,b}=m. Estoy llamando m a dos cosas diferentes!!!!!
Tiene usted toda la razón.

Queda modificado el post para solventar el error que señalaba tan certeramente Jorge.