Tio Petros

Recordemos nuestro reto: demostrar de varias formas diferentes un mismo resultado: la infinitud del conjunto de números primos. Para la segunda demostración debemos adentrarnos un poquito en la teoría de grupos.

Un grupo no es sino un conjunto con una operación interna que cumple ciertas propiedades. La operación interna es, hablando en plata, una forma de relacionar cada par de elementos del grupo (a,b) con un elemento del grupo, c que también pertenece al grupo.

Dentro de una notación multiplicativa, escribiríamos a · b = c

Pues bien, para que un conjunto G sea un grupo hace falta que dicha operación cumpla un mínimo de tres propiedades, que son:

1.- Propiedad asociativa:

a · ( b · c ) = (a · b ) · c

2.- Existencia de elemento neutro , un elemento distinguido e del grupo que se caracteriza por que operado con cualquier otro elemento lo deja igual:

a · e = e · a = a

3.- Existencia de elemento simétrico para todo elemento del grupo:

Para todo a de G existe un b también de G tal que a · b = b · a = e

A tal elemento b lo llamaremos inverso de a, y podremos expresarlo así: b = a^-1

Siempre que una operación interna en un conjunto verifique estas propiedades estamos ante un grupo. Parece mentira que con tan poca cosa exista una teoría (la teoría de grupos, evidentemente) tan rica e impresionante.

Verán que no hemos definido la propiedad conmutativa (aquello de que el orden de los factores no altera el producto). No lo hemos hecho porque la noción de grupo se definió sin tal operación. Los grupos que la cumplen se llaman grupos abelianos, o grupos conmutativos. Existe un buen motivo para no exigir que un grupo deba cumplir esta propiedad; y es que los que la cumplen son mucho menos interesantes matemáticamente hablando que los que no lo hacen. Así pues, los grupos abelianos son, dentro de la categoría de los grupos, los más triviales y tontorrones.

Pues bien, existen grupos de infinitos elementos (el grupo de los enteros con la operación suma por ejemplo), y otros finitos (el grupo de las clases de restos módulo p). Hablamos de estos en dos post hace más de un año, aquí:

En aquellos posts comentábamos el llamado Teorema de Lagrange, que dice que:

Dado un grupo G de orden n, si H es un subgrupo de G entonces el orden de H, o(H) es divisor de n

Recordemos que el orden de un grupo finito es, simplemente, su número de elementos. Así pues, para que un subconjunto de un grupo sea a su vez un grupo, es necesario (si bien NO ES SUFICIENTE) que su orden sea divisor del orden del grupo grande. Si tenemos un grupo de 8 elementos, puede ser esperable encontrar subgrupos de 1, 2 y 4 elementos, pero jamás de 3,5,ó 7.

¿Intentamos demostrarlo?

Sea G un grupo, y sea N un subgrupo suyo. Denotaremos /G/ al orden de G y (en un alarde de originalidad) /N/ al orden de N .

Consideremos una relación binaria entre los elementos del grupo G, diciendo que los elementos a y b estarán relacionadas sí y sólo si el elemento ab^-1 pertenece al subgrupo N. No hace falta que a ó b sean de N, tan sólo hace falta que ab^-1 lo sea. Para denotar que a está relacionado con b escribiremos a ≈ b

Es fácil comprobar que ésta es una relación de equivalencia. Esto es: que cumple la propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.

En efecto,

a ≈ a, pues a · a^-1 = e, y e debe pertenecer a T si éste último si quiere aspirar a ser grupo, porque debe poseer al elemento neutro. Luego todo elemento está relacionado consigo mismo y se cumple la propiedad reflexiva.

Por otro lado, a ≈ b implica que ab^-1 pertenece a T, pero como T es un grupo su inverso (ab^-1 )^-1 =ba^-1 también pertenererá a T, y por ello tendremos que b≈a; y se cumple la simétrica.

Para terminar, si a ≈ b y b ≈ c, entonces ab^-1 y bc^-1 pertenecen a T. Demostrar que a está necesariametne relacionado con c es sencillo de demostrar teniendo en cuenta que por ser T un grupo, el producto de ab^-1 y bc^-1 también pertenecerá a T, y (ab^-1) ·( bc^-1) = a · (b^-1 · b) · c^-1 = ac^-1. Luego cumple la transitiva y hemos demostrado que efectivamente estamos ante una relación de equivalencia.

Pues bien, como sabemos, una relación de equivalencia hace cristalizar en el seno del conjunto en el que está definida una partición del mismo en clases de equivalencia. Dentro de cada clase, todos los elementos están relacionados entre sí.

¿Cómo son estas clases de equivalencia en nuestro caso?

Dado un elemento a de G, todos los elementos relacionados con él mediante la relación arriba definida son de la forma (b · a), siendo b cualquier elemento del subconjunto T. A riesgo de ser reiterativo:

Si un elemento x pertenece a la misma clase que uno dado a, entonces x puede expresarse siempre como la operación algún elemento del interior de T con el propio a. (Querido lector, no siga adelante sin entender esto; en este paseo no tenemos prisa alguna)

Demostrar esto es sencillo: que x y a estén relacionados implica que x · a^-1 es igual a algún b de T por definición de la relación.

x · a^-1 = b

x · a^-1 · a = b · a

x · e = b · a

x = b ·a , como queríamos demostrar.

Estamos muy cerca del final: si la clase de equivalencia de cualquier elemento a del grupo G es el conjunto de los elementos de la forma b ·a, siendo b en elemento de T, entonces en cada clase habrá tantos elementos como en el propio T, y por lo tanto en número de elementos de todo G será múltiplo del número de elementos de T.

Con lo que el teorema queda demostrado.

Un tipo de grupos muy especiales son los llamados grupos cíclicos que son aquellos que se generan por uno sólo de sus elementos operado consigo mismo. Hablamos de ellos en los dos posts enlazados más arriba. Sería interesante un recuerdo de lo que decíamos entonces para entender en toda su profundidad lo que seguirá.

En estos grupos cíclicos, (y esto es importante para lo que seguirá) orden del grupo es el número de veces que un elemento se puede operar consigo mismo hasta conseguir el neutro.  A veces, se necesitan tantas veces como elementos tiene el grupo. Esto quiere decir que cada vez obtenemos un elemento diferente, y cuando llegamos al neutro hemos pasado por todos. En este caso, el grupo se denomina monógeno, porque es engendrado por uno sólo de sus elementos.

Un resultado es crucial para nuestros propósitos:

1.- El orden de un elemento es siempre divisor del orden del grupo entero. 

Esto es evidente en cuanto comprobamos que el conjunto de todos los engendrados por un elemento es un subgrupo, y aplicamos el teorema de Lagrange. 

P.S. Ahora podemos acometer la segunda demostración de infinitud de la cantidad de números primos. ¿Quién iba a decir que necesitaríamos nociones de teoría de grupos para hablar de primos?

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