La [conjetura / teorema] de [Poincaré / Poincaré-Perelman]
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Como ya dijimos en alguna ocasión una conjetura es un teorema al que le falta la parte más interesante: la demostración. Dicho de otro modo: una conjetura nada tiene que ver con un teorema; es una simple afirmación. Aunque a veces se pervierta la nomenclatura, como en el caso del Ultimo teorema de Fermat, que no tuvo tal rango hasta que Wiles lo demostró hace pocos años.Visto así, parece que una conjetura tiene poco valor, y es poco más que una opinión. Así es en parte, de hecho muchas conjeturas resultaron falsas a la postre. Sin embargo normalmente tienen el valor de ser agudas observaciones realizadas por especialistas, retos lanzados al mundo para que las mejores mentes del planeta se esfuercen en desentrañar sus misterios. Así ocurre con una de las más famosas: la Conjetura de Poincaré
Pasamos a explicar en qué consiste la conjetura, tan de moda últimamente a raíz de la demostración (pendiente de refrendar por lo que yo sé, pero probablemente correcta) del matemático ruso Grigory Perelman
La Conjetura de Poincaré es una afirmación topológica. Una vez explicamos aquí que la topología tiene un estatus muy especial dentro de la matemática. Supondremos que el lector sabe qué estudia la topología por tanto.
A veces, los matemáticos tienen algo de naturalistas; taxónomos más concretamente. Les gusta clasificar cosas y ponerles etiquetas. Este gusto es totalmente lógico; para clasificar atendemos a las propiedades más esenciales de las cosas e investigamos la diversidad de las mismas. El procedimiento básico suele ser el siguiente: se establecen relaciones de equivalencia entre los objetos; no relaciones cualesquiera, sino relaciones que se consideran relaciones importantes precisamente porque atienden a propiedades que consideramos esenciales de las mismas. Dichas relaciones inducen clases de equivalencia dentro de las cuales todos los objetos están emparentados, y estudiamos el conjunto cociente de clases obtenido. Ese es el esquema esencial de clasificación en matemáticas, si bien su aplicación práctica puede variar, y así se han establecido clasificaciones para los grupos simples finitos, para las superficies en R n , las formas cuadráticas, los grupos de Lie, etc, etc.
La relación más habitual que se emplea en topología es la relación ser homeomorfo . Pocas veces se ha escondido detrás de una palabra tan fea un concepto tan bello. Dado un espacio de trabajo X, dos objetos A y B de dicho espacio (dos subconjuntos de puntos de X) son homeomorfos si pueden transformarse el uno en el otro mediante una transformación continua especial llamada homeomorfismo. Diremos que una aplicación de A a B es un homeomorfismo si es biyectiva, continua e inversible, siendo su inversa igualmente continua. Dado que si A y B son homeomorfos, entonces para un topólogo son esencialmente el mismo objeto, se comprende la importancia de la clasificación atendiendo a tal concepto.
Pues bien; la capacidad simplificatoria de este procedimiento es impresionante: al tratar a todos los objetos de cada clase como uno sólo (su representante canónico), obtenemos un panorama mucho más racional del universo que estamos estudiando. Es de esperar (de hecho, está asegurado) que todos los objetos de una misma clase de homeomorfia exhiban las mismas propiedades topológicas.
El problema es que lo que vale para un espacio topológico no tiene porqué valer para otro. Dado que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de siete, cabe esperar que ciertas cosas (cosas topológicas, entiéndanme) que ocurran en un universo de tres dimensiones no ocurrirán o al menos no tienen porqué ocurrir en otro de siete, y viceversa. Y aquí está el quid de la cuestión en lo que a la Conjetura de Poincaré se refiere.
Pero vayamos con calma.
Consideremos una esfera. Es muy importante explicar que entendemos que una esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de otro, llamado centro. Esto viene a cuento porque con esta definición una esfera es una superficie. No una bola maciza sino la superficie que la delimita. Esto es básico para entender lo que sigue. Para dejar más claro el asunto, la llamaremos 2-esfera por ser un objeto bidimensional, aunque esté inmerso en un espacio de tres dimensiones.
Todo objeto homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera tendrá las mismas propiedades topológicas que una esfera; esto es una perogrullada. Lo que no lo es es preguntarse si una determinada colección de propiedades de la esfera es una caracterización topológica de la misma. Esto no es nada trivial. Y de eso va la conjetura.
Una caracterización es un conjunto de propiedades que definen sin ambigüedad un objeto. Tres propiedades topológicas son importantes en una esfera:
1.- Es compacta
2.- Es orientable
3.- Es simplemente conexa
Hace mucho tiempo que quedó claro que este conjunto de tres propiedades es una caracterización de una 2-esfera, pero ¿qué ocurre en dimensiones superiores?
Una 3-esfera NO ES una esfera maciza, como alguno podría pensar. Una 3-esfera es una variedad diferenciable de tres dimensiones, que podemos definir como el conjunto de los 4-puntos de R4 que equidistan de uno dado (centro). Es una 3-variedad inmersa en un espacio de 4 dimensiones, por tanto.
Pues bien; ¿sigue siendo el conjunto de las tres propiedades una caracterización de las 3-esferas?
La Conjetura de Poincaré afirma que para cualquier número de dimensiones el conjunto de las tres propiedades es en efecto una caracterización de las n-esferas.
Apreciar el sabor de este bello (bellísimo, no lo duden) postulado es la tarea que les proponga en sucesivos post, en los que desgranaremos conceptos topológicos, y recorreremos la historia de la conjetura hasta llegar al bueno de Grigory Perelman , que se encerró durante años hasta dar con una demostración de este reto que el genial Poincaré lanzó a sus iguales.
Seguiremos disfrutando (yo al menos) con este tema en días sucesivos. Les espero.
34 comentarios
fernando -
ferx -
santi -
theterock -
Respcto a lo de Poincaré me parece justo que el trabajo del ruso Grigory Perelman sea bien valorado aún que el crédito se lo lleven los otros matemáticos chinos. Perelman avanzó mucho en esto, al igual que el gran teorema de Fermat el credito es lo llevo Wiles, pero enrealidad Taniyama lo hizo básicamnete todo. En fin
Felicidades,
Ángel -
Luis A. Amat -
jgalvez -
Anónimo -
TioPetros -
Cluje -
Del problema de la teoría de dimensión para espacios en general, creo que lo que dice mewt es correcto, en el sentido de que para espacios topológicos sin ninguna condición a priori, la teoría de la dimensión es una rama de la topología con entidad propia desde hace bastante tiempo. Creo recordar que la definición más generalmente aceptada es lo que llaman la definición inductiva, que es en función de inclusiones de abiertos; se puede encontrar, si no me falla la memoria, en el libro de Hurewicz y Wallman "dimension theory".
Sin embargo, en lo que respecta a variedades, que son los espacios que normalmente aparecen en el contexto de la conjetura de Poincaré, la manera de verificar la invariancia por homeomorfismo es un razonamiento sencillo "lola-like": si una aplicación entre dos variedades topológicas es homeomorfismo, en particular es homeomorfismo local (=homeomorfismo en un entorno de cada punto). Pero una variedad se define precisamente como un espacio tal que cada punto posee un entorno homeomorfo a R^n, para un cierto n fijo para todos los puntos de la variedad. Ahora basta aplicar lo que dice Lola.
Y bueno, un par de anecdotillas para terminar, que me está quedando el post muy técnico:
- Una, que una parte de la teoría de la dimensión se ocupa de los espacios de dimensión...fraccionaria!!!! Son estos espacios de tipo fractal, como las curvas de Peano o el conjunto de Cantor (que tiene dimensión log 2/log 3); espacios que son muy "gordos" para tener una cierta dimensión entera y muy "finos" para tener la siguiente. Aclaro aquí para los que están más puestos en el tema que esta definición de dimensión es la de Hausdorff, que proviene del Análisis y que coincide con la habitual en los números enteros.
- Dos. A Poincaré se le consideró el matemático más influyente del cambio de siglo del XIX al XX, junto con Hilbert; entre otras cosas, su Analysis Situs se considera el germen de la Topología Algebraica y la Teoría de Homología (dicho de otro modo, de cada plato de garbanzos que me como, por lo menos dos o tres se los debo a Poincaré). Sin embargo, su hermano le superó, pues llego a ser... Presidente de la República Francesa!!!
Bueno, que se hace tarde. Buenas noches a todos.
Crystal -
Y a mí también me encanta Escher; en concreto esa imagen está entre mis preferidas, pero hay muchas otras, por supuesto.
Andy -
PD me equivoque antes poniendo mi direccion web esta es la buena :P
Andy -
angelrls, El Lobo Rayado -
juan -
no te preocupes. es el primer detalle que evo que olvidas en casi un año que llevo visitandote. he tardado mucho, peo creo que he leido casi todos tus mensajes en este tiempo.
a por ellos!! a por la diferenciacion de espacios de diferentes dimensioes!!! larga vida a la homologia...
y el astrofisico, no me explico como no os enseñan estas cosas. deberian ponerlas en 2º bacillerato...(es coña)
angelrls, El Lobo Rayado -
angelrls, El Lobo Rayado -
http://lolamr.blogalia.com, El Lolaberinto
angelrls, El Lobo Rayado -
Ah, y que conste que ella lo intenta explicar siempre con todas sus fuerzas, pero ... soy un simple astrofisiquito, esto me supera...
Palimp -
De nuevo gracias por tu labor divulgativa.
TioPetros -
Off topic, pero interesantísimo. Gracias
Adrian -
Avance de la investigación matemática española
http://www.usc.es/gl/institutos/instituto.jsp?id=5477
Avance de la investigación matemática española
La investigación matemática española ha experimentado un desarrollo espectacular en los últimos años, que la han convertido en la tercera ciencia nacional, con una producción de articulos del 4.65% en el quinquenio 1999-2003. Fruto de este desarrollo ha sido la inclusión, por primera vez, de un Programa Nacional de Matemáticas en el Plan Nacional de I+D+i 2004-2007.
A pesar de este éxito espectacular, las matemáticas españolas necesitan nuevas herramientas que la capaciten para afrontar nuevas cotas y que, además, faciliten la transferencia del conocimiento matemático a otras ciencias y al sector productivo y tecnológico. En el citado Programa se incluía, como Acción Estratégica, la creación de un Centro Nacional de Matemáticas.
Con el objetivo de conseguir un amplio y abierto debate entre los matemáticos españoles, responsables institucionales, y agentes internacionales desde una óptica multidisciplinar se celebrarán los próximos 18 y 19 de noviembre unas Jornadas de Política Científica en Santiago de Compostela, que serán la continuación de las Primeras celebradas en el CSIC (Madrid) los días 17 y 18 de junio pasados.
Esta iniciativa se enmarca dentro de una Acción Especial coordinada por Manuel de León (como Coordinador de Matemáticas de la ANEP) y Enrique Zuazua (como Gestor del Programa Nacional de Matemáticas).
Lola -
TioPetros -
El trabajo que supone hacer un cierto orden en nuestras conexiones sinápticas se ve una y otra vez vencido por la inalterable segunda ley de la termo... snif.
Lola -
De todas formas, es increíble la rapidez con la que puedo olvidar las cosas de la carrera cuando sólo se ven idempotentes que te dan splittings en homotopía estable de no sé qué leches... A ver si doy clases de topología y me pongo a recordar todo de nuevo :)
Ah, y hay más topólogos en la sala: Cluje, doctor incluso.
Carl Philip -
Off-topic: Xenakis será relativamente pronto.
TioPetros -
"yo no tengo tanta paciencia... "
lo que pasa es que mientras yo tengo un humilde blog sobre historias matemáticas, tú HACES matemáticas. Ni color... ;-)
mewt -
Me imagino que lo que dices será cierto; con lo que hay que tener cuidado es con como se define la "dimensión" de un espacio topológico. Desde luego no puede definirse a partir de bases, y si usas una definición del tipo de las de las variedades (topológicas) el problema de la invarianza de la dimensión nos lleva de nuevo a la homología (creo) ya que la dimensión no es invariante por homotopía. De todas formas, seguro que de esto sabe más Lola, que es topóloga :-P A mi dadme álgebra...
TioPetros -
De acuerdo, la inversa debe ser continua. Por supuesto.
Respecto a los homeomorfismos entre espacios de dimensiones diferentes, en fin: no necesito más que saber que el número de dimensiones es un invariante topológico (o no?).
Lola -
juan -
de todas formas, a lo importante. animo tio petros!!! este tema es de los que mas me entusiasman. el año pasado curse una asignatura de topologia algebraica, donde estudiabamos la homologia simplicial y la verdad es que me encanto.
un saludo.
mewt -
Por cierto, que la definición de homeomorfismo es incompleta, no basta conque la aplicación sea continua y biyectiva, además hay que pedir que la inversa sea continua, o equivalentemente, que la aplicación sea abierta o cerrada. Basta considerar un espacio con unos cuantos puntos y la aplicación identidad en ese espacio, poniendo en el dominio la topología discreta y en el codominio la trivial. Esto es siempre una biyección continua, pero no es abierta, por lo que no es un homeomorfismo.
Por cierto, lo de demostrar que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de 7 tiene tela... la única demostración que yo conozco usa cosas como homología local. Lo digo solo para mostrar que, incluso en los casos mas sencillos, demostrar que dos cosas no son homeomorfas suele ser un problema bastante complicado ;-)
Carlos -
TioPetros -
Palimp -
Lo había leído en el I&C y tenía ganas de preguntarte al respecto, pero si vas a ir paso a paso hasta llegar a la conjetura preveo, como dices, un disfrute asegurado.
¡Gracias!