Atrapando el concepto de azar (1)
En matemáticas las cosas están claras. Me explico: no hay ninguna indefinición en los conceptos, y las definiciones son claras, precisas y exentas de ambigüedad. Lo que ocurre es que, a veces, la sutileza de los conceptos a emplear exige una aparentemente complicada terminología.
Así ocurre con la definición de variable aleatoria . En una primera aproximación, la expresión variable aleatoria parece remitir a una variable que toma valores en función del azar. Esa primera impresión es totalmente correcta; pero fijar el concepto con el rigor que se exige en matemáticas no es tarea trivial. El presente post tiene la misión de acercar al lector a una definición algo más precisa de esto último.
La primera complicación viene del mundo en el que habitan las variables aleatorias, más complicado de explicar que el mundo de las variables habituales del cálculo infinitesimal.
En el cálculo infinitesimal, una función de n variables f(x,y,z,...t) habita en el espacio n-dimensional formado por las variables x,y,z,..,t. Este universo por muy n-dimensional que pueda ser es muy parecido al que habitamos nosotros: se tratá de un espacio métrico en el que existen distancias entre puntos. La propia función consiste en una aplicación que a cada punto del dominio de la función le hace corresponder un número, real o complejo.
Las de variable aleatorias no habitan en espacios métricos de este tipo, y esta es una diferencia radical. Su espacio natural es un espacio probabilístico, así que empezaremos por el principio.
La primera diferencia radical entre un espacio probabilístico y un espacio habitual (un espacio métrico n-dimensional) es que el segundo está formado por puntos; mientras que el primero está formado un conjunto en la acepción más general de la palabra, junto con sus elementos y subconjuntos; más una probabilidad definida en su seno . La frase anterior está en cursiva para resaltar el hecho de que tenemos mucho por definir antes de poder hablar alegremente de una probabilidad definida en el seno de un conjunto.
Así pues, una variable aleatoria no hará corresponder un valor concreto a cada punto de un espacio, sino que tendremos un conjunto de partida, que llamaremos X, y la de variable aleatoria hará corresponder valores concretos elementos concretos de dicho conjunto original.
He subrayado valores concretos para hacer hincapié en el hecho de que la aleatoriedad no reside en la atribución del valor a cada subconjunto. Repito: a cada elemento en el cual la variable aleatoria esté definida, la variable aleatoria le hace corresponder un número real (o complejo) fijo.
Dónde reside entonces la aleatoriedad?
Pues en el propio espacio de definición, que por eso se denomina espacio probabilístico. Para definir qué cosa es un espacio probabilístico, es necesario tener unos conceptos previos, lo que me da pié a iniciar una serie de posts sobre el tema
Haremos una incursión cualitativa en la teoría de la medida, en los espacios medibles y por lo tanto en las álgebras de conjuntos y sigma-álgebras. Espero que les guste el paseo.
Así ocurre con la definición de variable aleatoria . En una primera aproximación, la expresión variable aleatoria parece remitir a una variable que toma valores en función del azar. Esa primera impresión es totalmente correcta; pero fijar el concepto con el rigor que se exige en matemáticas no es tarea trivial. El presente post tiene la misión de acercar al lector a una definición algo más precisa de esto último.
La primera complicación viene del mundo en el que habitan las variables aleatorias, más complicado de explicar que el mundo de las variables habituales del cálculo infinitesimal.
En el cálculo infinitesimal, una función de n variables f(x,y,z,...t) habita en el espacio n-dimensional formado por las variables x,y,z,..,t. Este universo por muy n-dimensional que pueda ser es muy parecido al que habitamos nosotros: se tratá de un espacio métrico en el que existen distancias entre puntos. La propia función consiste en una aplicación que a cada punto del dominio de la función le hace corresponder un número, real o complejo.
Las de variable aleatorias no habitan en espacios métricos de este tipo, y esta es una diferencia radical. Su espacio natural es un espacio probabilístico, así que empezaremos por el principio.
La primera diferencia radical entre un espacio probabilístico y un espacio habitual (un espacio métrico n-dimensional) es que el segundo está formado por puntos; mientras que el primero está formado un conjunto en la acepción más general de la palabra, junto con sus elementos y subconjuntos; más una probabilidad definida en su seno . La frase anterior está en cursiva para resaltar el hecho de que tenemos mucho por definir antes de poder hablar alegremente de una probabilidad definida en el seno de un conjunto.
Así pues, una variable aleatoria no hará corresponder un valor concreto a cada punto de un espacio, sino que tendremos un conjunto de partida, que llamaremos X, y la de variable aleatoria hará corresponder valores concretos elementos concretos de dicho conjunto original.
He subrayado valores concretos para hacer hincapié en el hecho de que la aleatoriedad no reside en la atribución del valor a cada subconjunto. Repito: a cada elemento en el cual la variable aleatoria esté definida, la variable aleatoria le hace corresponder un número real (o complejo) fijo.
Dónde reside entonces la aleatoriedad?
Pues en el propio espacio de definición, que por eso se denomina espacio probabilístico. Para definir qué cosa es un espacio probabilístico, es necesario tener unos conceptos previos, lo que me da pié a iniciar una serie de posts sobre el tema
Haremos una incursión cualitativa en la teoría de la medida, en los espacios medibles y por lo tanto en las álgebras de conjuntos y sigma-álgebras. Espero que les guste el paseo.
5 comentarios
liriecito -
Crystal -
joseangelmadrid -
Dem -
Palimp -
Estaré atento.