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Tio Petros

Siguiente término de una sucesión (2/2)

Segundo post de la serie, a cargo de Jorge Alonso.


En uno de sus libros, John Allen Paulos comenta de pasada un método para hayar una ley matemática que haga que el siguiente término de la sucesión sea el que queramos que sea. La clave se encuentra en que la serie de partida es una serie finita.


Para evitar una explicación farragosa, partamos de una serie inicial de tres términos

a, b, c

en la que queremos que el siguiente término sea d.

El término general será f(n); partamos de

f(n) = a + b + c

Cuando n = 1, esta expresión debe valer a, por lo que multiplicamos a los valores b y c por unos ceros camuflados:

f(n) = a + b(n-1) + c(n-1)

Para n = 2, debe cumplirse que f(2) = b

f(n) = a(n-2) + b(n-1) + c(n-1)(n-2)

Y lo mismo para n = 3:

f(n) = a(n-2)(n-3) + b(n-1)(n-3) + c(n-1)(n-2)

Aún no hemos acabado, ya que, por ejemplo, para n = 2 no obtenemos


f(2) = b, sino

f(2) = b(2-1)(2-3)

por lo que hay que dividir cada término por factores correctores:

f(n) = a(n-2)(n-3)/(1-2)(1-3) +
+ b(n-1)(n-3)/(2-1)(2-3) +
+ c(n-1)(n-2)/(3-1)(3-2)

Ahora sí que hemos obtenido una expresión f(n) que cumple con los términos iniciales. De forma análoga, podemos añadir nuestro nuevo término d:

f(n) = a(n-2)(n-3)(n-4)/(1-2)(1-3)(1-4) +
+ b(n-1)(n-3)(n-4)/(2-1)(2-3)(2-4) +
+ c(n-1)(n-2)(n-4)/(3-1)(3-2)(3-4) +
+ d(n-1)(n-2)(n-3)/(4-1)(4-2)(4-3)

Sabiendo este truco matemático ya no habrá serie que se nos resista, ni siquiera las que aparecen en los test de inteligencia.

 

6 comentarios

carles -

podeis decirme donde puedo encontrar mucha información sobre el número de oro y la sucesión de Fibonacci ? libros recomendados, o enlaces web que esten bién... GRACIAS

samu -

yo siempre he defendido que las series no valen como test de inteligencia ¿por que tiene que estar bien su razonamiento y no otros?

es de locos

BitFarmer -

Esta construccion es casi identica a la que te da el polinomio -de menor grado, para que no digais que hay infinitos- que pasa por N puntos datos (Xi, Yi), curioso!

Antonio -

hallar = encontrar

hayar es del verbo haber

Tio Petros -

No hay forma, Chewie. Por definición, una sucesión es una aplicación de N en un conjunto numérico; sin restricción alguna.

Así pues, la sucesión que tiene por enésimo elemento el enésimo elemento de la sucesión de Fibonacci, excepto el de posición 43, que vale pi; es una sucesión con tanto derecho a ser denominada sucesión como la inicial.

Lo que conseguimos aquí es una expresión analítica (polinómica) que respeta los n primeros elementos, por muy grande que sea n. Que no es poco...

Chewie -

Pero la sucesión que cumple con esa serie inicial finita, no es única ¿verdad? Y este método nos da sólo una de ellas. ¿Cómo asegurar que es la misma que había pensado el que diseñó el test?