¿Quién puede nombrar el mayor número? (8/8)
Termina aquí la serie de ocho post dedicados a la traducción que Jorge Alonso ha realizado para este blog del trabajo de Scott Aaronson, 1999 con permiso expreso del autor . Espero que les haya gustado tanto como a mi. Muchas gracias, Jorge.
Viene de aquí
Así que aquí estamos, en la frontera del conocimiento de los grandes números. Como se supone que el discípulo de Euclides preguntó, "¿para qué sirve todo esto?" Hemos visto que el progreso en sistemas notacionales para grandes números es un espejo del progreso en reinos más amplios: matemáticas, lógica, informática. Y todavía, aunque un espejo refleja la realidad, no necesariamente la influencia. Incluso dentro de las matemáticas, los grandes números son a menudo considerados trivialidades, su estudio un entretenimiento ocioso sin implicaciones más amplias. Quiero argumentar una visión contraria: que el entendimiento de los grandes números es una clave para entender el mundo.
Imagina intentar explicar la máquina de Turing a Arquímedes. El genio de Siracusa escucha pacientemente como discutes sobre la cinta de papiro extendiéndose infinitamente en ambas direcciones, los pasos, estados, y entradas y salidas de secuencias. Por fin explota.
"¡Tonterías!" declara (o el antiguo equivalente griego). "Todo lo que me das es una elaborada definición, sin ningún valor fuera de sí misma."
¿Cómo responder? Arquímedes nunca ha oído hablar de los ordenadores, esos quisquillosos dispositivos que, veintitrés siglos después, llevan a cabo los asuntos del mundo. Así que no puedes reclamar aplicaciones prácticas. Ni puedes apelar a Hilbert y al programa de formalismo, ya que Arquímedes no ha oído hablar de ambos. Pero entonces caes en la cuenta: la sucesión del castor atareado. Defines la secuencia para Arquímedes, convenciéndolo que B(1000) es más que 1063 granos de arena llenando el universo, más incluso que 1063 elevado a su propia potencia 1063 veces. Le desafías a nombrar un número mayor sin invocar las máquinas de Turing o algún equivalente. Y así como él pondera este desafío, el poder del concepto de la máquina de Turing le ilumina. Aunque su intuición nunca podría aprehender los números del castor atareado, su razón lo compele a reconocer su inmensidad. Los grandes números tienen una forma de imbuir las nociones abstractas de realidad.
En verdad, uno podría definir la ciencia como el esfuerzo de la razón para compensar nuestra incapacidad para percibir grandes números. Si pudiésemos correr a 280 000 000 metros por segundo, no habría necesidad para una teoría especial de la relatividad: sería obvio para cualquiera que cuanto más rápido fuésemos, más pesados y achaparrados nos volveríamos, y más rápido pasa el tiempo en el resto del mundo. Si pudiésemos vivir durante 70 000 000 de años, no habría ninguna teoría de la evolución, y ciertamente ningún creacionismo: podríamos mirar la especiación y la adaptación con nuestros ojos, en lugar de reconstruir esmeradamente los eventos a partir de fósiles y ADN. Si pudiésemos hornear pan a 20 000 000 grados Kelvin, la fusión nuclear no sería el dominio esotérico de físicos sino el conocimiento familiar ordinario. Pero no podemos hacer ninguna de esas cosas, así que tenemos ciencia, para deducir sobre la gargantúa que nosotros, con nuestras facultades infinitesimales, jamás sentiremos. Si la gente teme a los grandes números, ¿es una sorpresa que también teman a la ciencia y giren al solaz de la confortable pequeñez del misticismo?
Pero ¿teme la gente a los grandes números? Ciertamente sí. He encontrado gente que no sabe la diferencia entre millón y mil millones (*), y no les preocupa. Jugamos una lotería con `¡seis formas de ganar!’, pasando por alto las veinte millones de formas de perder. Bostezamos a seis mil millones de toneladas de dióxido de carbono soltado en la atmósfera cada año, y hablamos de `desarrollo sostenible’ en las mandíbulas del crecimiento exponencial. Tales casos, me parece, transcienden la ignorancia aritmética y representan la poca disposición básica de agarrar lo inmenso.
Entonces ¿de dónde viene el encogerse de miedo ante los grandes números? ¿Tiene un origen biológico? En 1999, un grupo guiado por el neuropsicólogo Stanislas Dehaene reportó evidencia en Science de que dos sistemas separados del cerebro contribuyen al pensamiento matemático. El grupo entrenó a bilingües ruso-inglés en resolver un conjunto de problemas, incluyendo suma de dos dígitos, suma en base ocho, raíces cúbicas y logaritmos. Algunos sujetos fueron entrenados en ruso, otros en inglés. Cuando pidieron entonces a los sujetos resolver problemas aproximadamente (elegir la más próxima de dos estimaciones) lo hicieron igualmente bien en ambos lenguajes. Pero cuando les pidieron resolver problemas exactamente, lo hicieron mejor en el lenguaje de su entrenamiento. Lo que es más, las imágenes cerebrales mostraron que los lóbulos parietales de los sujetos, implicados en el razonamiento espacial, fueron más activos durante los problemas de cálculo aproximado; mientras que los lóbulos frontal inferior izquierdos, implicados en el razonamiento verbal, fueron más activos durante los problemas de cálculo exacto. Estudios de pacientes con lesiones cerebrales dibujan el mismo cuadro: aquellos con lesiones parietales algunas veces no pueden decidir si 9 está más próximo a 10 o a 5, pero recuerdan la tabla de multiplicación; mientras que aquellos con lesiones en el hemisferio izquierdo algunas veces no pueden decidir si 2+2 es 3 o 4, pero saben que la respuesta está más cerca de 3 que de 9. Dehaene et al. conjeturan que los humanos representamos los números de dos formas. Para cálculo aproximado usamos una `línea numérica mental’, que evolucionó hace mucho tiempo y que probablemente compartimos con otros animales. Pero para el cómputo exacto usamos símbolos numéricos, que evolucionaron recientemente y que, siendo dependientes del lenguaje, son únicos en los humanos. Esta hipótesis explica aseadamente los resultados del experimento: la razón de los sujetos se desempeñen mejor en el lenguaje de su entrenamiento para el cálculo pero no para problemas de aproximación, ya que lo primero invoca al lóbulo de orientación verbal frontal inferior izquierdo, y lo segundo al lóbulo parietal de orientación espacial.
Si la hipótesis de Dehaene et al. es correcta, entonces ¿qué representación utilizamos para los grandes números? Ciertamente la simbólica; para nadie la línea numérica mental puede ser larga suficiente para contener 99^9, 5 pentado a 5, o B(1000). Y aquí, sospecho, está el problema. Cuando pensamos sobre 3, 4 o 7, estamos guiados por nuestra intuición espacial, afilada en millones de años de percibir 3 gacelas, 4 compañeros o 7 miembros de un clan hostil. Pero cuando pensamos sobre B(1000), sólo contamos con el lenguaje, esa evolución neófita. Los caminos neurales usuales para representar números llevan a un callejón sin salida. Y esto, quizá, es por lo que la gente está temerosa de los grandes números.
¿Podría una intervención temprana mitigar nuestra fobia a los grandes números? ¿Qué pasaría si los profesores de matemáticas de segundo grado tomasen un hiato de una hora de su aburridas tareas para preguntar a sus estudiantes "cómo nombrarías un número muy, pero que muy grande"? Y entonces les contaría sobre los exponenciales y exponenciales apilados, la tretración y la sucesión de Ackermann, y quizá incluso los castores atareados: una cornucopia de números más vasta que cualquiera que ellos jamás concibieron, e ideas ensanchando los límites de su imaginación.
¿Quién puede nombrar el mayor número? Quienquiera que tenga el paradigma más profundo. ¿Estás listo? Prepárate. Ya.
(*) Entre million y billion en el original.
8 comentarios
mimetist -
Virginia -
Cuando inventaron el año-luz me hicieron un gran favor. Por lo menos se podía contar en algo más normal.
A mí sí me dieron esas clases, en la Universidad, un catedrático que amaba las matemáticas y nos las hizo amar. Una vez al trimestre teníamos matemática recreativa, yo no me perdía esa clase ni loca.
Allí descubrí a los números amigos y otros muchos más.
No sé dónde tendré esos apuntes, los debería recuperar.
Angel -
Una obra de arte
Samu -
INCREIBLE
Gracias Tio Petros, por volver y por publicar esta obra de arte.
Nathanael -
Carlos -
JarFil -
teskmon -
Gracias al equipo de personas que lo han traducido y publicado.