El Teorema de Feuerbach

El Teorema de Feuerbach ha sido denominado como la joya de la geometría del siglo XIX . Y realmente no es para menos... Les invito a acercarse un poco al sabor de dicho teorema; como siempre, sin demostraciones y sin hacer matemáticas; tan solo paseando agradablemente.

Que tres puntos de un plano pertenezcan a una misma circunferencia no solo no es nada extraordinario, sino que es algo absolutamente obligado; de hecho tres puntos son los que definen una circunferencia. Dicho de otra manera: dados tres puntos no alineados, existe una y solo una circunferencia que pasa por los tres.

Si dados cuatro puntos existe una circunferencia que pasa por los cuatro, tenemos algo por lo menos curioso: existe alguna relación entre ellos que se refleja en la pertenencia común a la misma circunferencia. Según vamos aumentando el número de puntos, más extraordinario es que todos ellos pertenezcan a la misma circunferencia (o que todos ellos equidisten de otro punto), o más especialmente elegidos son dichos puntos. Por eso, la existencia de la circunferencia de Feuerbach es algo insólito.

Dado un triángulo ABC cualquiera, las alturas son los segmentos de recta que van desde cada vértice hasta el lado opuesto correspondiente perpendicularmente. En la figura están pintadas de verde. Las tres alturas se concurren en el mismo punto, llamado ortocentro del triángulo (punto M del dibujo). Los puntos de corte de las alturas con los lados del triángulo se denominan pies de las mismas(Puntos T_a,T_b y T_c).

Pues bien: los tres pies de las alturas de un triángulo determinan un círculo, que se llama circunferencia de Feuerbach del triángulo, y recibe también el nombre de circunferencia de los nueve puntos .

Dicha denominación de circunferencia de los nueve puntos proviene del extraordinario hecho de que además de los tres pies citados, también pertenecen siempre a dicha circunferencia los tres puntos medios de los lados del triángulo(puntos F_a,F_b y F_c en el dibujo), y los tres puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el baricentro(puntos K_a,K_b y K_c en el dibujo). Nueve puntos, todos ellos en la misma circunferencia .

En la figura tienen también dibujadas las mediatrices del triángulo (perpendiculares a cada lado por sus puntos medios), que también concurren en un punto: el circuncentro (punto Q en el dibujo). La recta que une ambos puntos, circuncentro y baricentro se denomina recta de Euler . Precisamente el punto medio del segmento QM (punto F) es el centro de la circunferencia de Feuerbach (Dibujado en gris).

Pues bien, esto no es todo: el Teorema de Feuerbach afirma que la circunferencia de nueve puntos es tangente a otras cuatro circunferencias: la inscrita al triángulo y las tres exinscritas.

El punto de tangencia de la circunferencia de Feuerbach (en rojo en la figura anterior) con la inscrita es llamado punto de Feuerbach

Aquí tienen una demostración equivalente al teorema de Feuerbach que no utiliza apenas arsenal analítico.

Belleza en estado puro, ¿no es así?

14/05/2004 07:57 #. Tema: Teoremas.

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Autor: inwit

Genial!! Muchas gracias, tio Petros! :-)

Fecha: 16/05/2004 20:08.

Autor: abc

Un pequeño comentario...
"el Teorema de Feuerbach afirma que la circunferencia de nueve puntos es tangente a otras cuatro circunferencias: la inscrita al triángulo y las tres circunscritas."

...será las "tres exinscritas??"

Fecha: 18/05/2004 15:58.

Autor: TioPetros

Por supuesto!!!

Queda corregido. Gracias.

Fecha: 19/05/2004 14:07.

Autor: Nico

Hola. Gracias por la página Tío Petros. Una cosilla: la intersección de las alturas es el ortocentro ¿no?

Fecha: 21/06/2004 21:20.

Autor: YUSENT

Yo estoy de acuerdo con Nico de hecho es el hortocentro, el baricentro es la interseccion de las medianas (union de un vertice con el punto medio de el lado opuesto a el)

Fecha: 28/07/2004 23:48.

Autor: YUSENT

Solo quisiera añadir que la recta de euler contiene al hortocentro, baricentro y circuncentro.

Fecha: 29/07/2004 00:02.

Autor: Jean Paul

Ortocentro, sin H y tal como lo dijo Nico.

Fecha: 04/09/2004 06:55.

Autor: Laura

me sorprende que aún no hallas corregido el artículo, ya que varios lectores como yo han visto que debe decir que el punto de corte de las alturas es el ortocentro.

Fecha: 09/09/2004 23:01.

Autor: Nico

Hola a todos. Hablando de baricentros y de varios centros, me enseñaron en el cole una regla mnemotécnica para saber en qué centro de un triángulo se cruza qué. Posiblemente muchos la sepáis, pero por si acaso, aquí va. Empleando las palabras MAMBo y BOCIna, e identificando letra a letra por su orden, tenemos que las Medianas se cruzan en el Baricentro, las Alturas en el Ortocentro, las Mediatrices en el Circuncentro, y las Bisectrices en el Incentro. La verdad es que para mí ha resultado ser una regla mnemotécnica "inolvidable". Saludos a todos.

Fecha: 09/09/2004 23:47.

Autor: TioPetros

Por supuesto que teneis razón. Fué un lapsus que corrijo inmediatamente. Gracias a todos .

Fecha: 10/09/2004 07:56.

Autor: lauris

dónde puedo encontrar una demostración de la circunferencia de los nueve puntos, no tan complicada?
gracias..

Fecha: 04/11/2004 00:44.

Autor: RENE

EN DONDE PUEDO ENCONTRAR LA DEMOSTRACION DE LA CIRCUNFERENCIA

Fecha: 15/12/2004 18:05.

Autor: Christopher

Hola, pucha mis respetos, esta bien pero bien piola tu introduccion filosofica.
En la demostración no entiendo lo que es inversión, aqui en el Perú no se lleva eso de inversión =S porfis alguien que me explique

Fecha: 08/02/2005 04:52.

Autor: el geometra loco

por que un filosofo aleman como feurbach, se interesaria por la geometría?, (su trabajo es excelente tio petros)

Fecha: 29/04/2005 19:36.

Autor: el geometra loco

oe cristofer, leete el libro titulado, GEOMETRIA, por Shively.

Fecha: 29/04/2005 19:38.

Autor: el geometra loco

Laura, (con su permiso tio PETROS), no se dice "punto de corte", una tijera corta, un serrucho corta, dos rectas NO¡¡, dos rectas se intersecan y no maltrates la geometría.

Fecha: 29/04/2005 19:41.

Autor: JIMENA

holas, alguien me puede mandar una demostracion de que las medianas concurren en el baricentro. GRACIAS

Fecha: 21/05/2005 22:44.

Autor: inez

quiero demostrar q el centro de la Cfa de feiu...es pto medio entre el ortocentro y el circuncentro
??

Fecha: 28/05/2005 22:03.

Autor: kenneth

cual es la demostracion del teorema?

Fecha: 30/05/2005 17:27.

Autor: jesus

Agradezco a tio pretos por la informacion. es la 1 vez q entro y me parece de la PM . Hasta la vista

Fecha: 14/06/2005 03:32.

Autor: arnaldo

como se llama la union de tres mediatrices

Fecha: 01/07/2005 01:17.

Autor: Anónimo

Fecha: 17/09/2005 19:21.

Autor: Flácido

Hola, me temo que para terminar con el pequeño entuerto del baricentro y el ortocentro, todavia hay que corregir el parrafo en el que se explica por que a la circunferencia de Feuerbach se le llama tambien "circunferencia de los nueve puntos". Este parrafo dice que los puntos Ka, Kb y Kc son los puntos medios de los segmentos que unen el baricentro con los vertices del triangulo, pero creo que debe decir que Ka, Kb y Kc son los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vertices.

Fecha: 19/09/2005 15:42.

Autor: Flácido

Hola otra vez, me acabo de dar cuenta de que el parrafo que habla de la recta de Euler, dice que esta es
la recta que une el circuncentro con el baricentro, y creo que debe dercir que la recta de Euler es la que une
el circuncentro con el ortocentro.

Fecha: 19/09/2005 15:55.

Autor: Rescuer

Muchas gracias por mostrar este teorema... me acabas de sacar de un gran problema matematico.
Es muy buena la pagina, y gracias

Fecha: 07/11/2005 22:37.

Autor: Anónimo

Muy Bueno!!!!!!
Sigan Así.

Fecha: 07/11/2005 22:43.

Autor: Anónimo 10

Tengo que hacer la circunferencia de los nueve puntos, pero no entiendo nada.
Ma podrían explicar paso por paso.

GRACIAS...

Fecha: 07/11/2005 22:46.

Autor: Antonio

excelentes comntarios y muy buena pagina

Fecha: 18/11/2005 02:26.

Autor: jaume

felicitats per aquesta pàgina!! parlant d'altures i de triangles... voldria prendrem la llibertat de proposar un tema que es pugui esplicar en aquesta web: la creació d'un triangle a partir de les seves tres altures. Se que és possible, però m'agradaria que expliquesiu el procediment d'una manera sencilla.

merci!

Fecha: 27/11/2005 14:25.

Autor: jaume

Fecha: 27/11/2005 14:26.

Autor: YURI

me interesaria la demostracion de la relacion 1:2 de los radios de la circunferencia de los 9 puntos
y el circunradio del triangulo en referencia

Fecha: 09/06/2006 03:29.

Autor: Sirius

bueno tengo demostrado q la distancia del centro de la circunferencia de los nueve puntos a los nueve puntos
y tambien la de la razon del radio de esta con el radio de la circunscrita por si alguien la kiere ver

neceito luces para demostrar que es tangente a las excinscritas y a la inscrita

Fecha: 25/07/2006 22:33.

Autor: MAYELA

no sabe nada ese viejo autor de la página, es un tonto ignorante junto con los que lean esto!

Fecha: 07/11/2006 01:58.

Autor: karla

me gustaria saber cuales son los teoremas de los angulos de la circunferencia

Fecha: 10/12/2006 17:15.

Autor: veltham

odio las matematicas

Fecha: 24/01/2007 02:53.

Autor: Theo

awer Flácido la recta de Euler esta bien definida en el texto, pero tu tambien la defines bien, ya que la recta de Euler une el circuncentro el baricentro y el Ortocentro

Fecha: 07/03/2007 02:06.

Autor: kenir