Tio Petros

No es la primera vez que visitamos desde este blog a los números primos. Es extraña la fascinación que ejercen sobre una mente medianamente inquieta. Tras una definición aparentemente anodina (un número primo es aquel que sólo puede dividirse por sí mismo y por la unidad, dando un resultado entero por tal división) se esconden innumerables sorpresas. Para empezar, el tamaño del conjunto de los números primos, que demostramos en su día por cinco procedimientos diferentes que era infinito. Aquí pueden ver las demostraciones: (1) (2) (3) (4A) (4B) (5A) (5B)

Si bien tras cinco demostraciones a nadie puede quedar duda alguna de la infinitud de los números primos, aún nos quedan muchas incógnitas sobre los mismos. Para empezar, cada vez parecen ser menos comunes: tras un inicio en el que casi todos los impares son primos (1,3,5,7), enseguida empiezan a escasear. No obstante, seguiremos encontrando primos gemelos (impares consecutivos, ambos primos) en todo el conjunto N.

Una forma de ver que cada vez escasean más los primos, según avanzamos en el conjunto N es demostrar que siempre podremos encontrar un conjunto de números naturales consecutivos tan grande como queramos de manera que ninguno sea primo, si buscamos hacia números suficientemente grandes.

Este es un resultado muy conocido desde antiguo, que nos servirá de punto de partida para demostrar algo aún más profundo: el postulado de Bretrand, pero no adelantemos acontecimientos.

De momento demostraremos que:

Dado un número entero k, podemos encontrar una ristra de k números enteros consecutivos de forma que ninguno de ellos sea primo.

Este es un resultado realmente potente: afirma que existen diez mil, doscientos mil millones, o mil quintillones de enteros seguidos en alguna parte de N sin contener ni un solo número primo. Todo ello manteniendo la afirmación de que el número de primos es infinito, a pesar de lo ralos que se van haciendo según avanzamos hacia números cada vez más grandes.

Demostrémolso.

Sea k un número entero cualquiera.

Sea P_k el conjunto de todos los primos menores que (k+2).

Sea N el producto de todos los elementos de P_k.

N= 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... · p ; donde p es el mayor primo que es más pequeño que (k+2).

Es evidente que N es divisible por 2, por 3, por 5,... y por todos los primos menores que (k+2) por propia construcción.

Ahora bien, N+2 es divisible por 2, pues N y 2 lo son.

N+3 es divisible por 3, pues N y 3 lo son.

N+4 es divisible por 2, pues N y 4 lo son...

Podemos repetir el razonamiento para todo número del conjunto {N+2,N+3,...,N+k, N+(k+1)}

Para cualquiera de estos números (para N+i, con i ε {2,3,...,(k+1)) podemos decir que ninguno de ellos es primo porque i es un factor primo de N menor que (k+1), y por lo tanto divide necesariamente a N, y por supuesto divide trivialmente a i, por lo que debe dividir necesariamente a N+i.

Así pues, hemos encontrado una ristra de k números enteros consecutivos (la ristra que comienza en N+2 y llega hasta N+(k-1) tiene exactamente k números) de manera que ninguno de ellos es primo. Como no hemos hecho ninguna suposición sobre la naturaleza de k, concluiremos que podemos encontrar una ristra de enteros consecutivos dentro de N tan larga como queramos.

De esta forma, vemos que no existe límite alguno para el tamaño de los "agujeros" del conjunto de primos dentro de N.

Pero dando un paso más, podemos seguir preguntándonos cosas: ¿existe algún límite para el valor máximo del "agujero" de números no primos posible si empezamos a investigar a partir de un número fijo?

La pregunta no es inocente: para encontrar un "agujero" de k números no primos, nos hemos tenido que desplazar hasta números muy grandes: hemos tenido que efectuar el producto de todos los primos menores que (k+2); número enorme si k es grande.

Y si hubiéramos empezado a buscar "agujeros" de no primos a partir de un valor más pequeño, ¿existe algún límite para el tamaño del conjunto de enteros consecutivos no primos?

Responder a esta pregunta nos llevará al Postulado de Bertrand, pero no será un paseo fácil. Les espero el año próximo, aprovechando para desearles unas felices fiestas.

TioPetros