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Tio Petros

El teorema de Poincaré-Perelman (antes Conjetura de Poincaré)

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Reproduzco un artículo que escribí en este blog hace algún tiempo, dado el renovado interés por la Conjetura de Poincaré y la demostración de Grigory Perelman del mismo. Tras Andrew Willes, el mundo matemático nos vuelve a mostrar la imagen de un matemático que se encierra durante años para conseguir lo que las mejores mentes del planeta no han logrado: dar cumplida respuesta a una pregunta que lanzó al mundo un matemático de otra generación.

Como ya dijimos en alguna ocasión una conjetura es un teorema al que le falta la parte más interesante: la demostración. Dicho de otro modo: una conjetura nada tiene que ver con un teorema; es una simple afirmación. Aunque a veces se pervierta la nomenclatura, como en el caso del “Ultimo teorema de Fermat”, que no tuvo tal rango hasta que Wiles lo demostró hace pocos años.

Visto así, parece que una conjetura tiene poco valor, y es poco más que una opinión. Así es en parte, de hecho muchas conjeturas resultaron falsas a la postre. Sin embargo normalmente tienen el valor de ser agudas observaciones realizadas por especialistas, retos lanzados al mundo para que las mejores mentes del planeta se esfuercen en desentrañar sus misterios. Así ocurre con una de las más famosas: la Conjetura de Poincaré

Pasamos a explicar en qué consiste la conjetura, tan de moda últimamente a raíz de la demostración (pendiente de refrendar por lo que yo sé, pero probablemente correcta) del matemático ruso Grigory Perelman

La Conjetura de Poincaré es una afirmación topológica. Una vez explicamos aquí que la topología tiene un estatus muy especial dentro de la matemática. Supondremos que el lector sabe qué estudia la topología por tanto.

A veces, los matemáticos tienen algo de naturalistas; taxónomos más concretamente. Les gusta clasificar cosas y ponerles etiquetas. Este gusto es totalmente lógico; para clasificar atendemos a las propiedades más esenciales de las cosas e investigamos la diversidad de las mismas. El procedimiento básico suele ser el siguiente: se establecen relaciones de equivalencia entre los objetos; no relaciones cualesquiera, sino relaciones que se consideran relaciones importantes precisamente porque atienden a propiedades que consideramos esenciales de las mismas. Dichas relaciones inducen clases de equivalencia dentro de las cuales todos los objetos están “emparentados”, y estudiamos el conjunto cociente de clases obtenido. Ese es el esquema esencial de clasificación en matemáticas, si bien su aplicación práctica puede variar, y así se han establecido clasificaciones para los grupos simples finitos, para las superficies en R n , las formas cuadráticas, los grupos de Lie, etc, etc.

La relación más habitual que se emplea en topología es la relación “ser homeomorfo” . Pocas veces se ha escondido detrás de una palabra tan fea un concepto tan bello. Dado un espacio de trabajo X, dos objetos A y B de dicho espacio (dos subconjuntos de “puntos” de X) son homeomorfos si pueden transformarse el uno en el otro mediante una transformación continua especial llamada homeomorfismo. Diremos que una aplicación de A a B es un homeomorfismo si es biyectiva, continua e inversible, siendo su inversa igualmente continua. Dado que si A y B son homeomorfos, entonces para un topólogo “son” esencialmente el mismo objeto, se comprende la importancia de la clasificación atendiendo a tal concepto.

Pues bien; la capacidad simplificatoria de este procedimiento es impresionante: al tratar a todos los objetos de cada clase como uno sólo (su representante canónico), obtenemos un panorama mucho más racional del universo que estamos estudiando. Es de esperar (de hecho, está asegurado) que todos los objetos de una misma clase de homeomorfia exhiban las mismas propiedades topológicas.

El problema es que lo que vale para un espacio topológico no tiene porqué valer para otro. Dado que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de siete, cabe esperar que ciertas cosas (cosas topológicas, entiéndanme) que ocurran en un universo de tres dimensiones no ocurrirán o al menos no tienen porqué ocurrir en otro de siete, y viceversa. Y aquí está el quid de la cuestión en lo que a la Conjetura de Poincaré se refiere.

Pero vayamos con calma.

Consideremos una esfera. Es muy importante explicar que entendemos que una esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de otro, llamado centro. Esto viene a cuento porque con esta definición una esfera es una superficie. No una bola maciza sino la superficie que la delimita. Esto es básico para entender lo que sigue. Para dejar más claro el asunto, la llamaremos 2-esfera por ser un objeto bidimensional, aunque esté inmerso en un espacio de tres dimensiones.


Todo objeto homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera tendrá las mismas propiedades topológicas que una esfera; esto es una perogrullada. Lo que no lo es es preguntarse si una determinada colección de propiedades de la esfera es una caracterización topológica de la misma. Esto no es nada trivial. Y de eso va la conjetura.

Una caracterización es un conjunto de propiedades que definen sin ambigüedad un objeto. Tres propiedades topológicas son importantes en una esfera:

1.- Es compacta
2.- Es orientable
3.- Es simplemente conexa

Hace mucho tiempo que quedó claro que este conjunto de tres propiedades es una caracterización de una 2-esfera, pero ¿qué ocurre en dimensiones superiores?

Una 3-esfera NO ES una esfera maciza, como alguno podría pensar. Una 3-esfera es una variedad diferenciable de tres dimensiones, que podemos definir como el conjunto de los 4-puntos de R4 que equidistan de uno dado (centro). Es una 3-variedad inmersa en un espacio de 4 dimensiones, por tanto.

Pues bien; ¿sigue siendo el conjunto de las tres propiedades una caracterización de las 3-esferas?

La Conjetura de Poincaré afirma que para cualquier número de dimensiones el conjunto de las tres propiedades es en efecto una caracterización de las n-esferas.

Y eso es lo que ha debido conseguir el bueno de Grigory Perelman.

Por cierto, el lector atento, aunque sin conocimientos matemáticos previos podrá seguramente responder la siguiente pregunta: si una 2-esfera es o que todos conocemos como una esfera (tan sólo la superficie esférica), ¿qué cosa es una 1-esfera? ¿y una 0-esfera?

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37 comentarios

José Antonio Izquierdo Primo -

Buscando otra cosa que nada tiene que ver con esa conjetura, me he encontrado con lo publicado más arriba y con los comentarios anteriores. No tengo ni pajolera idea de lo que es una 2-esfera o una 1-esfera, o una 0-esfera, etc., pero lo que si tengo claro es que la palabra "esfera", en español se aplica tanto a la superficie, como al volumen de un elipsoide singular. Por otra parte ninguna superficie, ni ningún volumen son conjuntos de puntos; los conceptos "volumen", "superficie", "longitud" y "punto", son conceptos espaciales distintos, el volumen con tres dimensiones, la superficie con dos dimensiones, la longitud con una dimensión, el punto sin dimensiones, el punto es el verdadero "átomo", que buscaban los griegos, por tanto sumando puntos sólo se pueden obtener puntos, nunca otro concepto, aunque en una esfera si que tenemos un conjunto de puntos perfectamente identificado, pero el punto está en una esfera como las naranjas están en un árbol, pero las naranjas no son árboles.
Si el volumen máximo es el del espacio y éste sólo tiene tres dimensiones ¿Cómo puede hablarse de más de tres dimensiones?

Rusky -

Ha salido una novela sobre Grigori Perelmán. http://www.edicionesb.com/catalogo/autor/juan-soto-ivars/896/libro/la-conjetura-de-perelman_2133.html

Air Force Ones -

Every day is blue day. If you encounter a setback, please look up to the sky, if only the sky is blue, you don't lose the hope.

jordan 12 -

The reply is extremely easy. It's allin how they perceive their troubles. Yes, each and every living person has troubles. A problem-free everyday life is definitely an illusion-a mirage inside desert. Accept that simple fact.

Sildenafil -

Yo pienso que este teorema es muy efectivo y bueno, deberiamos entenderlo todos.

AJF 12 -

Really do not select seems; they are able to deceive. Do not select wealth; even that fades away.

dandan -

Actually, some internet is far more giant than the unaware price. Line strode this school. Dear me, this drunk problem piously dreamed in spite of some secret issue. The gambling is eccentrically resident. Some urban million snorted that result suspiciously. The role has that canadian thing.

Braulio -

autocorrecion: ex-conjetura de Poincaré

Braulio -

Hace unos meses vi el articulo y lo guardé en mis favoritos, recién lo leo y me doy cuenta ke cada vez ke leo algo de la ex-conjetura de Perelman la entiendo mas. Con tu permiso voy a reproducir el articulo completo en mi blog.

Pd. Si una 0-esfera son dos puntos, una -1-esfera es un solo punto, entonces una -2-esfera pertenece al vacío???

pablo diaz -

me parece muy inteeresante el articulo...por cierto nunca habia oido esas definiciones de 0-esfera...etc...muy interesante...

Guillermo X -

Me encantó el artículo.

Tengo un comentario sobre las proyecciones de las n-esferas, corríjanme si me equivoco:

una 0-esfera son dos puntos en una recta (espacio 1D).

una 1-esfera es una circunferencia en un plano (espacio 2D).

La proyección de la 1-esfera en el espacio 1D sería una recta.

una 2-esfera es la superficie de una esfera (espacio 3D).

La proyección de la 2-esfera en el espacio 2D sería un círculo (circunsferencia + superficie).

una 3-esfera es un espacio que equidista la misma distancia desde un punto(espacio 4D).

La proyección de la 3-esfera en el espacio 3D sería una esfera sólida.

Ulises -

Siguiendo el razonamiento de las n-esferas, una (-1)-esfera seria un punto,¿que serian...
...una (-2)-esfera?
...una (-3)-esfera?
...una (unidad imaginaria)-esfera?
...una (1-i)-esfera?
...una (1+i)-esfera?
...una (i-1)-esfera?

Gabriel -

Respecto a la 1-esfera y 0-esfera. ¿Hay alguna propiedad o característica o "cosa" que explique por qué una 1-esfera es la "sombra" de una 2-esfera y una 0-esfera es la "sombra" de una 1-esfera? ¿La 2-esfera es la "sombra" de una esfera de 3 dimensiones en un espacio de 4?

Jordiel -

Lo siento,no sabía que estaba explicada la 3-esfera.

No sé más que añadir...

Jordiel -

Lobo Muerto,me duele tu comentario cuando dices "sufro construyendo edificios".Yo,que estoy estudiando obras públicas,¿crees que me va a pasar lo mismo que a ti?:(

Tengo una pregunta relacionada con el tema:¿Qué es una 3-esfera?

marco andres torres rojas -

fue una magnifica solucion a las dudas ¡como si hubieran mas que los atomos que conforman el sistema solar

McLeod -

G.Luna, creo que te refieres a que el centro no se puede considerar parte de la n-esfera. Pero aun sin contar el centro, hay 2 puntos que equidistan de un centro en un espacio 1-dimensional, por lo tanto si que deben ser 2 puntos.

Byes

G.Luna -

se tiene que una n-esfera es el conjunto de puntos para el espacio de (n+1) dimensiones que están a la misma distancia (radio) de un punto de ESE espacio. Pero, ¿el centro en parte de la esfera? la respuesta obvia es que NO; por tanto la 0-esfera no pueden ser los puntos extremos de un segmento, si no UNO de los extremos, por tanto es UN PUNTO.
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M. P. -

Una 0-esfera es un segmento de recta de longitud 2*r, donde r es el radio de la esfera. La proyeccion de una esfera tridimencional sobre un plano es una circunferencia, si proyectamos esta circunferencia sobre un eje obtendremos una recta con estas caracteristicas.

Ñbrevu -

Maricela, el concepto de "existencia" puede ser difuso en matemáticas. En matemáticas se trabaja con conceptos abstractos y por tanto hipotéticos, así que el quid de la cuestión se centraría en si la existencia se refiere a la noción clásica de ésta o si se refiere a que las matemáticas "permiten" que una hipótesis se formule (del mismo modo que no "permite" que el seno de un número real sea igual a 3, por ejemplo).

Joder, qué tocho me ha quedado, lo siento...

mantener refrigerado -

Ser homeomorfo es: que exista una aplicación biyectiva y más cosas. Esta cosa de más es que sea "continua" tanto ella como su inversa, es decir, que manden puntos que estén cerca a puntos que estén cerca.

El asunto es definir qué significa "estar cerca". Pero eso está ya más que estudiado (éso es dotar de topología al conjunto), y en un universo discreto se pueden aplicar las mismas ideas que en los continuos. Es decir, que en los espacios discretos hay una idea de "estar cerca".

Lobo Muerto -

Qué excelente página... me hace recordar mis primeros años mozos de Ingeniería civil...

Es mucha la nostalgia, más hora que sufro construyendo edificios...

"ser homeomorfo" sería una función biyectiva??? corrijanme si no... (mis neuronas matemáticas están un poco dormidas)

Por otro lado... esto de la topología que asidero tendría en un universo discreto??

Buena Caza

PD: y cual sería la demostración...

canopus -

Me alegra encontrar de nuevo actividad por aquí.

Se le echa de menos, señor Petros :)

Maricela -

Tengo uan duda. Necesito la explicación de que el espacio existe. Esto de las esferas a mi me ayudó a comprenderlo, más no así a un compañero de la clase de filosofia que no nos deja avanzar porque no entiende que existe un espacio tridimensional que puede o no ser ocupado por un cuerpo. ¿Podría ayudarme?

Lola -

increíble lo de perelman... En el congreso hubo más de una charla relacionada con la conjetura (tanto de historia como de más chicha matemática) y la verdad es que a mí me parece absolutamente brutal haber hecho ese trabajo, sobre todo teniendo en cuenta qu elo ha resuelto él solo... En fin, que le ha jodido el trabajo a mucha gente, fijo! :P

Tio Petros -

Cierto, merfat. Yakov Perelman murió en 1942 (lo acabo de comprobar), de modo que nunca pudo ser el padre de Grigory. No obstante, su nombre completo es Grigory Yakovlevich Perelman (hijo de Yakov). Supongo que la información falsa se debe a este segudo nombre, además de la coincidencia del apellido.
A lo mejor hay otro Yakov entre ambas generaciones, y Grigory es el nieto del divulgador excepcional. La verdad es que no lo sé.

merfat -

Muchas gracias por las explicaciones.

Saludos.

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((Yakov Perelman murió en 1942))

TioPetros -

No, no lo es.
La caracterización funciona para n-esferas, con n mayor o igual que la unidad.

di Lampedusa -

¿Y la 0-esfera es simplemente conexa?

Fernando* -

Muy bien explicado!!

una 1-esfera sería una circunferencia en un plano (espacio 2-D).

una 0-esfera son dos puntos en una recta (espacio 1D).

TioPetros -

Es así.

jose -

Si la 2-esfera es la superficie de lo que conocemos como esfera entonces:


1-esfera: la circunferencia de lo que conocemos como círculo.
0-esfera: los dos puntos extremos de lo que conocemos como segmento.


Me parece correcto porque en todos es el conjunto de puntos para ese espacio de n dimensiones que están a la misma distancia (radio) de un punto. No sé si me explico...

¿es así?

Tio Petros -

"Debe ser que tenemos razón..."

Bueno, no del todo...pero casi.

Salamandra -

Hola LuTHieR, ha sido un caso de "telepatía sin hilos".

Debe ser que tenemos razón...

Salamandra -

No sé si estoy lo suficientemente atento, pero pienso que puede ser algo así:

1-esfera: circunferencia
0-esfera: ¿un punto?


Ahora, los matemáticos pueden reirse un rato.

LuTHieR -

Diría que respectivamente un círculo (o quizás más bien una circunferencia) y ¿un punto?.
Pero no me fío mucho, jeje.
Saludos,

LuTHieR

Gorpik -

Gracias por la explicación, Jesús. Hasta hoy, sólo había leído que la Conjetura de Perelman era "muy complicada".

Leyendo tu explicación, no lo parece tanto.
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