Magia existencial (o inexistencial !!)
No es mi intención cargar demasiado los post con formulismo matemático por miedo a cansar al personal. Por eso, y dado que los últimos post iban fuertes en este aspecto, vamos a relajarnos un poco.
Hace unos meses comprobábamos una de las propiedades más fascinantes de la matemática: la facultad de postular la existencia de objetos que desconocemos, que nunca hemos visto, pero que podemos deducir sus propiedades una a una antes de encontrarlo. El ejemplo que veíamos era el del poliedro de Szilassi; extraño cuerpo tridimensional cuya existencia demostramos y propiedades en una serie de tres post, antes de mostrarlo en las ilustraciones.
No deja de ser mágico el asunto si lo pensamos bien: demostramos la existencia de un extraordinario poliedro con tan sólo siete caras, con 21 aristas y 14 vértices, que es topológicamente similar a una rosquilla por tener un agujero, y que además cada par de caras se encuentran en una arista. Podemos saber por tanto que todas las caras son hexagonales, pues cada una de las siete debe tener una arista común con las seis restantes. Sabemos también que de cada vértice salen exactamente tres aristas... y sin embargo nada sabemos del aspecto real del mismo... hasta que lo descubre Szilassi y nos lo muestra con exactamente las propiedades que habíamos predicho. El hecho de hacer el post muchos años después del descubrimiento no empaña para nada la belleza del asunto, creo yo...
Pues bien, siendo todo esto extraordinario, puedo asegurarles que hay cosas más extrañas todavía: hay ciertas propiedades que deben cumplir indefectiblemente ciertos objetos matemáticos ¡en el caso de existir!
Nadie sabe si existen o si no existen, pero se sabe que si existieran, deberían cumplir una serie (cada vez más larga) de propiedades. Filosóficamente, uno se podría preguntar de qué leches estamos hablando cuando nos referimos a propiedades de objetos, tal vez inexistentes, verdad?
Estos "objetos" no son geométricos: son números. Concretamente son números perfectos (aquellos cuya suma de divisores propios es igual al propio número, se acuerdan?). Y más concretamente, son números perfectos impares.
Nadie sabe si existen, nadie conoce ninguno. Nadie sabe una razón por la que no deban existir, ni por la que sí deban existir. Sin embargo, se sabe que si existieran, debieran cumplir al menos estas propiedades:
1.- No pueden ser divisibles por 105
2.- Deben tener al menos 8 factores primos diferentes.
3.- Deben ser, incluso el más pequeño, mayor que 10 300
4.- Su segundo factor primo más pequeño debe ser mayor de 1000
5.- La suma de los inversos de todos ellos, debe ser finita.
La lista de proiedades "descubiertas" para los perfectos impares va creciendo continuamente, y ese crecimiento es el que, precisamente podrá demostrar al final la inexistencia de los mismos. ¿Cómo? Pues muy sencillo. Si algún día se demuestra una propiedad que sea incompatible con alguna de las ya demostradas anteriormente, se habrá demostrado la inexistencia de los números perfectos impares.
Para terminar, permitanme una infantilidad: yo no quiero que eso ocurra . Me parece mucho más interesante que existan que que no existan. Desgraciadamente, si un día decíamos que una de las propiedades del universo es el nulo caso que hace de nuestros deseos, creo que con la matemática pasa igual...lo cual da pie a pensar de un modo platónico en la existencia matemática, y nos llevaría a la eterna pregunta de su los objetos matemáticos se inventan o se descubren, pero eso es harina de otro costal.
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Como suele suceder con las demostraciones de los enunciados aparentemente inocentes de la Teoría de números, la complicación y dificultad se hace inusitadamente grande cuando aumenta la fuerza de la afirmación. Para ejemplificarlo, baste ver la demostración de dos afirmaciones más suaves que las que se listan aquí. A saber: todo perfecto impar tiene al menos TRES factores primos diferentes; aquí, y todo perfecto impar tiene al menos CUATRO factores primos diferentes ; aquí.
Hace unos meses comprobábamos una de las propiedades más fascinantes de la matemática: la facultad de postular la existencia de objetos que desconocemos, que nunca hemos visto, pero que podemos deducir sus propiedades una a una antes de encontrarlo. El ejemplo que veíamos era el del poliedro de Szilassi; extraño cuerpo tridimensional cuya existencia demostramos y propiedades en una serie de tres post, antes de mostrarlo en las ilustraciones.
No deja de ser mágico el asunto si lo pensamos bien: demostramos la existencia de un extraordinario poliedro con tan sólo siete caras, con 21 aristas y 14 vértices, que es topológicamente similar a una rosquilla por tener un agujero, y que además cada par de caras se encuentran en una arista. Podemos saber por tanto que todas las caras son hexagonales, pues cada una de las siete debe tener una arista común con las seis restantes. Sabemos también que de cada vértice salen exactamente tres aristas... y sin embargo nada sabemos del aspecto real del mismo... hasta que lo descubre Szilassi y nos lo muestra con exactamente las propiedades que habíamos predicho. El hecho de hacer el post muchos años después del descubrimiento no empaña para nada la belleza del asunto, creo yo...
Pues bien, siendo todo esto extraordinario, puedo asegurarles que hay cosas más extrañas todavía: hay ciertas propiedades que deben cumplir indefectiblemente ciertos objetos matemáticos ¡en el caso de existir!
Nadie sabe si existen o si no existen, pero se sabe que si existieran, deberían cumplir una serie (cada vez más larga) de propiedades. Filosóficamente, uno se podría preguntar de qué leches estamos hablando cuando nos referimos a propiedades de objetos, tal vez inexistentes, verdad?
Estos "objetos" no son geométricos: son números. Concretamente son números perfectos (aquellos cuya suma de divisores propios es igual al propio número, se acuerdan?). Y más concretamente, son números perfectos impares.
Nadie sabe si existen, nadie conoce ninguno. Nadie sabe una razón por la que no deban existir, ni por la que sí deban existir. Sin embargo, se sabe que si existieran, debieran cumplir al menos estas propiedades:
1.- No pueden ser divisibles por 105
2.- Deben tener al menos 8 factores primos diferentes.
3.- Deben ser, incluso el más pequeño, mayor que 10 300
4.- Su segundo factor primo más pequeño debe ser mayor de 1000
5.- La suma de los inversos de todos ellos, debe ser finita.
La lista de proiedades "descubiertas" para los perfectos impares va creciendo continuamente, y ese crecimiento es el que, precisamente podrá demostrar al final la inexistencia de los mismos. ¿Cómo? Pues muy sencillo. Si algún día se demuestra una propiedad que sea incompatible con alguna de las ya demostradas anteriormente, se habrá demostrado la inexistencia de los números perfectos impares.
Para terminar, permitanme una infantilidad: yo no quiero que eso ocurra . Me parece mucho más interesante que existan que que no existan. Desgraciadamente, si un día decíamos que una de las propiedades del universo es el nulo caso que hace de nuestros deseos, creo que con la matemática pasa igual...lo cual da pie a pensar de un modo platónico en la existencia matemática, y nos llevaría a la eterna pregunta de su los objetos matemáticos se inventan o se descubren, pero eso es harina de otro costal.
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Como suele suceder con las demostraciones de los enunciados aparentemente inocentes de la Teoría de números, la complicación y dificultad se hace inusitadamente grande cuando aumenta la fuerza de la afirmación. Para ejemplificarlo, baste ver la demostración de dos afirmaciones más suaves que las que se listan aquí. A saber: todo perfecto impar tiene al menos TRES factores primos diferentes; aquí, y todo perfecto impar tiene al menos CUATRO factores primos diferentes ; aquí.
4 comentarios
TioPetros -
Tus preguntas son de enorme interés. Verás, hemos tratado el tema de alguna manera en el post sobre las demostraciones matemáticas, está aquí:
http://www.infoaragon.net/servicios/blogs/tiopetrus/index.php?idarticulo=200310021
Mi opinión es que un ordenador no es una buena herramienta para demostrar teomreas en matemáticas. A diferencia de otras ciencias, la matemática no se adapta bien a demostraciones empíricas. Por unlado está el asunto del Entseidungproblem; el problema de parada que trataron Turing y otros en su momento. Cómo saber si un programa nos va a dar una respuesta si la pregunta atañe a un número no finito de posibilidades (P. Ej. el teorema de Fermat-Wiles)?
Por otro lado, aún cuando un problema se reduce a un número finito de cuestiones (Teorema de los cuatro colores que menciono en el post referenciado más arriba), la demostración por ordenador, por inspección de todos los casos, nos arroja a la cara un resultado: SI o NO.
Que será el correcto seguramente, no lo niego; pero no nos dice nada de porqué es esa la respuesta y no la contraria. Por eso, quiero creer que la teoría pura y la demostración tradicional sigue con la misma vigencia de siempre. En caso contrario, el futuro sería muy, pero que muy poco interesante.
canopus -
Hoy día, en matemática avanzada, ¿se recurre a grandes ordenadores para realizar cálculos similares o sigue prevaleciendo la teoría pura?
Supongo que sí son una herramienta util para demostraciones empíricas, ¿no?
¿O nos movemos en un nivel donde, como apuntabas, no es facil realizar esos calculos debido a la gran cantidad de tiempo de proceso?
TioPetros -
Alvaro -
-Deben ser, incluso el más pequeño, mayor que 10 300
Esa conclusion se ha alcanzado por el rustico metodo de ir probando numero por numero o por un romantico teorema alcanzado con complejas ecuaciones matematicas??