Los Bernoulli y la serie armónica (2)
Ya hemos visto que Leibniz demostró que la serie de los inversos de los números triangulares convergía a 2:
1+1/3+1/6+1/10+1/15+...=2
La idea de Johann Bernoulli fue la siguiente; empezó llamando A a la serie armónica sin su primer término:
A=1/2+1/3+1/4+1/5+...
Seguidamente transformó las fracciones de forma que los numeradores fueran sucesivamente 1,2,3,... todos los números naturales:
A=1/2+2/6+3/12+4/20+5/30+...
Podemos comprobar que estos denominadores son el doble de los correspondientes a la serie de Leibniz de números triangulares. Bernoulli denominó C a dicha serie entre dos:
C=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+...=1
Y fue creando nuevas series a base de eliminar el primer término de cada serie anterior:
D=1/6+1/12+1/20+1/30+...=C-1/2 =1-1/2=1/2
E=......1/12+1/20+1/30+...=D-1/6 =1/2-1/6=1/3
F=..............1/20+1/30+...=E-1/12 =1/3-1/12=1/4
G=.....................1/30+...=F-1/20 =1/4-1/20=1/5
Por la propia construcción de estas series, se ve claro que la suma de todas ellas C+D+E+... es precisamente A ( sumaríamos 1 vez 1/2, dos veces 1/6, tres veces 1/12, etc,etc.
Por lo tanto:
C+D+E+F+G+...=A
Y dado que tenemos que C=1, D=1/2, E=1/3, ... también tenemos que:
C+D+E+F+G+...=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...=1+[1/2+1/3+1/4+1/5+...]=1+A
Concluimos la suma C+D+E+F+G+... es tanto A COMO 1+A, de donde
A=A+1
qué significa esto?
El razonamiento de Bernoulli fue el siguiente: A=A+1 significa que aumentar en una unidad el valor de A no influye en el valor de A, cosa que sólo es posible si A es infinito. En efecto, dividiendo la igualdad entre A, tenemos que 1=1+1/A , lo que implica que 1/A=0, cosa que sólo ocurre cuando A es infinito.
Porqué esto no se considera riguroso hoy en día?
Bernoulli trata la serie de forma completa, asignándole un valor A cuando a priori no sabemos si se trata de un valor finito. A partir de este momento, maneja dicha A como si de un número habitual se tratara, manejando un infinito actual de forma, digamos holística (qué poco me gusta esta palabra, tan apreciada por mil charlatanes!!!).
La estrategia moderna es finitista, y la veremos en el próximo post.
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A pesar de que su hermano Jakob escribiera en uno de sus libros al explicar esta demostración: "Id primus deprehendit frater" (Mi hermano fue el primero en describir esto), lo cierto es que dos demostraciones de la divergencia de esta serie se habían logrado antes: las debidas a Nicolás Oresme (1323-1382) y a Pietro Mengoli (1625-1686).
Los hermanos Bernoulli, ebrios de gozo por la demostración conseguida, intentaron conocer los misterios de otra serie: la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos: 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...
Sin embargo, el genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía? Fué necesario el cerebro del maestro de todos los matemáticos para desentrañar el misterio, en un alarde de magia euleriana casi sin parangón en la historia de la matemática. Pero no adelantemos acontecimientos.
1+1/3+1/6+1/10+1/15+...=2
La idea de Johann Bernoulli fue la siguiente; empezó llamando A a la serie armónica sin su primer término:
A=1/2+1/3+1/4+1/5+...
Seguidamente transformó las fracciones de forma que los numeradores fueran sucesivamente 1,2,3,... todos los números naturales:
A=1/2+2/6+3/12+4/20+5/30+...
Podemos comprobar que estos denominadores son el doble de los correspondientes a la serie de Leibniz de números triangulares. Bernoulli denominó C a dicha serie entre dos:
C=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+...=1
Y fue creando nuevas series a base de eliminar el primer término de cada serie anterior:
D=1/6+1/12+1/20+1/30+...=C-1/2 =1-1/2=1/2
E=......1/12+1/20+1/30+...=D-1/6 =1/2-1/6=1/3
F=..............1/20+1/30+...=E-1/12 =1/3-1/12=1/4
G=.....................1/30+...=F-1/20 =1/4-1/20=1/5
Por la propia construcción de estas series, se ve claro que la suma de todas ellas C+D+E+... es precisamente A ( sumaríamos 1 vez 1/2, dos veces 1/6, tres veces 1/12, etc,etc.
Por lo tanto:
C+D+E+F+G+...=A
Y dado que tenemos que C=1, D=1/2, E=1/3, ... también tenemos que:
C+D+E+F+G+...=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...=1+[1/2+1/3+1/4+1/5+...]=1+A
Concluimos la suma C+D+E+F+G+... es tanto A COMO 1+A, de donde
A=A+1
qué significa esto?
El razonamiento de Bernoulli fue el siguiente: A=A+1 significa que aumentar en una unidad el valor de A no influye en el valor de A, cosa que sólo es posible si A es infinito. En efecto, dividiendo la igualdad entre A, tenemos que 1=1+1/A , lo que implica que 1/A=0, cosa que sólo ocurre cuando A es infinito.
Porqué esto no se considera riguroso hoy en día?
Bernoulli trata la serie de forma completa, asignándole un valor A cuando a priori no sabemos si se trata de un valor finito. A partir de este momento, maneja dicha A como si de un número habitual se tratara, manejando un infinito actual de forma, digamos holística (qué poco me gusta esta palabra, tan apreciada por mil charlatanes!!!).
La estrategia moderna es finitista, y la veremos en el próximo post.
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A pesar de que su hermano Jakob escribiera en uno de sus libros al explicar esta demostración: "Id primus deprehendit frater" (Mi hermano fue el primero en describir esto), lo cierto es que dos demostraciones de la divergencia de esta serie se habían logrado antes: las debidas a Nicolás Oresme (1323-1382) y a Pietro Mengoli (1625-1686).
Los hermanos Bernoulli, ebrios de gozo por la demostración conseguida, intentaron conocer los misterios de otra serie: la suma infinita de los inversos de los cuadrados perfectos: 1+1/4+1/9+1/16+1/25+...
Sin embargo, el genio de ambos hermanos juntos era insuficiente para desentrañar el misterio. La serie era convergente,pero...hacia qué número real convergía? Fué necesario el cerebro del maestro de todos los matemáticos para desentrañar el misterio, en un alarde de magia euleriana casi sin parangón en la historia de la matemática. Pero no adelantemos acontecimientos.
12 comentarios
Andrea -
Jesus Enrique -
diedo -
muchas gracias por tu tiempo
jose -
TioPetros -
La estrategia empleada para la demostración puede ser extrapolada a la serie armónica para demostrar su convergencia, pero no veo que una dependa de la otra...
http://www.rinconmatematico.com/series/pringsheim.htm
jose -
En su afán por no hacernos pensar sino meternos en la sesera métodos mecánicos, demostró la divergencia de la serie armónica mediante el criterio de Pringsheim. ¿Pero acaso la demostración de este criterio no incluye la comparación con series armónicas?
TioPetros -
Carlos -
Carlos -
fernand0 -
TioPetros -
Goyo -