Clasificando puntos (2)
Decíamos en el último post que necesitamos una clasificación más fina de los puntos de un espacio topológico respecto a cualquier subconjunto suyo. Y lo decíamos porque los puntos aislados eran evidentemente de una naturaleza distinta a los otros puntos de la frontera del subconjunto. Repetimos la imagen del post anterior para recordar el ejemplo en el que veíamos el asunto.
Debemos resaltar el hecho de que tanto los puntos del interior como los de la frontera (aislados incluido) tienen la propiedad de que cualquier entorno de los mismos contiene algún punto del subconjunto. Llamaremos adherencia o clausura de B, adh(B) a dicho puntos. Habitualmente se denota con el nombre del subconjunto y una barra encima, cosa que no sé cómo hacer, por lo que dejaremos la nomenclatura adh(B).
A partir de esta definición, está claro que
adh (B)= int (B) U fr (B)
que
X = adh (B) U ext (B) , para todo subconjunto B de X.
Y también que se dan las siguientes inclusiones:
Int (B) C B C adh (B)
De hecho, es interesante comprender que el interior es el mayor abierto que contiene a B, y la clausura o adherencia es el menor cerrado que lo contiene. Esto nos da otra caracterización de los abiertos y los cerrados:
Un abierto es un subconjunto que coincide con su interior, y un cerrado lo es si coincide con su clausura.
Pero nosotros seguimos sin poder discriminar los puntos aislados, porque la adherencia incluye a la frontera, y los aislados pertenecen a ésta última. La solución es obvia: los puntos aislados son aquellos para los cuales existe un entorno cuya intersección con el subconjunto se reduce al punto en cuestión: definamos algo similar a la adherencia, pero sin tener en cuenta el propio punto.
Decimos que x X es un punto de acumulación de un subconjunto B en un espacio topológico (X,Y) si todo entorno del mismo corta a B en algún punto diferente del propio x
Ahora está claro que un punto aislado no es de acumulación.
A pesar de lo que pueda parecer a primera vista, un punto de acumulación de B no tiene porqué pertenecer a B. Lo vemos con el ejemplo siguiente:
Sea B={1/n2 ; n N} como subconjunto de R con la topología usual. El cero no pertenece a B, y sin embargo cualquier entorno del cero tiene puntos de B, como se puede comprobar fácilmente tomando un entorno (-e,+e) y viendo que siempre existirá un m N tal que 1/n es menor que e, para todo n mayor que m. Por lo tanto, son infinitos los puntos de B incluidos en cualquier entorno, por pequeño que sea de B.
Al conjunto de todos los puntos de acumulación de B lo llamaremos derivado de B, y lo denotamos B .
Es fácil comprobar que:
Adh (B) = B U B
A partir de ahora, salvo error por mi parte, podremos hacer muchas cosas que antes no podíamos. Espero generar post menos aburridos desde ahora, pero la verdad es que necesitaba definir conceptos...
Debemos resaltar el hecho de que tanto los puntos del interior como los de la frontera (aislados incluido) tienen la propiedad de que cualquier entorno de los mismos contiene algún punto del subconjunto. Llamaremos adherencia o clausura de B, adh(B) a dicho puntos. Habitualmente se denota con el nombre del subconjunto y una barra encima, cosa que no sé cómo hacer, por lo que dejaremos la nomenclatura adh(B).
A partir de esta definición, está claro que
adh (B)= int (B) U fr (B)
que
X = adh (B) U ext (B) , para todo subconjunto B de X.
Y también que se dan las siguientes inclusiones:
Int (B) C B C adh (B)
De hecho, es interesante comprender que el interior es el mayor abierto que contiene a B, y la clausura o adherencia es el menor cerrado que lo contiene. Esto nos da otra caracterización de los abiertos y los cerrados:
Un abierto es un subconjunto que coincide con su interior, y un cerrado lo es si coincide con su clausura.
Pero nosotros seguimos sin poder discriminar los puntos aislados, porque la adherencia incluye a la frontera, y los aislados pertenecen a ésta última. La solución es obvia: los puntos aislados son aquellos para los cuales existe un entorno cuya intersección con el subconjunto se reduce al punto en cuestión: definamos algo similar a la adherencia, pero sin tener en cuenta el propio punto.
Decimos que x X es un punto de acumulación de un subconjunto B en un espacio topológico (X,Y) si todo entorno del mismo corta a B en algún punto diferente del propio x
Ahora está claro que un punto aislado no es de acumulación.
A pesar de lo que pueda parecer a primera vista, un punto de acumulación de B no tiene porqué pertenecer a B. Lo vemos con el ejemplo siguiente:
Sea B={1/n2 ; n N} como subconjunto de R con la topología usual. El cero no pertenece a B, y sin embargo cualquier entorno del cero tiene puntos de B, como se puede comprobar fácilmente tomando un entorno (-e,+e) y viendo que siempre existirá un m N tal que 1/n es menor que e, para todo n mayor que m. Por lo tanto, son infinitos los puntos de B incluidos en cualquier entorno, por pequeño que sea de B.
Al conjunto de todos los puntos de acumulación de B lo llamaremos derivado de B, y lo denotamos B .
Es fácil comprobar que:
Adh (B) = B U B
A partir de ahora, salvo error por mi parte, podremos hacer muchas cosas que antes no podíamos. Espero generar post menos aburridos desde ahora, pero la verdad es que necesitaba definir conceptos...
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