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Tio Petros

La demostración de Euclides

Viene de aquí

Euclides descubrió, o la tradición nos dice que Euclides descubrió que existe una infinidad de números primos hace más de 2.200 años.

La demostración, no por conocida ad nauseam es menos bella, de modo que no nos la vamos a ahorrar aquí. La belleza de esta demostración depende en parte del hecho de utilizar exclusivamente argumentos finitistas para demostrar la infinitud por reducción al absurdo.

Esto es importante, porque el manejo del infinito es un paseo extremadamente problemático en el que mil peligros acechan por doquier. Por el contrario si utilizamos como hizo Euclides, argumentos exclusivamente finitistas, y no involucramos al infinito en momento alguno, conjuramos posibles malas utilizaciones de conceptos difíciles.

Lo que Euclides demuestra exactamente es que, dado un conjunto finito de números primos, siempre podremos encontrar un número primo que no pertenece a dicho conjunto.

Veamos la prueba y luego comentamos las implicaciones, es una prueba que amalgama perfectamente simplicidad, belleza y contundencia.

DEMOSTRACION

Primero Euclides asumió que la lista de números primos es finita .

Imaginemos una lista que contiene (todos) los primos: P1, P2, P3, ... Pn. Entonces se puede generar otro número Q (mucho mayor) tal que:

Q=(P1 x P2 x P3 x ... x Pn) + 1

Este nuevo número Q puede ser primo o no. Si es primo, ya tenemos un nuevo primo que no pertenece a la lista original, y por tanto esa lista no era completa. En el caso de que Q no sea primo, forzosamente tendrá que ser divisible por algún número primo que no puede ser uno de los de la lista, ya que al dividir Q por cualquiera de los primos de la lista siempre obtendremos 1 como resto. Por lo tanto, tiene que existir otro primo Pn+1

En cualquiera de los dos casos hemos encontrado un número primo que NO estaba en la lista original.

La consecuencia de todo esto es que no podemos tener un conjunto finito de primos que enbloge a todos ellos, y de esto se deduce la infinitud del conjunto de los números primos.

La demostración es directa, contundente y satisfactoria. No se necesita más, y cualquier otra demostración de este hecho no añadirá evidencia alguna a la infinitud de los primos, porque la demostración de Euclides (o cualquier otra alternativa) proporciona de una vez toda la evidencia necesaria. Aún así, seguiremos visitando demostraciones diferentes de este resultado, algunas sorprendentes. Lo haremos en próximos posts.

 

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16 comentarios

Jordan Spizikes -

The answer is extremely straightforward. It is allin how they understand their troubles. Yes, each and every dwelling person has problems. A problem-free existence is an illusion-a mirage inside the desert. Accept that fact.

Sildenafil -

Esta formula es muy utilizada en proyectos de la universidad y el colegio

yosselin -

asu k lindos stas todas sto muy hermoso se ve k fue un escritor muy famoso

xavier -

esto es lo mas facil k existe en el mundo XD!!!
ademas ahi k agregar
la siguiente formula
(r2 - p(a/B)+ 71K)=32
siendo K = 11
saquenla y se daran cuenta de k es verdad!!!!!!

UlisesPrime -

Mi ultimo comentario fue equivocado, auque ase poco se me ocurrio otra cosa... es la siguiente, usando la notacion anterior y agregando g(x)=P(x)-P(x-1) entonses para todo numero x se cumple que:
P(x)+P(x-1)+1>P(x+1)
equibalente exprecion a: P(x)*2-g(x)+1>P(x+1)

Por favor, alguien que me responda. Gracias, chau.

UlisesPrime -

A partir de esa demostracion se puede demostrar la Conj. de los P() Gemelos:
*n es un numero entero
*Siendo A=2*multiplicatoria(P(i))
donde i va de 2 a n
*A+1 entra en el Conj. de los primos pues(A+1)/P(a) siendo P(a) menor que A+1:=>A/P(a) es entero y la otra parte es racional.
*A-1 entra en el Conj. de los primos pues(A-1)/P(a) siendo P(a) menor que A-1:=>A/P(a) es entero y la otra parte es racional.

Jabato -

Para Juanito: Dices que la cardinalidad de los primos y los naturales es la misma, y dices que es algo que salta a la vista, yo ando buscando una demostración de ese mismo tema y no consigo encontrarla, ya que tengo razones para creer que ambos conjuntos no tienen la misma cardinalidad. ¿Podrías aportar algo de luz a este asunto?

Gracias Jabato.

Guille -

http://spaces.msn.com/hhhhhhhholaaaaaa/Blog/cns!1prTzc2oseQ4NIHzJfj5n-Bw!109.entry?owner=1
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Juanito -

Euclides y después Galileo, hasta que Cantor si se atrevió a plantarle cara a los infinitos, la cardinalidad de los primos y los naturales es la misma, algo que parece de sentido común pero saltando a los reales la cosa cambia, los reales son más infinitos que los naturales, de locura. A ver si un día Tio Petros nos lo explica con su magistral estilo, o lo ha hecho ya?

TioPetros -

Hola Samu.
Si ese \"no se entiende\" es debido a la propia demostración, entonces habrá que concluir que la demostarción no es buena. Si es imputable a mi, a lo mejor podemos concluir que me faltan conocimientos para apreciar la belleza de la demostración ;).

Samu -

¿puede ser elegante una demostracion que no se entiende completamente?

Lola -

buah...una maravilla de demostración...algo que parece tan complicado de demostrar a primera vista y chas chas chas... empecé a ver la belleza o no belleza de las demostraciones con ésta.

Tio Petros -

Efectivamente, Luis, hay una belleza en la simplicidad. Eso lo saben perfectamente los adeptos al zen. En matemáticas el concepto de belleza es bastante nebuloso, pero el concepto de elegancia al menos es más claro: una demostración es tanto más elegante cuanto más corta y escueta es.

En próximos días veremos otras demostraciones, alguna más largas, otras más cortas...pero cada una añade un ápice de comprensión al mismo hecho de la infinitud de los primos.

Un saludo.

Luis -

¡Qué bello puede ser a veces lo lo simple! y más cuando nos lo encontramos en medio de lo complejo - ¿o quizá no es tan complejo en el fondo?

manu -

Que fácil y que díficil a la vez.

Vailima -

Bien, bien. Superado el primero. A ver los siguientes...
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