Ampollas

Muchas veces lo hemos dicho: los humanos estamos muy mal dotados para calcular probabilidades. Esto es un misterio bastante grande, habida cuenta de lo importante que es en la vida cotidiana tal destreza, pues nos salvaría de un sinnúmero de dificultades. En efecto, no hace falta conocer la Teoría de los Juegos ni el cálculo de riesgos bayesiano para entender que una correcta estimación de las probabilidades es una ayuda inestimable en la vida real. La naturaleza nos debiera haber provisto de una mejor capacidad para ello, dada la mayor probabilidad de incrementar nuestra descendencia en caso de poseer efectivamente tal habilidad. Darwinismo puro y duro que por alguna razón que no entiendo no ha funcionado como aparentemente debiera.

Hablamos de ello aquí cuando dábamos una vuelta de tuerca al famoso problema de Monty Hall, que ha hecho correr ríos de tinta.

También lo mencionamos cuando hablábamos de probabilidades condicionadas y de independencia entre variables aleatorias, aquí y aquí.

Entender correctamente cómo la realización de un suceso modifica las probabilidades de los subsiguientes (en el caso de no existir independencia estocástica) es primordial para poder atacar los problemas.

Les propongo uno muy sencillo:

En una especie de macabro experimento del que somos las cobayas humanas, vemos como el experimentador escoge al azar entre dos ampollas idénticas llenas de líquido. Nos explican que una contiene un veneno mortal y fulminante, y la otra agua. Repito que la elección se realiza al azar. Dicha ampolla es introducida en una bolsa que ya contenía una ampolla, ésta última de agua pura.

Antes que nosotros, otra cobaya es obligada a elegir a ciegas una de las dos ampollas. La bebe y resulta ser inocua. Ahora nos toca bebermos a nosotros la otra.

La pregunta es la siguiente: ¿nuestra situación es igual, mejor o peor que si simplemente hubiéramos tenido que bebernos la ampolla primera, que tanto podía ser mortal como inocua?

Les espero.

05/09/2006 17:29

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Autor: zennitah..*

O,o creo que me tendre que dedicar a un blog de letras, jaajaj xD cuantos posts!felicidades, pero las ciencias no son lo mio

Fecha: 05/09/2006 17:56.

Autor: jose

Creo que nuestra situación es peor, ya que para el que escoge primero pueden darse dos configuraciones:

1) A A
2) A V

Siendo "A" una ampolla con agua y "V" una ampolla con veneno. Él tiene un 50% de posibilidades de escoger la ampolla con agua inicial de la bolsa y del 50% restante, el 50% será A y el otro 50% V. Él tiene un 25% (50% del 50%) de coger la ampolla con veneno.
Una vez que ha escogido, a nosotros nos queda un 50% de posibilidades de A y un 50% de posibilidades de V; el doble de posibilidades de V que él.

¿Voy bien?

Fecha: 05/09/2006 18:43.

Autor: Maelstrom

Primero quisiera avisar a Jose de que no ha entendido bien la pregunta del problema, ya que él ha la ha entendido como si la situación fuera mejor, igual o peor que la del otro cobaya, cuando debería ser como si "fuera mejor, igual o peor que si tuvieramos que bebernos la ampolla que escoge el experimentador". Y segundo decir que a mi modestísimo entender, creo que la respuesta a la pregunta formulada por tio petros es que es la misma. Me explico.

La situación en la que nos encontramos si tuviéramos que beber la ampolla primera (la escogida por el experimentador) es de un 50% de escoger la V. Para la situación en la que tenemos que escoger después de que el otro cobaya haya bebido la que resulta ser inocua me valdré del esquema planteado por Jose. Tenemos dos situaciones:
1)A A
2)A V

Nosotros a priori no podemos saber si la situación para el otro cobaya ha sido la 1) o la 2); por lo tanto nos encontramos con una posibilidad no significativa (la (1) que corresponde a un 100% de probabilidad de salvarnos) y luego es prescindible, y la (2) que sí tiene tal importancia. En definitiva, tenemos un 50%, la misma que para el caso en que tuviéramos que escoger la primera ampolla.

Seguramente me habré equivocado...

Fecha: 05/09/2006 22:51.

Autor: Santi

Yo creo que hay más posibilidades de escoger el veneno en esas condiciones escogiendo el segundo: a priori, cualquiera de los dos tiene un 25% de probabilidades de que le toque el veneno (1/2*1/2=1/4). Pero una vez que sabemos que a nuestro compañero le ha tocado una ampolla con agua, tenemos 1/3 de probabilidad de que nos toque el veneno frente al 1/4 inicial. Pero si lo he entendido bien no es que haya más posibilidades de sobrevivir si se elige primero o segundo, ya que el experimentador no influye dando pistas como en el problema de Monty Hall, sino que estando condicionado el hecho de que la primera cobaya a elegido una ampolla con agua hay menos posibilidades de que nos toque una con agua, y por consiguiente más de que nos toque la que tiene veneno.

Fecha: 06/09/2006 12:57.

Autor: Engineer

Nuestra situación ahora es mejor. Si nos hubiesen obligado a bebernos la ampolla primera, habríamos tenido un 50% de probabilidades de morir.
A priori se dan 4 posibles casos equiprobables en este "juego":
1) La ampolla elegida inicialmente es agua, la de la bolsa es agua (obviamente) y la cobaya anterior elige la ampolla inicial.
2) La ampolla elegida inicialmente es agua, la de la bolsa es agua (obviamente) y la cobaya anterior elige la ampolla de la bolsa.
3) La ampolla elegida inicialmente es veneno, la de la bolsa es agua (obviamente) y la cobaya anterior elige la ampolla inicial.
4) La ampolla elegida inicialmente es veneno, la de la bolsa es agua (obviamente) y la cobaya anterior elige la ampolla de la bolsa.
Ahora bien, sabemos que la primera cobaya no ha muerto, lo que nos suministra la información de no estamos en el caso 3. Por tanto, estamos en uno de los otros 3 casos. En uno de ellos moriremos, en los otros dos no. Por tanto, ahora nuestra probabilidad de morir es de de "sólo" 1/3 frente al 1/2 inicial.

Fecha: 06/09/2006 13:04.

Autor: Arturo

Yo a ese Concurso, No me presento, eh! Aunque te regalen el coche.

Fecha: 06/09/2006 16:55.

Autor: di Lampedusa

Si yo estaba predestinado a que me tocase el veneno, nada me libra de ello... ¡Para un predeterminista antibayesiano todo esto es liarse demasiado! Je je...

Fecha: 06/09/2006 19:48.

Autor: Angelico

Si el veneno es de efectos retardados la probalididad creo que ha de ser la misma, pero como el veneno es fulminante si el primer cobaya no se muere lo mejor es que te tomes una cerveza, por si acaso.

Fecha: 06/09/2006 20:21.

Autor: oksi

iba a proponer exactamente lo mismo que engineer, creo que está en lo correcto. Es mejor esperarse que no escoger i beber(50%). Pero lo mejor es ser el primer cobaya ya que tiene solo 1/4 de posibilades de morir

Fecha: 07/09/2006 16:44.

Autor: luis

Intuitivamente creo que las posibilidades son las mismas. He aquí el razonamiento: si se introdujo agua estaremos salvados y se introdujo veneno estaremos condenados. O sea que nos remitimos a la decisión en origen

Fecha: 07/09/2006 20:18.

Autor: Maelstrom

No sé, no creo que exactamente sea el problema de Monty Hall, pues en éste el presentador sabe qué puertas abrir para que salga siempre una cabra después de la elección del concursante, y en cambio ahora el cobaya número 2, que ejerce una labor análoga a la del presentador, no sabe si su elección es una ampolla venenosa (una cabra, por analogía con el caso de Monty) o una inocua (el coche).

Fecha: 07/09/2006 22:38.

Autor: Roberto

Ambos disponen de idénticas probabilidades (p = 0.5, es decir, un 50%).

¿Que probabilidad tiene cada uno de escoger el veneno?

p = pE * pP

pE = prob. de escoger la mala de entre las presentes.

pP = prob. de que la botella esté entre las presentes.

Para el primero, pE = 0.5 (hay 1 mala entre 2). y pP = 1.0 (es el primero, así que están todas).

Así: p = 0.5 * 1.0 = 0.5

Para el segundo, pE = 1.0 (sólo hay 1 botella), y pP vale 0.5 (dispone de 1 botella de las 2 iniciales de entre las que elegir).

p = 1.0 * 0.5 = 0.5

Esto funciona exactamente igual si hubiera más botellas, independientemente del orden en que escogen, siempre que se realice al azar (ninguno tiene ninguna información extra que le permite saber que botellas contienen veneno). De forma general la prob. de coger una mala es la fórmula:

p = casos favorables / casos posibles.

En este caso 1 entre 2.

Por mucho que cueste creer es así, por mucha superstición que uno tenga las cosas no dejan de ser como son. Hay mucha gente que hace dinero a costa de la ignorancia matemática, como los que venden almanaques sobre estadísticas de números que salen en la lotería para que la gente mire cuales salen menos y apuesten por ellos (no es más que la falacia del jugador). Saludos.

Fecha: 08/09/2006 00:20.

Autor: Rodolfo

Yo creo que todos estan mal el primero tiene un 50% de probabilidad de tomar el agua o el veneno
y el segundo tiene el 100% de probabilidad de morir

Fecha: 14/09/2006 21:22.

Autor: discipulodegauss

hace poco he llegado aqui y me facinan como se demuestran o mejor dicho que nos narren como es que demostraron los grandes matematicos ,escespectacular ver su pensamiento ,se que no tiene nada que ver con el tema tratado pero estoy seguro que muchos sentirian la emocion que siento ,esta genial la pagian vay y gracias.

Fecha: 29/09/2006 22:58.

Autor: vicente

al ser el primero en pasar tendriamos dos tercios de probabilidades de salvarnos, siendo los segundos tenemos un medio de pprobabilidad de salvarnos. creo que es obvio.

Fecha: 19/10/2006 03:37.

Autor: sa

Fecha: 19/10/2006 03:37.

Autor: Jose Luis

Aqui hay una probabilidad del 100% de no entender ni chapa, podrias rehacer el problema por favor?.
Saludos.

Fecha: 27/12/2006 12:08.

Autor: Diego

Eventos:
A: "ampolla introducida en bolsa es venenosa"
B: "ampolla extraida primero es venenosa"
C: "ampolla extraida segundo es venenosa"

Datos:
P(A)=1/2
P(B

Fecha: 09/04/2007 07:54.

Autor: Diego

Eventos:
A: "ampolla introducida en bolsa es venenosa"
B: "ampolla extraida primero es venenosa"
C: "ampolla extraida segundo es venenosa"

Datos:
P(A)=1/2
P(B/A)=1/2
P(B/A')=0
P(C/B)=0
P(C/B'/A)=1
P(C/B'/A')=0

Solución:
P(B)=P(B/A)*P(A)+P(B/A')*P(A')
P(B)=1/2*1/2+0*1/2=1/4

P(C/B')=P(C/B'/A)*P(A)+P(C/B'/A')*P(A')
P(C/B')=1*1/2+0*1/2=1/2

Luego P(C/B') > P(B)

Un problema interesante sería:
el segundo extrae la ampolla sin saber qué le tocó al primer cobayo, ¿cuál es más probable que se envenene?
La respuesta:
P(C)=P(C/B)*P(B)+P(C/B')*P(B')
P(C)=0*1/4+1/2*3/4=3/8

Luego P(C) > P(B)
Por lo tanto, es mas probable que se muera el segundo :D

Fecha: 09/04/2007 08:03.

Autor: Peter Griffin

Las probabilidades son identicas, puesto que la primera cobaya ha elegido una de las dos ampollas, no sabemos si de agua o veneno, porque la coballa 1 ya tenia en su poder otra ampolla de agua, con lo que no sabemos si se ha bebido su propia ampolla o la que le ha dado el malvado experimentador.

Puede darse que el experimentador le diese agua, y tenga dos de agua, o que le diese la de veneno y tuviese una de agua y una de veneno.

Nuestra situación la percibimos igual que la de la otra coballa por que desconocemos que ampolla ha cogido, del mismo modo que nosotros podiamos bebernos nuestra propia ampolla de agua, por lo que es igualmente probable que ante este particular muriese la otra coballa o nosotros.

un saludo a todos

Fecha: 30/08/2007 14:57.

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