El postulado de Bertrand (1)
No es la primera vez que visitamos desde este blog a los números primos. Es extraña la fascinación que ejercen sobre una mente medianamente inquieta. Tras una definición aparentemente anodina (un número primo es aquel que sólo puede dividirse por sí mismo y por la unidad, dando un resultado entero por tal división) se esconden innumerables sorpresas. Para empezar, el tamaño del conjunto de los números primos, que demostramos en su día por cinco procedimientos diferentes que era infinito. Aquí pueden ver las demostraciones: (1) (2) (3) (4A) (4B) (5A) (5B)
Si bien tras cinco demostraciones a nadie puede quedar duda alguna de la infinitud de los números primos, aún nos quedan muchas incógnitas sobre los mismos. Para empezar, cada vez parecen ser menos comunes: tras un inicio en el que casi todos los impares son primos (1,3,5,7), enseguida empiezan a escasear. No obstante, seguiremos encontrando primos gemelos (impares consecutivos, ambos primos) en todo el conjunto N.
Una forma de ver que cada vez escasean más los primos, según avanzamos en el conjunto N es demostrar que siempre podremos encontrar un conjunto de números naturales consecutivos tan grande como queramos de manera que ninguno sea primo, si buscamos hacia números suficientemente grandes.
Este es un resultado muy conocido desde antiguo, que nos servirá de punto de partida para demostrar algo aún más profundo: el postulado de Bretrand, pero no adelantemos acontecimientos.
De momento demostraremos que:
Dado un número entero k, podemos encontrar una ristra de k números enteros consecutivos de forma que ninguno de ellos sea primo.
Este es un resultado realmente potente: afirma que existen diez mil, doscientos mil millones, o mil quintillones de enteros seguidos en alguna parte de N sin contener ni un solo número primo. Todo ello manteniendo la afirmación de que el número de primos es infinito, a pesar de lo ralos que se van haciendo según avanzamos hacia números cada vez más grandes.
Demostrémolso.
Sea k un número entero cualquiera.
Sea Pk el conjunto de todos los primos menores que (k+2).
Sea N el producto de todos los elementos de Pk.
N= 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... · p ; donde p es el mayor primo que es más pequeño que (k+2).
Es evidente que N es divisible por 2, por 3, por 5,... y por todos los primos menores que (k+2) por propia construcción.
Ahora bien, N+2 es divisible por 2, pues N y 2 lo son.
N+3 es divisible por 3, pues N y 3 lo son.
N+4 es divisible por 2, pues N y 4 lo son...
Podemos repetir el razonamiento para todo número del conjunto {N+2,N+3,...,N+k, N+(k+1)}
Para cualquiera de estos números (para N+i, con i ε {2,3,...,(k+1)) podemos decir que ninguno de ellos es primo porque i es un factor primo de N menor que (k+1), y por lo tanto divide necesariamente a N, y por supuesto divide trivialmente a i, por lo que debe dividir necesariamente a N+i.
Así pues, hemos encontrado una ristra de k números enteros consecutivos (la ristra que comienza en N+2 y llega hasta N+(k-1) tiene exactamente k números) de manera que ninguno de ellos es primo. Como no hemos hecho ninguna suposición sobre la naturaleza de k, concluiremos que podemos encontrar una ristra de enteros consecutivos dentro de N tan larga como queramos.
De esta forma, vemos que no existe límite alguno para el tamaño de los "agujeros" del conjunto de primos dentro de N.
Pero dando un paso más, podemos seguir preguntándonos cosas: ¿existe algún límite para el valor máximo del "agujero" de números no primos posible si empezamos a investigar a partir de un número fijo?
La pregunta no es inocente: para encontrar un "agujero" de k números no primos, nos hemos tenido que desplazar hasta números muy grandes: hemos tenido que efectuar el producto de todos los primos menores que (k+2); número enorme si k es grande.
Y si hubiéramos empezado a buscar "agujeros" de no primos a partir de un valor más pequeño, ¿existe algún límite para el tamaño del conjunto de enteros consecutivos no primos?
Responder a esta pregunta nos llevará al Postulado de Bertrand, pero no será un paseo fácil. Les espero el año próximo, aprovechando para desearles unas felices fiestas.
TioPetros
33 comentarios
gilmore -
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[matemáticas] ¿Puede un hámster salvar el mundo? -
Ulises -
quando vas a poner tu proximo articulo?
se me ocurrio algo: existiendo una serie de funciones a(t,k) tales que:
sumatoria(a=0...t)(a(t,k)*n^a)=p(n)
que representen como minimo todos los valores de la funcion del enecimo numero primo(P(n)) asta k.
se podria encontrar a que coverjen las funciones a(t,k) cuando k tiende a infinito?
Asier -
torra -
Vailima -
Vuelve.
Joseph Louis James -
3!+1; 3!+2; 3!+3 (tres números compuestos consecutivos, ya que serían divisibles por 3! y por
3!+1;3!+2 ó 3!+3, además esto servirá para cualquier número.
Lo de que entonces siempre hay un número primo entre n y 2n, ya es más difícil de encajar, mucho más sin tener en cuenta que no esté resulta la "Conjetura de Goldbach" Regalo que estará mal pero todavía no me han indicado el fallo;
Como ya sabemos existen infinitos nºs primos, así que tiene que haber una cantidad infinita de números naturales de la forma p^2+2p, como la factorización de todo número en primos es única y dada también la infinidad de los números naturales, los que tengan esa forma han de ser el producto de p(p+2), de aquí se deduce que hay infinitos números primos gemelos, ya que si no fuera así en algún momento habría algunos que siendo compuestos serían imposibles de factorizar sólo en primos y eso es imposible.
panta -
Yo también dudo de la infinitud numerable de los primos.
Es más, he encontrado una prueba de que son finitos dado un N suficientemente bien elegido ( como Hardy en su famosa anécdota, me la guardo hasta que escribas alguna respuesta o vuelvas a postear algún día ;)
Saludos
dark packer -
En mi opinión la primera argumentación de la infinitud de los números primos falla donde dice: Imaginemos una lista que contiene (todos) los primos
¿Por qué? Porque esa lista o serie no sólo es inimaginable, sino inconcebible: el hecho de poder siempre añadir un numero primo a la lista impide concebir un conjunto con "todos" lo numeros primos.
Esa es la tesis del artículo que estoy discutiendo en mi blog, y al que te invito a pasar a ti, y a todo matemático que no le tenga demasiado miedo a las "herejías". Aquí el vínculo del artículo: http://darkpacker.blogspot.com/2007/08/la-imposibilidad-del-infinito.html
ecolav -
Bueno, desde www.geolay.com, se agradece.
Kunashiri -
he dejado comentarios en otros epigrafes, pero sin la opinion del autor no valen nada!
motril -
donde te escondes??
Lumen Dei -
Besitos
dina -
Miku -
me encanta tu blog!!!
Me gustaria, si es posible, que hablaras algun dia de la Espiral de Ulam y su relacion con los numeros primos. Y ya de paso... si pudieses relacinarla con la funcion Z de Riemann, pos seria genial.
Existe alguna relacion entre topologia-numeros primos- y la forma (fisica) del universo????
weno saludos,
y perdona la absurdez de mis preguntas, pero es ke soy bastante lego.
Germán -
Alberto -
si se considera otro subconjunto de los naturales, los números pares por ejemplo,
uno encuentra que para tal subconjunto también se cumple el postulado
de Bertrand ( efectivamente: para cada entero n>2 hay un número par entre
n y 2n, aun si excluimos los extremos n y 2n ) mientras que la probabilidad
de escoger un número al azar entre 1 y n y que este sea par se aproxima a 1/2.
En realidad lo mismo se puede afirmar de cualquier progresión aritmética ( cambia, como es
obvio, el valor de la probabilidad que deja de ser 1/2 pero que siempre es
mayor que cero para una progresión aritmética).
En consecuencia, cuando afirmas que el postulado de marras permite demostrar que los números primos
se "rarifican" pienso que, sin darte cuenta, debes de estar usando algún resultado más fuerte
que Bertrand.
Afinando un poco más lo único que, creo, se puede demostrar a partir de Bertrand
es que pi(n) > c·log n para alguna c>0. Este resultado no es incompatible con lo que afirmas pero
no necesariamente lo implica.
Nota pedante: lo que aquí hemos estado llamando probabilidad se conoce en la literaratura sobre
el tema como densidad asintótica o natural.
TioPetros -
La cuestión de si el 1 es primo o no es irrelevante. Si nos atenemos a la definición dada por mí en el post, sí lo es. En general se consideran primos los que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad, excluida ésta última como primo. Pero esto ni añade ni quita ningún matiz ...
Desatonao -
Después Petros, dices que los primeros impares primos: (1,3,5,7); y 1 no es un número primo.
Hechas las aclaraciones he de decir que me interesa mucho este tema del postulado de Bertrand, haber como se va discurriendo aquí el tema.
Por cierto, como soy nuevo en la página le estoy dando algunas vueltas de tuerca a algunos problemas pasados. A ver si saco algo claro y lo posteo.
Grothendiek -
El postulado de Bertrand en su versiòn màs simple (demostrado con métodos analíticos por Tchebycheff, y "a mano" por Erdös), i.e. para todo natural n mayor o igual que dos, existe un primo entre él y su doble, se puede interpretar como una propiedad de densidad entre los números primos entre los naturales (en cada agujero hay un primo).
Lo que resulta más curioso es que este resultado se puede usar para probar su "rarificación". Me explico:
Sea pi(n)=número de primos menores o iguales que n, un natural.
Así pi(n)/n representa la probabilidad de que al escoger un número natural menor o igual que n, resulte ser primo.
Bien, pues usando el postulado de Bertrand, se demuestra (yo lo he hecho adaptando una prueba del Burton) que esta probabilidad tiende a cero cuando n tiende a infinito.
Es decir, la dennsidad (probabilidad) de los primos en el intervalo (1,n) se hace pequeña cuando n se hace grande; o bien, en términos más intuitivos, la densidad de los primos implica su rarificación.
El Miércoles nos vemos
Carl Philip -
Tábano Socrático -
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