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Tio Petros

Base matemática de la música ( y 3 )

PRECISANDO LA NOCION DE DISTANCIA

Este es un buen momento para introducir el concepto de distancia, de forma tan general que sea aplicable tanto a distancias ordinarias entre puntos del espacio como a distancias entre notas musicales, o entre diferentes apuestas de un sistema de quinielas.

Previo a la necesidad de tal concepto, tenemos un conjunto X de objetos entre los cuales queremos difinir algo que pueda llamarse distancia.

El producto cartesiano X x X no es sino el conjunto de todos los pares de objetos de X de la forma (a,b). Pues bien; una distancia es una aplicación de X x X en R (conjunto de los reales), d: X x X -------- R que cumpla cuatro propiedades:

1.- d(a,b) mayor o igual que 0
2.- d(a,b)=0 si y solo si a=b
3.- d(a,b)=d(b,a)
4.- d(a,b) menor o igual que d(a,c)+d(c,b)

Por lo demás, tenemos plena libertad para elegir la función d. A partir de ahora consideraremos que las letras que representan notas en realidad representan las frecuencias en herzios de dichas notas. Para medir las distancias entre notas musicales, la función d(a,b)=b-a no es interesante. Hemos visto que es la relación de frecuencias la importante, no su diferencia. Dos notas con relación doble- mitad tienen la misma distancia según nuestra percepción (una octava), sin importar los valores absolutos de frecuencia de ninguna de ellas. Por lo tanto la distancia que nos interesa debe ser de la forma d(a,b)=b/a. Como para el caso de que a y b sean iguales la distancia debe ser cero (primera propiedad). Dado que el logaritmo de 1 es precisamente 0, y dado que las leyes logarítmicas son las que mejor se adaptan a la sensibilidad de nuestros sensores, tomaremos como función distancia:

D(a,b)=K. Abs( Log (b/a))

La K no es sino una constante de escala, sin la menor importancia teórica, aunque sí práctica como veremos. He tomado el valor absoluto del logaritmo para que se cumpla la propiedad 1. Como sabemos (ahora lo sabemos, porque ya hemos leído los dos post anteriores, verdaaaaaaad?) que una octava tiene 12 semitonos, si tomo K=1200/log(2), entonces un Do estará del Do inmediatamente superior a una distancia de:

(1200/log(2)) . log(2)=1200 unidades,

que llamaremos cents , y por lo tanto un semitono de la escala temperada, que era la que dividía la octava en doce intervalos idénticos, tendrá 100 cents. Un tono temperado 200, etc, etc.

Quede claro que los cents no son una unidad de frecuencia, de tono ni nada parecido: son una unidad de separación entre tonos.

Podemos calcular ahora cuántos cents tiene un intervalo de quinta justa, que es el que hemos utilizado para construir nuestra escala de posts anteriores.

quinta justa = log 3/2 x 1200/log2 = 701,955 cents

Recordemos que, por definición:

octava justa= 1200 cents.

Habíamos visto que doce quintas justas no eran idénticas a siete octavas. Efectivamente:

12 quintas= 12 x 701,955 = 8.423,46 cents
7 octavas = 7 x 1200 = 8.400 cents

La diferencia es exactamente el déficit de la quinta del lobo del post anterior, y se denomina coma pitagórica .

1 coma pitagórica= 23,46 cents

Así pues, todo el misterio está en repartir estos casi 23 cents y medio entre las doce quintas, en función de qué es lo que queramos conseguir. Si queremos facilidad en la afinación de instrumentos, y no somos muy exigentes (eso es exactamente lo que pasa con la música actual), repartimos equitativamente: 23,5/12= 1,95 cents por quinta; valor que aproximaremos a 2 cents por quinta. De esta manera, ninguno de los intervalos entre notas será perfecto (expresable por una de esas fracciones de pequeños números, que producían un gran equilibrio entre las ondas senoidales de ambas notas). Un oído entrenado lo notará.

Las otras posibles soluciones? Pues pasan por el compromiso de “destrozar” cierto número de quintas justas y dejar perfectas las demás. Una solución es la de Valotti, que consiste en elegir seis de las doce quintas y distribuir en ellas una coma pitagórica (4 cents por quinta elegida)



Otro sistema, llamado Werckmeister III lo hace tomando cuatro quintas y restando seis cents a cada una de ellas:



Por último, el sistema Kirnberger reparte 11 cents entre dos quintas consecutivas, dejando los 2 restantes para otra:



Cada uno de ellos tiene una razón de ser, presenta sus ventajas y sus desventajas, pero estas profundidades musicales exceden los límites de Tio Petros (entendiendo por Tio Petros tanto el blog como su autor).
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15 comentarios

camila chicky -

no megustan para nada los comentarios soy de la clace alta como no entienden

francisxo -

hola comoteyamastu
aa
yomeyamo
francisco oyetienes
msn
aaaaaaa
elmioes
fracoco-2000@hotmail.com
listo
gagaga
aaaaaaaaaaaaa

camila -

o
la
s
como
estas
aaaaaaaaaaaaa
ya
tienesmsn
aaaaaa
sio
no
aaaaaaaaaaaaaa
dimenomas
aaaaaaaaa
gagagaga
yayayayaya
astayyegamos
aaaaaaaaaaaaa
jajajjajajjajajajajajj
aaaaaaa
ja
elmioes
francoco_2000@hotmail.com
esees
elmio
aaaaaaaaa
jajaja
aorafaltaeltuyo
aaaaaaa
siissiisissi
aaaaaaaaaaaaa
jajaja

toni -

muy bueno el articulo, muy buen resumen de este farragoso mundo de la afinacion. Toco el clave y siempre acabo por afinarlo (cada diez minutos...jaja le afecta mucho la atmosfera y la Tº a este instrumento tan bello) por el metodo temperado. las otras alternativas aunque son las historicas no son versatiles, dan muchos problemas y esclavizan a tocar solo en ciertas tonalidades q suenan de perlas pero si te sales de ellas... HORRIBLE!!! Ah, por cierto, el sistema Kirnberger tambien es III. muy buen post

ANTONIO -

Hola! muy interesante!! me gustaria usar tu explicacion para documentar un trabajo que estoy haciendo, sin embargo no se me permiten citas de internet, que libros consultaste? alguno que pueda encontrar en cualquier biblioteca digna de tal nombre? Gracias, saludos!!

charo -

holaaaa!!! ya entendí lo de la tónica... ya va!!! eso de distancia es algo parecido a intervalo??? gracias.

Darby -

Esta mas o menos explica todo lo que se debe saber sobre eso .....no entendi nada,,

Tockeer -

ya entendi Nota Distancia Nota actual
1 (nota base) 0 C .do
2 2 semitonos D .re
3 4 semitonos E .mi
4 5 semitonos F .fa
5 7 semitonos G .sol
6 9 semitonos A .la
7 11 semitonos B .si
8 12 semitonos C .do

barby -

Porq no me la chupan? quiero conseguir algo interesante y encuentro esta mierda...

Tio Petros -

Es completamente cierto lo que comenta Quique: tres cantantes haciendo un acorde Do-Mi-Sol, hacen con naturalidad una tercera y una quinta justas. Es en los instrumentos de afinación predeterminada en los que el problema se manifiesta en toda su crudeza.

[Quique] -

Hay que recordar que en instrumentos q no tienen afinación fija, como un violín o la misma voz humana, los intérpretes, sobre todo los solistas al ejecutar sus virtuosismos suelen caer en las quintas justas con naturalidad, una y otra vez. Sólo el acompañamiento contiuo de instrumentos como el piano y otros de afinación fija consigue meterlos en la escala temperada. El asunto de la armonía somplica tb mucho las cosas y para un músico, en un Tono determinado, no es lo mismo un la sostenido q un si bemol. Es un auténtico follón, indudablemente.

Shunt -

Ni mencionarlo. Otra curiosidad: Cuando reproducimos un disco de 33 rpm a 45, se escucha más chillón, pero las distancias se conservan y, por tanto, la música sigue siendo reconocible. Más sorprendente resultaría si, en vez de multiplicar, sumáramos una cantidad fija a las frecuencias.

Tio Petros -

Errata corregida, Shunt.
Gracias por el aviso, quizás nunca me hubiera dado cuenta...

Rimblow -

Intuia que tenia que haber algun numero (coma pitagorica) como siempre que resuelve todo el problema, he de decir que me fascina esta serie de numeros a ver si algun dia haces un especial sobre todos (phi, pi, e,...), sigue asi, que nos esta ganando cada dia un poquito más...saludos...

Shunt -

Creo que la 4ª propiedad está mal. Como curiosidad, doce también son los valores de la escala de resistencias que más se usa en electrónica. Es la serie del 5% y están en una relación raíz doce, pero en este caso, de diez.
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