Tio Petros

Esto fué para mi una enorme sorpresa. Debo decir que mi capacidad de sorpresa es grande, debido quizás a la vastedad de mi desconocimiento. Invocar a la topología para demostrar que son infinitos los números primos me parece un ejemplo exquisito de lo que perseguimos con esta serie de post y que venimos repitiendo desde el inicio de la serie: la sensación de que "todo cuadra", de coherencia interna de la matemática nos produce una sensación de plenitud.

EN 1.955 Harry Fürstenberg, un matemático de la Universidad Hebrea de Jerusalén sorprendió al mundo matemático con esta demostración topológica de la infinitud de los números primos.

El propósito de los dos posts siguientes es explicarlo todo de una forma pormenorizada. Recuerden que esto es un paseo, no una escalada. Cualquiera de las demostraciones aquí citadas cabe en dos renglones...pero este no es un blog para matemáticos, sino para paseantes, de modo que disminuiremos la pendiente a costa de alargar el recorrido.

Como ya saben, (y si no lo saben, consulten aquellos post de hace año y medio en los que hablábamos de topología), una topología sobre un conjunto parte de la consideración de ciertos subconjuntos como subconjuntos distinguidos. El motivo de la distinción es arbitrario mientras se cumplan tres propiedades que el desarrollo histórico de la matemática ha demostrado que eran las justas para conseguir lo que se pretendía.

Esas tres propiedades son:

1.- El conjunto vacío es un subconjunto distinguido.

2.- La intersección finita de subconjuntos distinguidos es un subconjunto distinguido

3.- La unión arbitraria de subconjuntos distinguidos es un subconjunto distinguido.

A estos conjuntos distinguidos se les llama abiertos, si bien podríamos haber seguido llamándolos distinguidos, topológicos o verdinegros; poco importa el nombre.

Aunque las nociones topológicas están íntimametne unidas a las nociones de continuidad, y éstas a las de los conjuntos continuos (en oposición a los discretos), podemos definir una topología sobre cualquier conjunto imaginable. Concretamente sobre el conjunto Z de los enteros. Hagámoslo.

Para cada par de enteros (a,b) de Z, definimos el conjunto

Z_{a, b} = {a + kb | k pertenece a Z}

Cada uno de estos conjuntos no es sino una sucesión de doble dirección (infinita hacia ambos lados), con un elemento igual a a, y a partir de él sumando y restando de b en b hacia +∞ y hacia -∞.

Pues bien; llamaremos abierto a un A subconjunto de Z si se dan alguna de estas dos circunstancias:

1.- A es el conjunto vacío

2.- Para cada a de A existe un b>0 tal que Z_{a, b} pertenece a A.

La segunda merece una pequeña reflexión: ¿qué quiere decir exactamente?

Veámoslo con un conjunto Z_{a, b} concreto, por ejemplo Z_{2, 7} .Tenemos que

Z_{2, 7} ={...,-12, -5, 2, 9,16, 23, 30, ...}

Tomando cualquier a número de Z_{2, 7,} vemos que cualquier b múltiplo de 7 el que necesitamos para que Z_{a, b} esté incluido en Z_{2, 7}. Así pues, todo conjunto de la forma Z_{a, b} es un abierto.

Si tuviéramos un subconjunto de Z formado por la unión de un número indeterminado de conjuntos del tipo Z_{a, b} entonces también se cumpliría la segunda propiedad, porque dado un a_i de dicho conjunto, bastaría encontrar el valor de b_i correspondiente según el conjunto Z_ai,bi .

Poco cuesta convencerse de que esta definición de conjuntos abiertos cumple las tres propiedades de los "conjuntos distinguidos" que mencionábamos más arriba. Por lo tanto, forman una topología sobre Z.

Llegados a este punto, debemos fijar nuestra atención en dos propiedades que cumplen los abiertos de esta topología:

1.- Todo abierto distinto del vacío es infinito.

2.- Todo abierto de la forma Z_{a, b} también es cerrado.

La primera es evidente dada la definición de abierto dada al principio. Para la segunda debemos apoyarnos en el hecho de que un Z_{a, b} no es sino el conjunto Z completo ¡al que se le han quitado los elementos sobrantes, y que dichos elementos sobrantes pueden expresarse como nuevos conjuntos de la forma Z_{a, b} . Lo vemos en la ilustración siguiente con un ejemplo, y luego generalizamos: