Demostración topológica de la infinidad de los primos (1) .
Esto fué para mi una enorme sorpresa. Debo decir que mi capacidad de sorpresa es grande, debido quizás a la vastedad de mi desconocimiento. Invocar a la topología para demostrar que son infinitos los números primos me parece un ejemplo exquisito de lo que perseguimos con esta serie de post y que venimos repitiendo desde el inicio de la serie: la sensación de que "todo cuadra", de coherencia interna de la matemática nos produce una sensación de plenitud.
EN 1.955 Harry Fürstenberg, un matemático de la Universidad Hebrea de Jerusalén sorprendió al mundo matemático con esta demostración topológica de la infinitud de los números primos.
El propósito de los dos posts siguientes es explicarlo todo de una forma pormenorizada. Recuerden que esto es un paseo, no una escalada. Cualquiera de las demostraciones aquí citadas cabe en dos renglones...pero este no es un blog para matemáticos, sino para paseantes, de modo que disminuiremos la pendiente a costa de alargar el recorrido.
Como ya saben, (y si no lo saben, consulten aquellos post de hace año y medio en los que hablábamos de topología), una topología sobre un conjunto parte de la consideración de ciertos subconjuntos como subconjuntos distinguidos. El motivo de la distinción es arbitrario mientras se cumplan tres propiedades que el desarrollo histórico de la matemática ha demostrado que eran las justas para conseguir lo que se pretendía.
Esas tres propiedades son:
1.- El conjunto vacío es un subconjunto distinguido.
2.- La intersección finita de subconjuntos distinguidos es un subconjunto distinguido
3.- La unión arbitraria de subconjuntos distinguidos es un subconjunto distinguido.
A estos conjuntos distinguidos se les llama abiertos, si bien podríamos haber seguido llamándolos distinguidos, topológicos o verdinegros; poco importa el nombre.
Aunque las nociones topológicas están íntimametne unidas a las nociones de continuidad, y éstas a las de los conjuntos continuos (en oposición a los discretos), podemos definir una topología sobre cualquier conjunto imaginable. Concretamente sobre el conjunto Z de los enteros. Hagámoslo.
Para cada par de enteros (a,b) de Z, definimos el conjunto
Za, b = {a + kb | k pertenece a Z}
Cada uno de estos conjuntos no es sino una sucesión de doble dirección (infinita hacia ambos lados), con un elemento igual a a, y a partir de él sumando y restando de b en b hacia +∞ y hacia -∞.
Pues bien; llamaremos abierto a un A subconjunto de Z si se dan alguna de estas dos circunstancias:
1.- A es el conjunto vacío
2.- Para cada a de A existe un b>0 tal que Za, b pertenece a A.
La segunda merece una pequeña reflexión: ¿qué quiere decir exactamente?
Veámoslo con un conjunto Za, b concreto, por ejemplo Z2, 7 .Tenemos que
Z2, 7 ={...,-12, -5, 2, 9,16, 23, 30, ...}
Tomando cualquier a número de Z2, 7, vemos que cualquier b múltiplo de 7 el que necesitamos para que Za, b esté incluido en Z2, 7. Así pues, todo conjunto de la forma Za, b es un abierto.
Si tuviéramos un subconjunto de Z formado por la unión de un número indeterminado de conjuntos del tipo Za, b entonces también se cumpliría la segunda propiedad, porque dado un ai de dicho conjunto, bastaría encontrar el valor de bi correspondiente según el conjunto Zai,bi .
Poco cuesta convencerse de que esta definición de conjuntos abiertos cumple las tres propiedades de los "conjuntos distinguidos" que mencionábamos más arriba. Por lo tanto, forman una topología sobre Z.
Llegados a este punto, debemos fijar nuestra atención en dos propiedades que cumplen los abiertos de esta topología:
1.- Todo abierto distinto del vacío es infinito.
2.- Todo abierto de la forma Za, b también es cerrado.
La primera es evidente dada la definición de abierto dada al principio. Para la segunda debemos apoyarnos en el hecho de que un Za, b no es sino el conjunto Z completo ¡al que se le han quitado los elementos sobrantes, y que dichos elementos sobrantes pueden expresarse como nuevos conjuntos de la forma Za, b . Lo vemos en la ilustración siguiente con un ejemplo, y luego generalizamos:
Dado que la unión de abiertos es un abierto, vemos claramente que todo Za, b es el complementario de un abierto, y por ello es un cerrado.
Si están preguntándose qué leches tiene que ver todo esto con la infinitud de los números primos, tendrán que esperar al siguiente post. Créanme: tenemos ya todos los ingredientes para hacerlo en dos renglones.
¿Me esperan?
24 comentarios
Tadalafil -
FANI -
nelson -
por cierto feliz cumpleaños
paula -
Colin Markenson -
Lucho -
Lo digo porque en el texto dice que pertenence a A, lo que me da a entender que es un elemento y no una parte de A.
Felicitaciones por el blog. Lo invito a visitarme en abrapalabra.net
Un cordial saludo,
Lucho
Lola -
odo -
Gracias, me encanta tu blog.
Ah, y ¡felicidades!
TioPetros -
janepo -
Un saludo
omalaled -
He quedado muy sorprendido de la fórmula que has encuadrado.
Salud!
Virginia -
Palimp -
Y que cumplas muchos más, y si puede ser con blog, mejor.
Un abrazo
samu -
Tio Petros -
mimetist -
(me he equivocado de post y lo he puesto en otro del día 10 xD )
Vailima -
Tio Petros -
manu -
Tio Petros -
Tio Petros -
Además, lleva a engaño, por lo que he modificado la notación, escepto en la ilustración. Espero que no haya lugar a confusión...
odo -
En cualquier caso, espero con impaciencia el resto de la demostración :)
Lola -
Habráse visto algo más extraterrestre que un abierto extraño? Pero ahí está... a pie de guerra!
Palimp -