Tio Petros

Vamos a por la tercera forma diferente para demostrar la infinitud de los números primos. Esta vez recorreremos un sendero completamente diferente. Nos basaremos en los números de Fermat, tocando para ello otro de los tópicos más queridos de los amigos de la teoría de números.

Los números de Fermat son enteros que se expresan así:

F_n = 2²ⁿ +1 ; n=0,1,2,...

Los primeros números de Fermat son: 3,5,17,257,65537,... y como es de esperar, crecen a un ritmo vertiginoso.

Demostraremos que dados dos números de Fermat F_{m y} F_n cualesquiera, ambos son siempre primos entre sí (lo que quiere no decir que ambos sean primos, sino que no tienen divisores comunes).Para hacerlo, demostraremos la siguiente relación de recurrencia (absolutamente inesperada y sorprendente, al menos para un mortal como quien esto escribe):

Fíjense lo rápido que crecerá la progresión si cada término es tan sólo dos unidades menor que el producto de todos los anteriores!

Demostraremos esta barbaridad por inducción. Si recuerdan, hablamos claro y tendido de este tema aquí .

Para n=1 la cosa es trivial:

F₀ = F₁ -2 se demuestra cierto por simple comprobación de que F₀ =3 y F₁ = 5

Supongamos cierta para n-1, e intentemos demostrarlo para n, en cuyo caso la inducción estará completa.

F_0·F₁·F_2·...·F_n = (F_0·F₁·F_2·...·F_n-1 )· F_n = (F_n-2) · F_n =

=(2²ⁿ +1 - 2 )·(2²ⁿ +1) = (2²ⁿ -1) · (2²ⁿ +1) =

= (2²ⁿ⁺¹ - 1) = F_n+1 - 2

Con lo cual queda demostrada la recurrencia original F_0·F₁·F_2·...·F_{n-1 =} F_n - 2

¿Cómo nos puede servir este resultado para nuestros propósitos? Debemos fijarnos que a la izquierda de la fórmula de recurrencia tenemos simplemente el producto de todos los números de Fermat menores que F_n , y a la derecha tenemos un número necesariamente impar. Efectivamente F_n - 2 = 2²ⁿ +1 - 2 = 2²ⁿ - 1, que es necesariamente impar.

Por lo tanto, todos los factores que componen los números de Fermat son impares.

Ahora, de la relación de recurrencia se sigue inmediatamente que ningún número de Fermat F_k es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Sólo podría ser divisible por el 2, pero hemos visto que todos ellos son impares, luego eso no se puede dar. Entender esto puede albergar algúna dificultad, pero es perfectamente salvable. Viendo la fórmula de recurrencia que ahora hemos demostrado cierta, un número de Fermat podría parecer divisible por dos (sabemos que no lo es por el razonamiento arriba indicado), preo si lo fuera, el número una vez dividido quedaría algo como así:

F₀·F₁·F₂·...·F_n-1 + 2 ₌ F_n

F₀ · ... · F_i /2· ... · F_n-1 + 1 ₌ F_n /2

Donde uno de los factores (el i-ésimo, el que era supuestamente par) ha sido dividido por 2. Ahora vemos que no podemos seguir dividiendo por ninguno de los factores restantes, porque siempre obtendremos un 1 de exceso como resto. De ello se deduce que, dados dos números de Fermat, o tienen el 2 como divisor común, o no tienen ninguno. dado que sabemos que son impares, queda aclarada la cuestión.

Así pues, cada número de Fermat aporta divisores primos nuevos a la lista, nunca aportados por sus antecesores, y como la lista de números de Fermat es infinita ( ¡hay un F_n para cada n natural!), se sigue que la de primos también lo es. Con esto termina la tercera demostración de infinitud de los primos.

Debemos constatar que en ningún sitio se ha dicho que los propios números de Fermat deben ser primos. Tan sólo nos basta que sean primos entre sí.

De hecho, Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran primos, pero Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que siendo número de Fermat , no es primo.

A diferencia del segundo método del post anterior, que necesitaba ciertos conocimientos de teoría de grupos, éste es totalmente elemental en el sentido de que sólo necesita machacar números. Conviene recordar algo que hemos repetido hasta la saciedad en este blog: en matemáticas la palabra elemental y la palabra fácil son conceptos totalmente diferentes. De hecho, es muy habitual encontrarse con demostraciones elementales dificilísimas. Erdös era un maestro en este arduo campo...