Una construcción imposible
Demostrar que una determinada construcción es posible puede ser un reto apasionante y difícil. En este mismo blog hemos deducido la existencia de un objeto poliédrico que cumplía la propiedad tetraedal de que cada cara era adyacente a todas las demás, con un agujero interno, para luego presentarlo como el denominado Poliedro de Szilassi .
Cuando la construcción efectiva del objeto previamente definido se resiste, puede ser que la construcción sea imposible, que el objeto con las propiedades requeridas no pueda existir, o que simplemente no hemos dado con ello. Si la situación se prolonga, podemos intentar demostrar la imposibilidad de existencia del objeto de forma teórica, dando correctamente por zanjado el asunto. Esto último es lo que se hace con la duplicación del cubo, la trisección del ángulo de 60 grados o la cuadratura del círculo.
Algo así sucede con la construcción que les propongo a continuación; se trata de un problema que he encontrado en la web recientemente y que dice más o menos así:
Tenemos un cubo con una arista de treinta unidades. Queremos construirlo con 27 ladrillos, de forma que sólo utilicemos ladrillos enteros. Las dimensiones de cada ladrillo son de cinco unidades de altura por diez de anchura y por veinte de largo.
El volumen del cubo es igual al volumen de los 27 ladrillos de que dispongo, como pueden comprobar.
Para que no pierdan tiempo en intentar tal construcción, les adelanto que no es posible.
Se trata de encontrar un argumento que nos convenza de tal imposibilidad.
Feliz fin de semana.
Cuando la construcción efectiva del objeto previamente definido se resiste, puede ser que la construcción sea imposible, que el objeto con las propiedades requeridas no pueda existir, o que simplemente no hemos dado con ello. Si la situación se prolonga, podemos intentar demostrar la imposibilidad de existencia del objeto de forma teórica, dando correctamente por zanjado el asunto. Esto último es lo que se hace con la duplicación del cubo, la trisección del ángulo de 60 grados o la cuadratura del círculo.
Algo así sucede con la construcción que les propongo a continuación; se trata de un problema que he encontrado en la web recientemente y que dice más o menos así:
Tenemos un cubo con una arista de treinta unidades. Queremos construirlo con 27 ladrillos, de forma que sólo utilicemos ladrillos enteros. Las dimensiones de cada ladrillo son de cinco unidades de altura por diez de anchura y por veinte de largo.
El volumen del cubo es igual al volumen de los 27 ladrillos de que dispongo, como pueden comprobar.
Para que no pierdan tiempo en intentar tal construcción, les adelanto que no es posible.
Se trata de encontrar un argumento que nos convenza de tal imposibilidad.
Feliz fin de semana.
15 comentarios
Sildenafil -
iup -
omalaled -
Saludos
weo -
es que no me deja comentar post anteriores. verificando
samu -
omalaled -
Gracias
Saludos
BitFarmer -
BitFarmer -
El tema es que si construis la figura simplificada (6x6x6 con piezas de 1x2x4) y luego la "pintais" como un damero tridimensional (cubos de 2x2x2 blancos y negros alternados), resultara que cada ladrillo original, si ahora lo "extraemos" del cubo y lo ponemos "plano" sobre la mesa, estara pintado como una porcion de un tablero de ajedrez con cada posicion de tamaño 2x2, y puede ser que nuestro ladrillo haya quedado pintado de varias formas, pero SIEMPRE este dibujo "impreso" en el ladrillo nos da el mismo numero de bralcos que de negros, este es el punto importante.
Por ejemplo, un ladrillo puede quedar asi:
XOOXXO
OXXOOX
OXXOOX
XOOXXO
siendo X negro y O blanco, o puede que quede pintado de otra forma, pero siempre hay 4 negros y 4 blancos.
Y esto nos lleva a una contradiccion: Si contamos los cubos blancos y negros en la figura completa, hay mas negros que blancos, pero si los contamos despues de desmontar el cubo en los ladrillos originales, entonces sale el mismo numero de blancos que de negros.
Ñbrevu -
Aunque supongo que lo más posible es que yo no haya entendido del todo la solución... en todo caso, explíquenla un poco más, por favor.
omalaled -
Imaginemos el cubo hecho de 30x30x30 y lo cortamos en 27 planchas de 30x30x(10/9). Aunque nos saliera una negra de más a la hora de pintarlas, podríamos hacer el cubo superponiéndolas. Estaríamos igual que antes, un cubo con más de la mitad del volumen pintado de negro y bien hecho con 27 piezas idénticas.
Por tanto, la argumentación del color no serviría en este caso. Si estoy equivocado, ¿dónde está el esta de dicha argumentación?
Saludos
TioPetros -
Nikito Nipongo -
Lespetuosamente,
Nikito
Ñbrevu -
La solución sería correcta, creo, si dividiéramos el cubo en bloques de tamaño 2x2x1 (siendo cada ladrillo equivalente a 2 bloques). Sin embargo, si lo hacemos de ese modo hay 54 bloques, con lo cual no demostramos la imposibilidad de hacer esa construcción.
icp -
"Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez y 31 fichas de dominó que ocupan cada una exactamente 2 casillas. ¿Podemos cubrir con ellas todo el tablero excepto las 2 esquinas blancas(62 casillas en total)?"
icp -
En primer lugar podemos dividir todas las magnitudes por 5 y obtener un problema equivalente: construir un cubo 6x6x6 con ladrillos de dimensiones 4x2x1.
Supongamos que fuera posible. Entonces el truco es dividir el cubo 6x6x6 en 27 cubos de dimensiones 2x2x2, y pintar cada cubo de un color blanco o negro, como si fuera un "tablero de ajedrez de 3 dimensiones". ES decir que por ejemplo empezamos pintando uno de los cubos de als esquinas de negro, luego todos los que tienen una cara en común con él, los pintamos de blanco etc.
Ahora bien si lo hacemso así nos quedan 14 cubos negros y 13 blancos. Luego más de la mitad del cubo grande será negra.
Pero la clave es la siguiente: cada ladrillo que forma ese cubo tiene la mitad de su volumen en zona blanca y la mitad en zona negra (quizás esto es lo difícil de formalizar pero pienso que es cierto). Por tanto llegamos a un absuurdo: un cubo pintado de forma que más de la mitad de su volumen es negro, pero formado por 27 ladrillos cuyo volumen es mitad negro, mitad blanco.