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Tio Petros

Matemáticas

El postulado de Bertrand (1)

No es la primera vez que visitamos desde este blog a los números primos. Es extraña la fascinación que ejercen sobre una mente medianamente inquieta. Tras una definición aparentemente anodina (un número primo es aquel que sólo puede dividirse por sí mismo y por la unidad, dando un resultado entero por tal división) se esconden innumerables sorpresas. Para empezar, el tamaño del conjunto de los números primos, que demostramos en su día por cinco procedimientos diferentes que era infinito. Aquí pueden ver las demostraciones: (1) (2) (3) (4A) (4B) (5A) (5B)

 

Si bien tras cinco demostraciones a nadie puede quedar duda alguna de la infinitud de los números primos, aún nos quedan muchas incógnitas sobre los mismos. Para empezar, cada vez parecen ser menos comunes: tras un inicio en el que casi todos los impares son primos (1,3,5,7), enseguida empiezan a escasear. No obstante, seguiremos encontrando primos gemelos (impares consecutivos, ambos primos) en todo el conjunto N.

Una forma de ver que cada vez escasean más los primos, según avanzamos en el conjunto N es demostrar que siempre podremos encontrar un conjunto de números naturales consecutivos tan grande como queramos de manera que ninguno sea primo, si buscamos hacia números suficientemente grandes.

Este es un resultado muy conocido desde antiguo, que nos servirá de punto de partida para demostrar algo aún más profundo: el postulado de Bretrand, pero no adelantemos acontecimientos.

De momento demostraremos que:

Dado un número entero k, podemos encontrar una ristra de k números enteros consecutivos de forma que ninguno de ellos sea primo.

Este es un resultado realmente potente: afirma que existen diez mil, doscientos mil millones, o mil quintillones de enteros seguidos en alguna parte de N sin contener ni un solo número primo. Todo ello manteniendo la afirmación de que el número de primos es infinito, a pesar de lo ralos que se van haciendo según avanzamos hacia números cada vez más grandes.

Demostrémolso.

Sea k un número entero cualquiera.

Sea Pk el conjunto de todos los primos menores que (k+2).

Sea N el producto de todos los elementos de Pk.

N= 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... · p ; donde p es el mayor primo que es más pequeño que (k+2).

Es evidente que N es divisible por 2, por 3, por 5,... y por todos los primos menores que (k+2) por propia construcción.

Ahora bien, N+2 es divisible por 2, pues N y 2 lo son.

N+3 es divisible por 3, pues N y 3 lo son.

N+4 es divisible por 2, pues N y 4 lo son...

Podemos repetir el razonamiento para todo número del conjunto {N+2,N+3,...,N+k, N+(k+1)}

Para cualquiera de estos números (para N+i, con i ε {2,3,...,(k+1)) podemos decir que ninguno de ellos es primo porque i es un factor primo de N menor que (k+1), y por lo tanto divide necesariamente a N, y por supuesto divide trivialmente a i, por lo que debe dividir necesariamente a N+i.

Así pues, hemos encontrado una ristra de k números enteros consecutivos (la ristra que comienza en N+2 y llega hasta N+(k-1) tiene exactamente k números) de manera que ninguno de ellos es primo. Como no hemos hecho ninguna suposición sobre la naturaleza de k, concluiremos que podemos encontrar una ristra de enteros consecutivos dentro de N tan larga como queramos.

De esta forma, vemos que no existe límite alguno para el tamaño de los "agujeros" del conjunto de primos dentro de N.

Pero dando un paso más, podemos seguir preguntándonos cosas: ¿existe algún límite para el valor máximo del "agujero" de números no primos posible si empezamos a investigar a partir de un número fijo?

La pregunta no es inocente: para encontrar un "agujero" de k números no primos, nos hemos tenido que desplazar hasta números muy grandes: hemos tenido que efectuar el producto de todos los primos menores que (k+2); número enorme si k es grande.

Y si hubiéramos empezado a buscar "agujeros" de no primos a partir de un valor más pequeño, ¿existe algún límite para el tamaño del conjunto de enteros consecutivos no primos?

Responder a esta pregunta nos llevará al Postulado de Bertrand, pero no será un paseo fácil. Les espero el año próximo, aprovechando para desearles unas felices fiestas.

TioPetros

 

 

 

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TRANSIRE SVVM PECTUS MVNDOQUE POTIRE

TRANSIRE SVVM PECTUS MVNDOQUE POTIRE A mucha gente sorprende que no exista premio Nobel de matemáticas. La explicación al uso roza la leyenda urbana, y yo personalmente no me la creo demasiado; en todo caso la leyenda dice que D. Alfredo Nobel se llevaba extraordinariamente mal con el que, con toda probabilidad hubiera sido el primer premio Nobel de matemáticas: el matemático sueco Gösta Mittang-Leffer. Para añadir picante a la historia, se afirma que existía un asunto de faldas entre ambos. El caso es que por ese motivo o por otro, el premio Nobel de matemáticas no existe, y en su lugar en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1924, presidido por John Charles Fields, se presentó la propuesta de unas "medallas internacionales para destacados descubrimientos matemáticos".

Este premio se otorga cada cuatro años, y sólo lo pueden recibir matemáticos menores de 40 años (1). Un máximo de seis matemáticos pueden recibir el premio en cada edición.

Las medallas están acuñadas en oro. En el anverso, aparece la inscripción latina "TRANSIRE SVVM PECTUS MVNDOQUE POTIRE" (sobrepasar su propio entendimiento y apoderarse del mundo) junto al busto de Arquímedes y su nombre en griego. En el reverso, figura la inscripción "CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA TRIBVERE" (reunidos los matemáticos de todo el mundo para premiar las obras maestras), junto con el dibujo de la famosa inscripción del cilindro y la esfera inscrita del gran Arquímedes.

Las medallas fueron diseñadas por el escultor canadiense Dr. Robert Tait McKenzie y las inscripciones redactadas por el profesor G. Norwood de la Universidad de Toronto.

Desde 1.936 hasta 1.950 no se concedieron debido a las convulsiones bélicas en las que se debatía el mundo en ese lapso.

Los ganadores de este máximo galardón han sido los siguientes:

AÑO 1936:
Lars Ahlfors 29 AÑOS Finlandia
Jesse Douglas 39 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1950:
Laurent Schwartz 35 AÑOS Francia
Atle Selber 33 AÑOS Noruega

AÑO 1954:
Kunihiko Kodaira 39 AÑOS Japon
Jean-Pierre Sere 27 AÑOS Francia

AÑO 1958:
Klaus Roth 32 AÑOS Alemania
René Thom 35 AÑOS Francia

AÑO 1962:
Lars Hormander 31 AÑOS Suecia
John Milnor 31 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1966:
Michael Atiyah 37 AÑOS Reino Unido
Paul Cohen 32 AÑOS Estados Unidos
Alexander Grothendieck 38 AÑOS Alemania
Stephen Smale 36 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1970:
Alan Baker 31 AÑOS Reino Unido
Heisuke Hironaka 39 AÑOS Japón
Serge Novikov 32 AÑOS Rusia
John Thompson 36 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1974:
Enrico Bombieri 33 AÑOS Italia
David Mumford 37 AÑOS Reino Unido

AÑO 1978:
Pierre Deligne 33 AÑOS Bélgica
Charles Fefferman 29 AÑOS Estados Unidos
Gregori Margulis 32 AÑOS Unión Soviética
Daniel Quillen 38 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1982:
Alain Connes 35 AÑOS Francia
William Thurston 35 AÑOS Estados Unidos
Shing-Tung Yau 33 AÑOS China

AÑO 1986:
Simon Donaldson 27 AÑOS Reino Unido
Gerd Faltings 32 AÑOS Alemania
Michael Freedman 35 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1990:
Vladimir Drinfeld 36 AÑOS Unión Soviética
Vaughan Jones 38 AÑOS Nueva Zelanda
Shigefumi Mori 39 AÑOS Japón
Edward Witten 38 AÑOS Estados Unidos

AÑO 1994:
Pierre L. Lions 38 AÑOS Francia
Jean C. Yoccoz 36 AÑOS Francia
Jean Bourgain 40 AÑOS Bélgica
Efim Zelmanov 39 AÑOS Rusia

AÑO 1998:
Maxim Kontsevich 34 AÑOS Rusia
Richard E. Borcherds 39 AÑOS Sudáfrica
William Timothy Gowers 33 AÑOS Reino Unido
Curtis T. McMullen 38 AÑOS Estados Unidos

AÑO 2002:
Vladimir Voevodsky 36 AÑOS Rusia
Laurent Lafforgue 35 AÑOS Francia

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(1) Aunque hemos dicho que las medallas Fields sólo pueden ser recibidas con menos de 40 años, hubo una excepción: Andrew Wiles recibió una mención honorífica extraordinaria en 1.998 cuando tenía 45 años, por haber demostrado el mal llamado Ultimo teorema de Fermat , que pasaba a llamarse a partir de entonces Teorema de Fermat-Wiles

Sangaku

Sangaku Cuenta Julio A. Miranda Ubaldo que ”durante el Periodo EDO (1603-1867) Japón se encontraba aislado del mundo occidental, durante este periodo el acceso a todas las formas de cultura occidental y afluencia de ideas científicas occidentales fue suprimido con eficacia. En este periodo de la historia japonesa gente docta de todas las clases, desde comerciantes y granjeros hasta samurais(¿?) descubrían y solucionaban una amplia variedad de problemas geométricos, luego inscribían sus trabajos en tablillas de madera, (usando en muchos casos vivos colores) que después eran colgadas en las azoteas de santuarios shintoistas y templos budistas como una forma de agradecer a sus dioses.”

La palabra Sangaku significa algo así como tablilla matemática . Los problemas planteados en la tablillas Sangaku pueden perfectamente inscribirse en la matemática recreativa, y plantean endiablados problemas en los que aparecen invariablemente círculos tangentes unos a otros, o polígonos inscritos en otros polígonos y en círculos. También aparecen problemas con esferas tangentes a otras esferas, interior y exteriormente. Sin embargo no todos los problemas se ocupan sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.

Rescato la siguiente información de la página de Julio A. Miranda Ubaldo:

El Sangaku más antiguo que sobrevive hasta hoy fue encontrado en la prefectura de Tochigi y es del año 1683.

Aunque muchos sangakus se han perdido o quemado todavía existen alrededor de 820 de estas tablillas.

Un notable investigador de los sangakus fue el matemático japonés Yoshio Mikami (1875-1950) quien en sus trabajos: "A history of Japanese mathematics" (Historia de las matematicas japonesas) de 1914 y "The Development of mathematics in China y Japon" (El Desarrollo de las Matemáticas en China y Japón) de 1974 realizó importantísimos estudios sobre estas tablillas matemáticas.

Hidetoshi Fukagawa es un matemático contemporáneo que ha viajado extensamente por todo el Japón para estudiar estas tablillas y tiene una prolífica colección de libros que se ocupan no sólo de los sangakus sino también de otros aspectos de las matemáticas japonesas.

En 1989 Fukagawa junto con Daniel Pedoe publicó un trabajo titulado "Japanese temple goemetry problems: Sangaku" que constituye la primera colección de sangakus en inglés.

Otros matemáticos japoneses como Tatsuhiko Kobayashi y Shigeyuki Takagi también han hecho contribuciones importantes al desarrollo de los problemas sangakus. Sin embargo no todos los problemas se ocupan sólo de la geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos.

A modo de ilustración, vean ustedes estos dos bellísimos problemas:



Dado un círculo (verde) de radio r con dos círculos menores interiores tangentes entre sí y tangentes tangentes al grande de radio r/2 (rojos), formamos un rosario de círculos (naranjas) tangentes cada uno al siguiente y a los círculos verde y rojo como se muestra en la figura. En los espacios intersticiales de la figura colocamos círculos tangentes a los tres círculos que delimitan el intersticio (azules). Encontrar el radio del enésimo círculo azul en función de r.

La resolución completa de este hermosísimo problema se encuentra (en inglés) aquí

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Este problema que data de 1822 está inscrito en una tablilla localizada en la prefectura de Kanagawa.
Dos esferas rojas son tangentes exteriormente y ambas son tangentes interiormente a la esfera grande de color verde. Un collar de esferas azules de diferentes tamaños rodea el "cuello" entre las esferas rojas. Cada esfera azul en el "collar" es tangente a sus vecinos próximos, a la vez que son tangentes a las dos esferas rojas y a la esfera verde.
¿Cuántas esferas azules conforman el collar?
¿Cómo los radios de las esferas azules se relacionan entre sí?

Pueden comprobar la magnitud de los problemas Sangaku, y también su extraordinaria belleza.
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Plimpton 322

Plimpton 322 La matemática está muchas veces muy alejada de su utilización práctica inmediata. Esto no quiere decir que nunca podamos asegurar que un determinado avance matemático no vaya a tener su aplicación práctica, como repetidamente se ha demostrado. Básicamente conviven la investigación pura con la aplicada. Esta situación es así desde el comienzo.

Y cuando digo desde el comienzo, me refiero realmente al comienzo. Existen muchos indicios de que la matemática babilónica tenía aspectos alejados de la utilidad inmediata.

Una tablilla babilónica, conocida por el número de catálogo Plimpton 322 ejemplifica perfectamente lo que queremos decir. La tienen en la ilustración.

Esta tablilla data del período babilónico antiguo (ca.1900 a 1600 a.C.). Es tan sólo el fragmento de una tabla más grande, ahora perdida para siempre, y demuestra no ser un simple registro de transacciones comerciales como muchas de sus hermanas, sino un texto matemático precusor de ideas trigonométricas muy cercanas a las actuales, con extraordinario grado de exactitud, como vamos a ver.

La transcripción de las seis primeras filas es la siguiente:

1,59,0,15_______________________1,59____________2,49____________1
1,56,56,58,14,50,6,15____________56,7____________1,20,25__________2
1,55,7,41,15,33,45_______________1,16,41_________1,50,49__________3
1,53,10,29,32,52,16______________3,31,49_________5,9,1____________4
1,48,54,1,40____________________1,5_____________1,37_____________5
1,47,6,41,40____________________5,19____________8,1______________6

Hemos de tener en cuenta antes de empezar a desentrañar la tablilla que los babilonios utilizaban la numeración sexagesimal, por lo que debemos convertir las cifras a nuestra numeración antes de cualquier intento.

Tomemos la sexta línea, por ejemplo:

1,47,6,41,40________5,19______8,1______6

Tras la conversión en decimal obtenemos:

1,785192901_______319________481________6

La conversión se realiza de la siguiente forma:

1,47,6,41,40=1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4=1,785192901

y de la misma forma los siguientes números.

Convendrán conmigo que es una proeza inmensa encontrar la relación entre estos números. Más aún teniendo en cuenta que nuestra tablilla es una más entre un sinnúmero de ellas que recogen cifras sin mayor interés matemático, que bien pudieran ser registros contables de mercancías.

Pues bien: la relación es la siguiente. Si tenemos un triángulo rectángulo (ver figura) cuya hipotenusa valga 481 y uno de sus catetos 319, entonces el otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras vale 360.



El cociente entre la hipotenusa y este último cateto es 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901; exactamente hasta el noveno decimal la primera cifra de la primera fila de la tablilla.

Varias cosas hay que comentar llegados a este punto: la primera es que tal exactitud nos sirve para rechazar cualquier procedimiento de medida real de triángulos para llegar al dato: su hallazgo debe ser teórico sin lugar a dudas: no es posible medir hasta la milmillonésima sin error. Por otro lado, el lector habrá observado que el cociente cuyo cuadrado es el número de las primeras columnas es el cociente de dos números, uno de los cuales (la hipotenusa) está en la tablilla, pero el otro no. En efecto, es el cateto restante el que aparece en la tablilla, no el utilizado para el cociente.

Dicho cociente es el inverso del coseno del ángulo que forma la hipotenusa con el cateto que no aparece en la tabla. Por tanto, la primera columna representa los valores del cuadrado de la secante del ángulo citado.

Nosotros sabemos encontrar el cateto restante, dadas la hipotenusa y un cateto mediante el Teorema de Pitágoras, pero presumiblemente los babilónicos lo desconocían. También desconocían lo que era un seno, una tangente o una secante. Se puede mantener tal desconocimiento a las luces de esta tablilla?

Pues sí se puede. Los antiguos eran antiguos, pero no eran idiotas. Esto es algo que repetidamente olvidan los amigos del misterio y de las teorías paranormales, que inducen a creer en conexiones extrañas para explicar desarrollos e invenciones de culturas antiguas, olvidando que la inventiva humana es patrimonio de todas las culturas y de todas las épocas.

Parece ser que sin conocer el teorema de Pitágoras, se conocían los valores de ciertas ternas pitagóricas: ternas de números enteros a,b,c que cumplían que a2=b2 + c2.

Los constructores de esta tabla debieron comenzar por dos números sexagesimales p,q , para hallar la terna (p2-q2, 2pq , p2+q2). Un simple ejercicio de álgebra nos convence de que en efecto ésta es una terna pitagórica.

Limitándose a valores de p menores de 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p2-q2es menor que c=2pq, los babilonios debieron descubrir que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes.

En nuestra tablilla aparecen las 15 primeras. Quizás, el escriba prosiguiera en otra tablilla con las restantes.

El orden de las filas viene dado por los valores de la primera columna, de mayor a menor, y corresponden a ángulos desde 45o hasta 31o.

Esta que ahora nos ocupa es, a juicio de los investigadores una de las tablillas babilónicas más extraordinarias. Una muestra de la extraordinaria exactitud de los cálculos de esta tablilla nos la proporciona la fila décima. Una simple observación de la ilustración de la tablilla basta para comprobar que el primer número de la décima tablilla tiene más dígitos que los demás; efectivamente representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos.

Ni la Nasa necesita ese nivel de exactitud en sus cálculos de órbitas, pues los erroresy las indeterminaciones de todo tipo son de mayor entidad.
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