Un problema difícil
Este problemilla ha ido dando tumbos por diversos foros. La primera vez que me lo encontré fué en la revista Investigación y Ciencia hace bastantes años. El enunciado podría ser así:
Alguien elige dos números, no necesariamente distintos, en el conjunto de números naturales mayores que 1 y no mayores que 20. Al matemático Silas (S) se le da solamente la suma de estos números. Y al matemático Pedro(P) se le hace saber únicamente el producto.
Por teléfono S le dice a P : No veo cómo vas a poder averiguar mi suma. Una hora más tarde , P le dice a S : Ya sé cuánto vale tu suma.
Más tarde S llama otra vez a P y le informa : Ahora ya conozco tu producto.
¿ De qué números se trata?
Lo más bonito de este problema es que en el intercambio de preguntas entre ambos matemáticos se pasan mucha más información de la que parece a primera vista...
Les apetece pensarlo un poquito?
Alguien elige dos números, no necesariamente distintos, en el conjunto de números naturales mayores que 1 y no mayores que 20. Al matemático Silas (S) se le da solamente la suma de estos números. Y al matemático Pedro(P) se le hace saber únicamente el producto.
Por teléfono S le dice a P : No veo cómo vas a poder averiguar mi suma. Una hora más tarde , P le dice a S : Ya sé cuánto vale tu suma.
Más tarde S llama otra vez a P y le informa : Ahora ya conozco tu producto.
¿ De qué números se trata?
Lo más bonito de este problema es que en el intercambio de preguntas entre ambos matemáticos se pasan mucha más información de la que parece a primera vista...
Les apetece pensarlo un poquito?
40 comentarios
javier torrres -
Supra TK Society -
joako -
Julio Moros -
La parte Logica. Hay 3 frases
-. S le dice a P : "No veo como vas a poder averiguar mi suma"
Se puede interpretar semanticamente de muchas maneras.
Desde un punto de vista logico tiene solo 2 interpretaciones
"A que no puedes deducir mi suma"... lo cual no es una afirmacion logica
(No es ni cierta ni falsa)
"Es imposible que deduzcas mi suma", esta afirmacion si puede ser cierta o falsa.
-. P le dice a S: "Ya averigue tu suma". Esto puede ser cierto o falso.
-. S le dice a P: "Ahora ya se tu producto". Igualmente, puede ser cierto o falso.
Supongamos que una afirmacion es VALIDA si NO es falsa. Asi, podemos suponer
primero que las 3 afirmaciones son validas
Parte Abstracta:
Simplemente arme 2 tablas en EXCEL, la tabla de productos y la tabla de sumas.
Cada tabla tiene en sus encabezados de columnas los numeros del 2 al 19,
asi como en sus encabezados de filas.
Salta de una vez a la vista que los mapeos de los operadores de producto y suma
son simetricos respecto a la diagonal, y sin importar de que lado de la diagonal
nos enfoquemos, siempre obtendremos los 2 numeros que generaron la operacion.
Llamese C al conjunto de los pares no ordenados de numeros (a,b), donde a y b
pertenecen al conjunto {2,3,...,19}.
Entonces:
p(a,b) conforma el conjunto de los productos a*b mapeados en cada tabla de la diagonal
hacia arriba o de la diagonal hacia abajo, a gusto del consumidor. (Pero no se tome
la tabla completa, pues sino la torta!!).
s(a,b) son los elementos de la suma a+b, mapeados igualmente de la diagonal de la tabla
hacia arriba o hacia abajo. Yo elegi visualizar las partes de abajo de cada tabla.
La tabla de productos conforma el mapeo del conjunto p(a,b) -> C
y la de sumas el de s(a,b)-> C.
Para cada uno de estos conjuntos el mapeo indica que existiran elementos que corresponden
a un unico elemento en C (relacion inyectiva) y habran elementos que corresponden a mas
de uno (relacion multiple).
Por ejemplo en el conjunto p(a,b) 162 solo corresponde a (18,9), mientras que 180 puede
corresponder a (18,10) o (15,12)
El conjunto s(a,b) solo posee 4 elementos con relaciones inyectivas hacia C :
4, 5, 38 y 37. Los elementos en C que corresponden a estos 4 elementos de s(a,b)
se corresponden a elementos de p(a,b) cuya relacion hacia C es tambien inyectiva.
Todo esto puede comprobarse visualizando las tablas.
Parte Analitica:
Vemos que Silas tiene las de perder, para cada valor s(a,b) hay mas de un par (a,b),
excepto para los valores 4, 5, 38, 37.
SUPONGAMOS como argumento logico extra, que Silus no tiene ninguna necesidad practica
de llamar a Pedro si el numero que le dieron es uno de estos 4.
Por lo cual descartare estas posibilidades.
Si la primera afirmacion de Silas se interpreta como
"A que no puedes deducir mi suma"
Y la suponemos válida (es decir no es falsa, aunque tampoco nada que ver)
entonces s(a,b) pertenece al conjunto
{6,7,...,36}
Si la primerta afirmacion de Silas se interpreta como
"Es imposible que deduzcas mi suma"
Y la suponemos cierta
entonces s(a,b) = 11
Prueba:
Sea D el conjunto de pares (a,b) que corresponden a elementos
p(a,b) repetidos.
Sea E(s(a,b)) el conjunto de pares (a,b) que corresponden
a un unico elemento de s(a,b).
Entonces el unico elemento de s(a,b) para el cual E esta totalmente
contenido en D es el numero 11.
Esto ultimo se puede visualizar si se
marcan de color los elementos repetidos de p(a,b) y a cada posicion
coloreada en p(a,b) se colorean tambien las posiciones de s(a,b).
Saltara a la vista que en s(a,b) los numeros repetidos forman diagonales.
El unico numero para el cual todas sus repeticiones quedan coloreadas es el 11.
Obviamente 11 pertenece a {6,7,...,36}. Por tanto si suponemos EN GENERAL
valida la primera afirmacion, entonces el numero que le dieron a Silas: s pertenece
a {6,7,...,36}
La afirmacion de pedro "ya averigue tu suma", es valida, es decir, cierta, bien si
E(s) no esta totalmente incluido en D o bien
si deduce que es el 11 por medios no analiticos, es decir puramente logicos:
La unica forma que me sea imposible deducir la suma de Silas es que todos los pares
que dan con su suma correspondan a productos repetidos p(a,b), dejandome siempre
una incertidumbre.
Por ende, la frase de Pedro es valida si p(a,b) pertenece a C - D + {30, 28, 24, 18}.
Finalmente, no hay modo analitico que Silas deduzca el producto de pedro si este
pertenece a {18, 24, 28, 30}, ni tampoco modo logico, puesto que cada uno de esos
numeros corresponden a mas de un par (a,b) perteneciente a C.
De hecho, si hay mas de un elemento de E(s(a,b)) que no pertenezca a D, silas no tiene
informacion para deducir ni en forma logica ni analitica cual de los 2 o mas pares (a,b)
escoger.
Por tanto la tercera frase de Silas es valida, o sea cierta, si y solo si E(s(a,b))
solo posee un elemento que no pertenezca a D.
De la tabla es facil visualizar que esto solo corresponde a las sumas: 7, 8 y 9.
No existe informacion adicional para descartar dos de estos 3 elementos.
De modo que SI suponemos que las 3 afirmaciones son validas
los pares posibles de numeros son: (2,5) ; (3,5) y (2,7).
No es posible calificar a la primaera afirmacion como no valida.
Pero si la segunda afirmacion fuese NO VALIDA (Es decir FALSA),
entonces bien la afirmacion de Silas puede o no ser valida, pues estara basando
su deduccion cualquiera que sea en una falsedad y si acierta es de chiripa!!.
Luego de donde, el conjunto de las sumas que puede tener en su mano Silas es el mismo
{6,7,...,36}.
Finalmente, Pedro pudo decir la verdad, pero puede que la ultima afirmacion sea
fanfarroneo de Silas, por lo cual la ultima afirmacion es No Valida = Falsa.
En tal caso el universo de posibles valores para s(a,b) es
{6,7,...,36} - {7,8,9}
lector -
Arqus -
Saludos
Arqus
Arqus -
He estado buscando por internet este acertijo y lo he encontrado. Pero no es exactamente igual. Por lo visto las cotas eran 1 y 25, ambas incluidas. Y además se sabía que no podían ser dos numeros iguales.
A partir de estos datos siguiendo mi razonamiento se llega a una única solución, con lo cual tanto Silus como nosotros podemos averiguar cual es.
Para el que quiera intentarlo le diré que la solución es la pareja 1-6.
Saludos
Arqus
Arqus -
Vayamos por partes.
Caben dos posibilidades:
A) Que tanto Silas como Pedro no sepan que los números están acotados.
B) Que tanto Silas como Pedro sepan que los números están acotados entre 2 y 20 (ambos incluidos)
Imaginemos primero el caso A). Silus con su suma es evidente que no puede averiguar los números pues hay muchas posibilidades que dan su suma. Pedro por su parte si no haya los números es porque su producto P se puede descomponer de varias formas. Con lo cual ya sabemos que su número P no es primo. Asi que eliminemos todos los números primos desde el 1 hasta el infinito.
Ahora llega Silus y llama a Pedro y le dice que no podra averiguar el número. Entonces Pedro hace la siguiente deducción: Si Silus tuviera en su descomposición de S una pareja cuyo producto fuera primo no habría hablado, luego la suma S es tal que descomponiendola, todas las parejas posibles dan lugar a productos que no son primos. ¿Y cuantas sumas S hay así? Infinitas. Pero Pedro cuenta con algo más: sabe el producto P. Asi que se dedica a mirar en todas esas posibles sumas S a ver en cuales está su producuto, y resulta que está en varias. Por ejemplo, si la solución fuera 4 y 13 como apuntaban Tio Petros y Paco, Pedro tendría P=52 y buscaría en que sumas S está el 52 y hallaría tres: 1-52, 4-13 y 2-26. Y no sabría cual de las tres es, pues por ejemplo, si fuera la 2-26 cuya suma da par (28), cosa que aquí se decía que no podía ser...se puede descomponer en 23 + 5, y con esa pareja Silus habría dicho lo mismo pues su producto que es 115 se puede descomponer de dos formas posibles, tanto 23x5 como 115x1 porque recordemos que no saben que la lista de números está acotada.
Resumiendo, que si no saben que la lista de números está acotada no vale eso de que la suma no puede ser par y no hay manera de que ni Silus y Pedro ni nosotros hallemos la solución.
Asi que tenemos que empezar a pensar en el apartado B) y tanto ellos como nosotros sabemos que los números están entre el 2 y el 20.
Asi que empezamos de nuevo. Como Pedro no haya la solución podemos deducir que su producto admite más de una factorización. Asi que empezemos por quitar todas las posibilidades entre 4 (2x2) y 400 (20x20) que admitan una única factorización. Eso reduce las posibilidades bastante, a unas 80 parejas de números posibles como solución.
Ahora hacemos uso del primer mensaje. Si Silus dice que Pedro no podrá encontrar la solución es porque en su suma S todas las descomposiciones dan lugar a parejas de números cuyo producto se descompone siempre de mas de una forma. Por ejemplo, la suma no puede ser 17 porque eso da lugar a la posibilidad de que la solucion fuera 6-11 o 4-13, y ambas dan lugar a un producto de unica descomposición que ya hemos eliminado de nuestra lista.
Asi que con el mensaje fresco en la memoria nuestro amigo Pedro busca que sumas S dan siempre a productos P de factorizacion multiple. Y encuentra que es la suma 11, que es la única que *siempre* dará lugar a productos P que se descomponen de más de una forma.
Claro, como Pedro sabe el producto P y ahora ya también la suma S, sabe que números son la solución. Y va y le dice a Silus el segundo mensaje de la historia: eh, que ya se la solución.
Y ahora viene lo dificil. Silus y nosotros sabemos que S=11. Pero aquí aparecen 4 posibles soluciones para P: 18, 24, 28 y 30. ¿Cuál es la correcta? Silus lo averiguó. Pero yo no doy con ello. Por eso digo que el problema esté mal planteado. Quizás las cotas no fueran 2 y 20 pues yo vi una vez este acertijo y creo recordar que la inferior era 3 o 4 y la superior cercana a 102.
Arqus -
La solucion pasa por pensar que tanto P como S son muy listos y piensan lo que el otro está pensando. Aparte no saben que los numeros están acotados entre 2 y 20.
Primero deducimos (igual que hará S) que P no habla porque su producto tiene varias formas de descomposición. Asi que tachamos los productos entre 1 y 441 que se descompongan de dos o mas formas posibles.
Acto seguido deducimos (igual que hará P) que si S habla es porque en su suma, la pareja uqe buscamos no tiene una sola multiplicación que se descomponga de forma única. Esto pasa en las sumas 11, 9, 7 y 5. Por lo tanto, el produtcto P puede ser:
para S= 11 -> 30, 28, 24, 18 y 10
para S= 9 -> 20, 18, 14, y 8
para S= 7 -> 12, 10 y 6
para S= 5 -> 6 y 4
Bien, como P habla diciendo que ya sabe cual es, deducimos (como hará S) que P no tiene el producto 6, 10 o 18 que son los que se repiten en las posibilidades que acabamos de ver.
Y si luego vuelve a hablar S, es porque sin saber el producto de P, solo puede haber una posible solucion, que es o bien el 12 para S=7 o el 4 para S=5. Pues en las demas posibilidades S dudaria entre más de un producto P para la misma suma S.
Como nosotros si sabemos que la serie está acotada por debajo del 2, eliminamos P=4, y nos queda P=12 con S=7. De donde sacamos que los numeros son 3 y 4.
Yo este problema lo lei una vez pero las cotas eran mayores, entre 2 y 101 creo. Nunca lo saqué. Ahora me ha resultado mas sencillo.
Saludos
Arqus
Anonadado -
Anónimo -
LaosLos -
4 + 19 = 23 (suma impar)
4 · 19 = 76
otra descomposición de 76: 2 · 38 y resulta que 2 + 38 es suma par (luego descartado por P).
Igualmente creo que el enunciado no es preciso, yo interpreté un problema de lógica y esto era uno de teoría de números (según los argumentos que se iban exponiendo).
LaosLos -
Y ahora lo que le queda a Silas delante es un montón de números que se pueden conseguir sumando o multiplicando más de una pareja de números (aunque no necesariamente la misma). Luego no puede decidir cuál es la solución a la parejita de marras.
En ese momento, supongo yo, dice eso de "no veo cómo vas a poder averiguar mi suma", pero le faltó decir "excepto que el producto sea 12", porque ése es el único número que queda cuya descomposición en suma no es única pero en producto sí.
Pedro afirma "ya sé cuánto vale la suma". Luego la única posibilidad es que el número de Pedro fuera P = 12 con el 2 y el 6 (porque el 4 y el 3 suman 7, número ya descartado antes). Cualquier otro número para P tendría más de una solución y ambos se hubieran quedado con las ganas de saber cuál es la parejita, a no ser que hubieran compartido la información).
LaosLos -
Silas no sabe cuál es el producto, pero se puede imaginar que si el número que tiene Pedro como producto tuviera solución única, Pedro ya sabría la solución y, supongo yo, que Pedro se la habría dicho a Silas de buenas a primeras. Sin embargo, Pedro aún no ha abierto la boca, luego Silas puede descartar un montón de parejas de números más sin necesidad de decir todavía nada (para saber cuáles hay que montarse la tablita de los productos de números entre 2 y 20).
Descartadas todas estas parejas de números que tenían originalmente solución única para la suma o para el producto, vuelven a quedar otras cuatro parejas que, por descarte de otras homólogas, tienen solución única (éstas suman 7 (3,4), 29 (9,20), 31 (15,16) o 32 (12,20)). Si uno de estos números fuera el que tiene Silas, éste ya sabría la solución sin haber dicho ni media palabra todavía. Así que estos también quedan descartados.
LaosLos -
A través de un foro de otra página web he llegado a toparme con este problema. Allí expuse mi solución (la cuál no tiene en cuenta para nada la Conjetura de Goldberg) sinó sólo lo que se decían el uno al otro y el hecho de que se supone que ambos son conscientes de que buscan dos números entre el 2 y el 20. Con esta premisa y una tabla para las sumas y otra para las multiplicaciones, yo llegaba a la conclusión de que los números era 2 y 6. Evidentemente, según los argumentos aquí expuestos la solución es incorrecta, pero tengo una pregunta:
Si P tenía como número el 52, no le hacía ninguna falta que S le dijera nada ni mucho menos una hora para saber cuánto era S y cuáles los números, porque sólo hay una pareja de números entre 2 y 20 que multiplicados den 52 (y eso el matemático lo puede saber rápido por métodos rudimentarios).
Luego me resulta un poco extraño que haya que utilizar un "cañón" tan grande para resolver el enunciado expuesto y, en cualquier caso, sigo sin entender porqué ésta es la solución correcta.
Voy a poner detrás la solución que yo he expuesto en el otro foro. Me gustaría que alguien me indicara porqué no es una solución válida para este enunciado (va en otro mensaje).
Antonio -
Tío Johnny -
Noblod -
Noblod -
DNBracco -
Crystal -
TioPetros -
El matemático S sabe que la suma es 17, y no vé cómo P puede averiguarla, tras estudiar todas las posibilidades.
P mientras tanto sabe que el producto es 52, y sabe lo que le ha comentado S, luego sabe que los números deben ser 4 y 13; por lo que dice a S que ya sabe la suma.
Al oirlo, S no tarda en deducir que sólo hay una combinación de dos números que sumen S para los cuales P haya podido hallar los números; tras su observación.
Por tanto la suma de dichos números ha de ser igual a 17 y el producto 52. Luego los números son 4 y 13.
ENHORABUENA PACO
Paco -
El fallo de mi razonamiento era suponer que tanto S como P sabían que los números elegidos eran mayores que 1 y menores que 21. El enunciado dice :
Al matemático Silas (S) se le da solamente la suma de estos números. Y al matemático Pedro(P) se le hace saber únicamente el producto.
Es decir no tienen conocimiento de que los números están acotados entre el 2 y el 20. Si lo hubiesen tenido, el matemáticos Silas no habría sido tan imprudente en su comentario, probablemente no lo habría hecho.
Como P tiene el número 52, éste admite dos descomposiciones en factores: 4*13 y 2*26 y no sólo una como yo había considerado debido a mi errónea suposición (que me hacía despreciar la posibilidad 2*26).
Quizás sería mejor plantear el problema de la forma siguiente:
Alguien elige dos números. Al matemático Silas (S) se le da solamente la suma de estos números. Y al matemático Pedro(P) se le hace saber únicamente el producto.
Por teléfono S le dice a P : No veo cómo vas a poder averiguar mi suma. Una hora más tarde , P le dice a S : Ya sé cuánto vale tu suma.
Más tarde S llama otra vez a P y le informa : Ahora ya conozco tu producto.
¿ De qué números se trata? (Pista : La suma es menor que 40).
Lo cierto es que he disfrutado mucho y he recordado que hay que leer muy bien este tipo de enunciados para no cometer errores tan estúpidos como éste.
Saludos
Tio Juanchi -
Tio Juanchi -
De la 1ª condición se deduce que la suma que tiene no puede ser de 2 numeros primos, por lo que se eliminan todas las combinaciones de número cuya suma sea igual a la suma de 2 primos entre el 2 y el 20.
De la segunda condición sacamos que el producto que tiene solo se saca como una única combinación de las parejas que nos quedan
De la 3ª combinación sacamos que la suma debe ser unica.
Aplicando esto nos quedan los número indicados.
Espero que se entienda
desesperao -
pepe -
TioPetros -
En dicho caso el producto puede valer 18, 24, 28 ó 30.
Hace falta comprender (esto es muy importante) que P, como matemático que es, ha podido llegar a nuestras mismas conclusiones, y sabe que si S ha dicho su primera afirmación es porque la suma no es par, ni impar formada por un dos y un primo.
Si P fuese 24, P sabría que los números son 3 y 8 ( pues la otra posibilidad; 12 y 2 estña eliminada al dar suma par). Si el producto fuese 28 también sabría que los números son 4 y 7 por el mismo motivo. Pero entonces S no podría decir, como acaba diciendo, que conoce el producto de P, pues no tiene forma de decidir entre los productos 24 y 28. En consecuencia , la posible suma 11 es rechazada...
Paco -
En el caso del 11, tenemos 4 combinaciones de sumandos posibles (2,9);(3,8);(4,7) y (5,6). Sus productos respectivos 18,24,28 y 30 se pueden descomponer en factores de diversas maneras:
18=2*9=3*6
24=3*8=2*12=4*6
28=4*7=2*14
30=5*6=2*15=3*10.
Una vez hecho esto se ve que las factorizaciones anteriores más allá de la segunda igualdad dan sumas o bien pares (no valen) o impares para las que existe alguna factorización única:
3+6=9; 9=2+7 y 2*7=14, que sólo admite esta factorización (para el resto igual).
Por lo tanto P concluye que la suma ha de ser 11.
Lo que no veo es cómo S consigue averiguar el producto.
Espero no haberme equivocado esta vez y que el razonamiento, aunque enrevesado, quede claro.
Paco -
Siguiendo el razonamiento he llegado a la conclusión de que la única suma posible es 11, ya que para el resto de sumas impares (las pares ya ha quedado claro que deben desestimarse por la conjetura de Goldbach) existe al menos una combinación de sumandos que dan un producto que sólo se puede descomponer en los mismos factores.
Ejemplo: Si la suma fuese 15, existen las siguientes parejas de sumandos que la satisfacen: (2,13);(3,12);(4,11);(5,10);(6,9) y (7,8). Su productos respectivos, 26,36,44,50,54 y 56, se pueden descomponer en factores de la siguiente forma:
26=2*13 (1 manera)
36=2*18=3*12=4*9=6*6 (4 maneras)
44=4*11 (1 manera)
50=5*10 (1 manera)
54=3*18=6*9 (2 maneras)
56=4*14=7*8 (2 maneras)
En el caso de que haya alguna factorización única (en este caso hay 3), S no se arriesgaría a decir que no sabe cómo P va a averiguar su suma.
Por lo tanto si S afirma que no sabe cómo va a averiguar su suma, es porque cualquier descomposición de ésta en sumandos, da productos que se pueden factorizar de más de una forma.
Por cierto, el razonamiento sigue pero no consigo enviarlo,¿Hay alguna restricción de tamaño en los comentarios?
TioPetros -
Hemos indicado que debemos eliminar todas las sumas pares, por ser susceptibles de ser formadas por dos primos. En este caso, S nunca sabría si P puede o no adivinar su suma. Cuando la suma es impar, siendo 2 uno de los sumandos y el otro primo, estamos en las mismas: S sabría que la suma es 13, luego los números podrían ser (2,11) ; (3,10);(4,9) ; (5,8)ó (6,7) . S sabría que la posibilidad (2,11) existe, en cuyo caso P habría obtenido el producto de 22, que por ser 2 y 11 primos no puede obtenerse de otra manera, luego S sabría que P no tiene ningún problema en adivinarlos; y nunca habría dicho “No veo cómo vas a poder averiguar mi suma”
Resumiendo: por ahora sabemos que la suma no puede ser par en ningún caso, ni impar si uno de los dos números es dos y el otro primo...
Paco -
TioPetros -
Supongamos que los números fueran 3 y 15. En este caso, S=18; P=45.
S, que sólo sabe la suma, podría conjeturar que los números son (2,16); (3,15); (4,14); (5,13); (6,12); (7,11) ó (8,11).
De todas estas posibilidades (en principio idénticamente posibles para él), si la buena fuera (7,11); entonces P sabría que se tratan de 7 y 11, puesto que su producto sería 77 y sólo esos dos primos sirven para ello; y por lo tanto nunca podría llamarle S a P y decirle "no veo cómo puedes averiguar mi suma". Para que S pueda dar tal mensaje a P es necesario que en la distribución de las posibles parejas que dan como suma S, no existan parejas de primos, y la conjetura de Goldbach, válida en todo caso para números pequeños, indica que todo par puede ser suma de dos primos, por lo que podemos rechazar como posible toda suma par......
[QQ] -
pues entonces aquí:
http://club.idecnet.com/~conen/misc/parejas_2_20.txt
[Quique] -
aquí
Anónimo -
1 < N2 < 21
S = N1 + N2
P = N1 X N2
Con solo eso no creo que se pueda encontrar una solucion. Por lo que dices la clave esta en lo que se dicen. Imagino que el orden tambien importa asi que la solucion debe estar en el texto "No veo cómo vas a poder averiguar mi suma", pero no logro verlo.
toot -
Creo que debemos seguir intentándolo....
Jorge -
dorfun -
dorfun -