La constante de Brun
Como ya hemos mencionado varias veces, dos números primos se denominan primos gemelos cuando uno de ellos es igual al otro más dos unidades. La pareja {3,5} es una pareja de primos gemelos, al igual que {17,19}.
Así como es muy sencillo demostrar que el número de primos es infinito, no parece ta fácil demostrar lo mismo para los primos gemelos. De hecho, la llamada Conjetura de los primos gemelos es precisamente el postulado de la infinitud de los mismos, sin demostración conocida de momento.
Esta conjetura, a pesar de ser difícil de demostrar, no es sino un caso particular de otra conjetura más genral: la Conjetura de Polignac , que dice que para todo número natural k , existen infinitos pares de primos tales que su diferencia es 2k . Como podemos comprobar, la Conjetura de los primos gemelos no es sino el caso particular de la Conjetura de Polignac para k=1 .
Aunque están tan firmes como cuando se postularon, y resisten todos los embates de los matemáticos, tenemos ciertos resultados parciales, el primero de los cuals, cómo no, es debido a Erdös:
existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p' - p < c·ln(p), donde p' denota el número primo que sigue a p. Erdös, 1.940
En 1966, Jing-run Chen mostró que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos.
Otro adelante en este sentido fue dado por el matemático Viggo Brun, quien en 1.919 demostró que la suma de los inversos de los primos gemelos es convergente. ¿Qué importancia tiene esto? Bueno, podemos decir que la convergencia de tal suma es una indicación, si no de la cantidad de primos gemelos, sí al menos de la densidad de los mismos. Me explico. La serie armónica es la suma de los inversos de todos los números naturales: 1/1+1/2+1/3+...+1/n+...
Existen muchas y muy bellas demostraciones de que esta serie, a pesar de crecer muy despacio (cada vez más despacio), es infinita. Una buena pregunta es cuántos naturales podemos quitar para que la suma de los inversos de los que quedan siga siendo divergente. Es fácil convencerse de que si tomamos tan solo uno de cada M naturales, la serie resultante sigue siendo divergente. Por ejemplo, tomemos uno de cada trillón de naturales( cogemos el inverso de 1 trillón más el inverso de dos trillones, más...). La suma de todos ellos será una trillonésima de la suma de la serie armónica completa, y la trillonésima de infinito sigue siendo infinito.
Más sorpresivo es que incluso la suma de los inversos de los primos siga siendo divergente. Dado que cada vez se hace más enrarecido el conjunto de primos en el seno de N, pudiera parecer que desechar los inversos de todos los no primos es suficiente para acabar con la divergencia a infinito... y sin embargo no es así.La suma de los inversos de los primos diverge.
Brun demostró que esto no ocurre con los primos gemelos, y que la suma de sus inversos no es infinita. De ahí que dicha suma se denomine constante de Brun , cuyo valor es de
B= 1.90216 05823 ± 0.00000 00008 ,
Usando para el cálculo todos los primos gemelos menores de 1.6×1015.
Así como es muy sencillo demostrar que el número de primos es infinito, no parece ta fácil demostrar lo mismo para los primos gemelos. De hecho, la llamada Conjetura de los primos gemelos es precisamente el postulado de la infinitud de los mismos, sin demostración conocida de momento.
Esta conjetura, a pesar de ser difícil de demostrar, no es sino un caso particular de otra conjetura más genral: la Conjetura de Polignac , que dice que para todo número natural k , existen infinitos pares de primos tales que su diferencia es 2k . Como podemos comprobar, la Conjetura de los primos gemelos no es sino el caso particular de la Conjetura de Polignac para k=1 .
Aunque están tan firmes como cuando se postularon, y resisten todos los embates de los matemáticos, tenemos ciertos resultados parciales, el primero de los cuals, cómo no, es debido a Erdös:
existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p' - p < c·ln(p), donde p' denota el número primo que sigue a p. Erdös, 1.940
En 1966, Jing-run Chen mostró que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos.
Otro adelante en este sentido fue dado por el matemático Viggo Brun, quien en 1.919 demostró que la suma de los inversos de los primos gemelos es convergente. ¿Qué importancia tiene esto? Bueno, podemos decir que la convergencia de tal suma es una indicación, si no de la cantidad de primos gemelos, sí al menos de la densidad de los mismos. Me explico. La serie armónica es la suma de los inversos de todos los números naturales: 1/1+1/2+1/3+...+1/n+...
Existen muchas y muy bellas demostraciones de que esta serie, a pesar de crecer muy despacio (cada vez más despacio), es infinita. Una buena pregunta es cuántos naturales podemos quitar para que la suma de los inversos de los que quedan siga siendo divergente. Es fácil convencerse de que si tomamos tan solo uno de cada M naturales, la serie resultante sigue siendo divergente. Por ejemplo, tomemos uno de cada trillón de naturales( cogemos el inverso de 1 trillón más el inverso de dos trillones, más...). La suma de todos ellos será una trillonésima de la suma de la serie armónica completa, y la trillonésima de infinito sigue siendo infinito.
Más sorpresivo es que incluso la suma de los inversos de los primos siga siendo divergente. Dado que cada vez se hace más enrarecido el conjunto de primos en el seno de N, pudiera parecer que desechar los inversos de todos los no primos es suficiente para acabar con la divergencia a infinito... y sin embargo no es así.La suma de los inversos de los primos diverge.
Brun demostró que esto no ocurre con los primos gemelos, y que la suma de sus inversos no es infinita. De ahí que dicha suma se denomine constante de Brun , cuyo valor es de
B= 1.90216 05823 ± 0.00000 00008 ,
Usando para el cálculo todos los primos gemelos menores de 1.6×1015.
9 comentarios
Jordan 13 -
Matki -
radicalist -
Anónimo -
Anónimo -
Daniel Brun -
Anónimo -
Tio Petros -
Decididamente lo voy a cambiar. Gracias elpauper, por el aviso.
elpauer -