Tio Petros vuelve.

Tras años de inactividad en este frente, Tio Petros decide volver. Este blog se enorgullece de haber contribuido en cierto modo en la divulgación matemática a nivel de blogs en castellano. Más de un millón y medio de visitas hablan de bastante interés por el tema, aunque sea a nivel de curiosidad.

Sin embargo, otros cogieron el testigo y superaron ampliamente lo aquí conseguido: primero Epsilones y posteriormente Gaussianos consiguieron calidades de divulgación matemática de tal nivel que únicamente merecen el más ferviente aplauso y nuestra admiración.

Hoy sigue habiendo una extraordinaria calidad de divulgación científica en formato blog, y mencionar nombres sería injusto por las irremediables omisiones; de modo que no lo haré, excepto con el fenómeno Amazings. Lo que Amazings está consiguiendo no tiene parangón; y me enorgullece tener amigos personales en este asunto.

Así las cosas, si Tio Petros vuelve no es con intención de apuntarse al carro de tan insigne y alta divulgación, sino en otro formato, menos ambicioso, más reposado y tranquilo: un intento de charlar sobre ciencia y filosofía, reflexionar sobre nosotros los humanos y compartir ideas al respecto, luchar contra la estéril separación entre "gente de ciencias" y "gente de letras", y combatir con cierta suavidad algunas posturas postmodernas que pretenden hacer de la ciencia un mero constructo social. Nos guiará el realismo científico abanderado por Mario Bunge, Daniel Dennet y similares. Seguiremos manteniendo el formato que tanto éxito tuvo aquí: paseos, excursiones en compañía, charlas en el ágora común entre amigos. 

Les espero en el nuevo formato. Si ustedes quieren, por supuesto. Estaremos en la siguiente dirección:

tiopetros.tumblr.com

España se viste de fiesta

Llega el verano, y llegan las fiestas de los pueblos a España. Con los calores, llega la ignominia, el horror incalificable, lo peor del ser humano reflejado en la tortura y el sufrimiento a los animales.

Legiones de hijos de puta lanzan, lancean, revientan a patadas, queman, hostigan, castran, decapitan y torturan animales en unas fiestas dignas del peor gore.

En Alhaurín El Grande una cuadrilla de malnacidos ha reventado estos días a una indefensa vaquilla a palos ante la mirada atónita del pueblo en el ruedo, ante niños, jóvenes y adultos.

En Galápagos, Guadalajara; persiguen a las reses con vehículos todoterreno campo a través hasta la extenuación. Veamos la siguiente descripción copiada de una página de denuncia:

"Vehículos cuatro por cuatro, motos de cross, quads, cars, tractores, una excavadora tipo bulldozer, coches tuneados como autos locos persiguiendo y acosando al toro. En cuanto el animal se detiene, todos lo cercan, lo encajonan en el laberinto que se ha formado con los coches. El bicho tiene las astas magulladas de tanto rasgar la chapa. Y la gente se sube a los capós o techos, convertidos el día de la fiesta en extraños burladeros. Empieza así el vía crucis: los presentes en el campo dan al animal con varas recias hasta que éstas se parten; lo golpean con banderas; lo lapidan con grandes piedras o latas de cerveza. Y de tantos calambres eléctricos, lo atontan."

La parte de España cutre, pueblerina, bárbara, burra; a bordo de coches tuneados, arremetiendo contra un animal enloquecido de terror, probablemente a ritmo de bakalao.

El final no llegará para el toro hasta horas después, con un par de tiros. 

Dos ejemplos bastan, porque la lista es interminable.

¿Qué sucede aquí? Muy sencillo: sucede que se dan en España las condiciones de posibilidad suficientes para que los malnacidos puedan hacer aquello que les gusta. Y eso no puede ser. Porque hijos de puta ha habido, hay y habrá siempre. Hay gente que disfrutaría mucho violando y torturando seres humanos, pero a lo largo de su vida no ve la posibilidad de hacerlo. De pronto; una dictadura, un régimen totalitario se instaura en el poder y todas esas personas pueden ejercer en aquello en lo que disfrutan. Surgen entonces los verdugos, torturadores, interrogadores, cuidadores de campos de concentración, asesinos parapoliciales... 

Esos horrores han sucedido, y ya no ocurren en esta parte del mundo de forma generalizada, pero la maldad está siempre ahí, acechando, por doquier. Y parte de la labor de los políticos es empeñarse en que los bellacos, ya que los hay y son legión, al menos no puedan ejercer como tales. Pero en España se dan las condiciones de posibilidad suficientes para el ejercicio del maltrato animal en las fiestas de los pueblos. No solo se dan, sino que a menudo se alimentan desde la política, se subvencionan y se alientan. Y es entonces cuando lo peor de esos infrahombres sale a relucir, derramando su inhumanidad, su indignidad, su bajeza, y su abyección sobre indefensos animales con los que comparten biosfera.

Y la clase política por lo general y con algunas notorias excepciones, silbando mientras miran para otro lado. El voto es el voto, la pela es la pela y el puesto es el puesto.

Sanguinarios, atroces cobardes de mierda. 

No a la subvención pública a las caras de Bélmez

Siguiendo con la idea de hacer que al menos el primer post de este fenecido blog con el que tanto hemos disfrutado mantenga un interés público, me hago eco de la creación de un grupo FACEBOOK de repulsa a la subvención anunciada a un futuro Centro de Interpretación de las Caras de Bélmez de la Moraleda.

Por ética y por estética.

Por el momento angustioso que para millones de españoles supone la crisis actual.

Porque la utilización de fondos públicos nos atañe a todos.

Porque la superchería no debe ser promocionada en democracia.

Porque el engaño y la mentira no deben ser cobigados bajo el amparo institucional.

Porque la comarca de Bélmez de la Moraleda tiene mil y un motivos para promocionarse y ser promocionada justamente sin apelar a lo más oscuro, ridículo y absurdo.

 

Únete al grupo

NO A LA SUBVENCION PUBLICA A LAS CARAS DE BELMEZ

 

ADHESION

Aunque sea porque el primer post que aparece en este blog ya en desuso tenga algún interés social, coloco con las reservas propias de quien no gusta de adhesiones inquebrantables, pero sí de suaves adhesiones este manifiesto en contra de todo intento de poner puertas al campo cibernético.

En defensa de los derechos fundamentales en Internet

Ante la inclusión en el Anteproyecto de Ley de Economía sostenible de modificaciones legislativas que afectan al libre ejercicio de las libertades de expresión, información y el derecho de acceso a la cultura a través de Internet [en España], los periodistas, bloggers, usuarios, profesionales y creadores de Internet manifestamos nuestra firme oposición al proyecto, y declaramos que: 

1. Los derechos de autor no pueden situarse por encima de los derechos fundamentales de los ciudadanos, como el derecho a la privacidad, a la seguridad, a la presunción de inocencia, a la tutela judicial efectiva y a la libertad de expresión. 

2. La suspensión de derechos fundamentales es y debe seguir siendo competencia exclusiva del poder judicial. Ni un cierre sin sentencia. Este anteproyecto, en contra de lo establecido en el artículo 20.5 de la Constitución, pone en manos de un órgano no judicial -un organismo dependiente del ministerio de Cultura-, la potestad de impedir a los ciudadanos españoles el acceso a cualquier página web. 

3. La nueva legislación creará inseguridad jurídica en todo el sector tecnológico español, perjudicando uno de los pocos campos de desarrollo y futuro de nuestra economía, entorpeciendo la creación de empresas, introduciendo trabas a la libre competencia y ralentizando su proyección internacional. 

4. La nueva legislación propuesta amenaza a los nuevos creadores y entorpece la creación cultural. Con Internet y los sucesivos avances tecnológicos se ha democratizado extraordinariamente la creación y emisión de contenidos de todo tipo, que ya no provienen prevalentemente de las industrias culturales tradicionales, sino de multitud de fuentes diferentes. 

5. Los autores, como todos los trabajadores, tienen derecho a vivir de su trabajo con nuevas ideas creativas, modelos de negocio y actividades asociadas a sus creaciones. Intentar sostener con cambios legislativos a una industria obsoleta que no sabe adaptarse a este nuevo entorno no es ni justo ni realista. Si su modelo de negocio se basaba en el control de las copias de las obras y en Internet no es posible sin vulnerar derechos fundamentales, deberían buscar otro modelo. 

6. Consideramos que las industrias culturales necesitan para sobrevivir alternativas modernas, eficaces, creíbles y asequibles y que se adecuen a los nuevos usos sociales, en lugar de limitaciones tan desproporcionadas como ineficaces para el fin que dicen perseguir. 

7. Internet debe funcionar de forma libre y sin interferencias políticas auspiciadas por sectores que pretenden perpetuar obsoletos modelos de negocio e imposibilitar que el saber humano siga siendo libre. 

8. Exigimos que el Gobierno garantice por ley la neutralidad de la Red en España, ante cualquier presión que pueda producirse, como marco para el desarrollo de una economía sostenible y realista de cara al futuro. 

9. Proponemos una verdadera reforma del derecho de propiedad intelectual orientada a su fin: devolver a la sociedad el conocimiento, promover el dominio público y limitar los abusos de las entidades gestoras. 

10. En democracia las leyes y sus modificaciones deben aprobarse tras el oportuno debate público y habiendo consultado previamente a todas las partes implicadas. No es de recibo que se realicen cambios legislativos que afectan a derechos fundamentales en una ley no orgánica y que versa sobre otra materia. 


Este manifiesto, elaborado de forma conjunta por varios autores, es de todos y de ninguno. Si quieres sumarte a él, difúndelo por Internet.

El postulado de Bertrand (1)

No es la primera vez que visitamos desde este blog a los números primos. Es extraña la fascinación que ejercen sobre una mente medianamente inquieta. Tras una definición aparentemente anodina (un número primo es aquel que sólo puede dividirse por sí mismo y por la unidad, dando un resultado entero por tal división) se esconden innumerables sorpresas. Para empezar, el tamaño del conjunto de los números primos, que demostramos en su día por cinco procedimientos diferentes que era infinito. Aquí pueden ver las demostraciones: (1) (2) (3) (4A) (4B) (5A) (5B)

 

Si bien tras cinco demostraciones a nadie puede quedar duda alguna de la infinitud de los números primos, aún nos quedan muchas incógnitas sobre los mismos. Para empezar, cada vez parecen ser menos comunes: tras un inicio en el que casi todos los impares son primos (1,3,5,7), enseguida empiezan a escasear. No obstante, seguiremos encontrando primos gemelos (impares consecutivos, ambos primos) en todo el conjunto N.

Una forma de ver que cada vez escasean más los primos, según avanzamos en el conjunto N es demostrar que siempre podremos encontrar un conjunto de números naturales consecutivos tan grande como queramos de manera que ninguno sea primo, si buscamos hacia números suficientemente grandes.

Este es un resultado muy conocido desde antiguo, que nos servirá de punto de partida para demostrar algo aún más profundo: el postulado de Bretrand, pero no adelantemos acontecimientos.

De momento demostraremos que:

Dado un número entero k, podemos encontrar una ristra de k números enteros consecutivos de forma que ninguno de ellos sea primo.

Este es un resultado realmente potente: afirma que existen diez mil, doscientos mil millones, o mil quintillones de enteros seguidos en alguna parte de N sin contener ni un solo número primo. Todo ello manteniendo la afirmación de que el número de primos es infinito, a pesar de lo ralos que se van haciendo según avanzamos hacia números cada vez más grandes.

Demostrémolso.

Sea k un número entero cualquiera.

Sea P_k el conjunto de todos los primos menores que (k+2).

Sea N el producto de todos los elementos de P_k.

N= 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... · p ; donde p es el mayor primo que es más pequeño que (k+2).

Es evidente que N es divisible por 2, por 3, por 5,... y por todos los primos menores que (k+2) por propia construcción.

Ahora bien, N+2 es divisible por 2, pues N y 2 lo son.

N+3 es divisible por 3, pues N y 3 lo son.

N+4 es divisible por 2, pues N y 4 lo son...

Podemos repetir el razonamiento para todo número del conjunto {N+2,N+3,...,N+k, N+(k+1)}

Para cualquiera de estos números (para N+i, con i ε {2,3,...,(k+1)) podemos decir que ninguno de ellos es primo porque i es un factor primo de N menor que (k+1), y por lo tanto divide necesariamente a N, y por supuesto divide trivialmente a i, por lo que debe dividir necesariamente a N+i.

Así pues, hemos encontrado una ristra de k números enteros consecutivos (la ristra que comienza en N+2 y llega hasta N+(k-1) tiene exactamente k números) de manera que ninguno de ellos es primo. Como no hemos hecho ninguna suposición sobre la naturaleza de k, concluiremos que podemos encontrar una ristra de enteros consecutivos dentro de N tan larga como queramos.

De esta forma, vemos que no existe límite alguno para el tamaño de los "agujeros" del conjunto de primos dentro de N.

Pero dando un paso más, podemos seguir preguntándonos cosas: ¿existe algún límite para el valor máximo del "agujero" de números no primos posible si empezamos a investigar a partir de un número fijo?

La pregunta no es inocente: para encontrar un "agujero" de k números no primos, nos hemos tenido que desplazar hasta números muy grandes: hemos tenido que efectuar el producto de todos los primos menores que (k+2); número enorme si k es grande.

Y si hubiéramos empezado a buscar "agujeros" de no primos a partir de un valor más pequeño, ¿existe algún límite para el tamaño del conjunto de enteros consecutivos no primos?

Responder a esta pregunta nos llevará al Postulado de Bertrand, pero no será un paseo fácil. Les espero el año próximo, aprovechando para desearles unas felices fiestas.

TioPetros

 

 

 

Un libro especial para un lugar especial.

 

 

Hay muchos tipos de libros, pero como recordaba Carl Sagan, una vida humana es excesivamente corta para leer una fracción infinitesimal de lo que se publica y hay que elegir. La primera clasificación, obvia donde las haya, es la que separa lo publicado en dos bloques: lo que me interesa y lo que no me interesa. Así no hacemos juicios de valor sobre las obras.

Dentro de lo que me interesa, una separación muy personal pero clara es la siguiente: lo que es accesible para mí y lo que no lo es. Aquí entramos en un terreno muy personal en el que la disponibilidad de tiempo, mi propia preparación, mis prioridades y mi economía tienen mucho que decir. Escojamos pues lo que me interesa y es accesible para mí.

En este clado existen libros que puedo leer en cualquier lugar y libros para los que necesito una cierta parafernalia exterior: hay libros que sólo puedo leer bajo un flexo, envuelto en humo de tabaco y en silencio absoluto e incluso con papel y lápiz cerca para tomar notas; otros son lecturas de verano en tumbona bajo una sombrilla (nunca a pleno sol, por favor).

En este punto la clave de clasificación personal de libros que les muestro, deja de ser dicotómica y se vuelve multivariante. Tengo libros de escritorio, libros para leer en la cama, libros de tumbona, de taberna y de transporte público. Pero quisiera hablar de un tipo de libros que tengo reservado para uno de mis lugares preferidos; el sancta sanctorum del lector: el cuarto de baño.

En mi taxonomía libresca privada clasificar un libro como libro de cuarto de baño es decir mucho sobre el ejemplar en cuestión, y todo bueno: debe ser un libro ágil; de capítulos cortos para poder leer uno entero en el tiempo racional que uno pasa en dicho lugar; debe ser interesante y debe no encajar exactamente en ninguna de las clasificaciones anteriores. Este último punto es importante, porque estoy muy influído por mis lecturas de biología y siempre me ha fascinado la taxonomía y en particular el esfuerzo humano por clasificar la diversidad biosférica en clados anidados, de manera que un clado nunca pertenezca sino a uno y sólo uno de los clados superiores. Así pues, no son para mí libros para leer en ningún otro lugar; y por lo tanto a pesar de lo aparentemente escatológico del asunto este taxón es de absoluta excelencia en lo que a mi respecta. Pocos libros merecen tal categoría.

Así pues, hablemos de los libros para leer en el cuarto de baño. Libros para aprovechar, saborear y disfrutan en cortos espacios de tiempo. Libros cuyos capítulos son joyas que merecen el reposo y la soledad de estos momentos íntimos e intransferibles.

Mi libro actual en estas circunstancias es " Ideas para la imaginación impura ", 53 reflexiones en su propia substancia, de Jorge Wagensberg.

El autor nació en Barcelona en 1948, es licenciado y doctor en Física por la Universidad de Barcelona y profesor de Teoría de los Procesos Irreversibles en la Facultad de Física de dicha universidad, donde dirige un grupo de investigación en biofísica. Es autor de múltiples trabajos científicos aparecidos en publicaciones especializadas internacionales y de una extensa obra de difusión científica hacia otros dominios de la cultura. En 1980 publicó el libro Nosotros y la ciencia (Bosch Editor) y en 1985 Ideas sobre la complejidad del mundo (Tusquets Editores). En 1983 crea la colección de pensamiento científico «Metatemas», también de Tusquets, y desde el año 1991 es director del Museo de la Ciencia de la Fundación ‘la Caixa’.

Tras este cúmulo de avales uno no toma este librito sin esperar algo de mucho interés; de forma que la exigencia a priori es alta. Cincuenta y tres reflexiones en 276 páginas hacen que cada reflexión sea muy cortita en extensión y muy fácil de leer, pero cada una de ellas está llena de bellas implicaciones y reflexiones profundas que se pueden aborar a posteriori. En ellas se muestra al científico como un ser ávido de reflexión y buscador impenitente de fuentes de inspiración en cualquier acontecimiento diario apartentemente trivial.

Un libro en suma excepcional por su interés, digno de un autor que ha demostrado largamente su potencia de divulgador a la vez que su talla de científico, un autor que tituló a otra de sus obras con uno de los títulos más sorprendentes y maravillosos que haya visto nunca; con una frase digna del mejor koan zen: "Si la naturaleza es la respuesta, ¿cuál era la pregunta?" (Colección Metatemas, nº 75; Tusquets editores).

FICHA DEL LIBRO:

TITULO:"Ideas para la imaginación impura, 53 reflexiones en su propio jugo"

AUTOR: Jorge Wagensberg

COLECCIÓN METATEMAS

EDITORIAL: Tusquets Editores

 

El zoo de las bases de numeración

Una vez más, nuestro colaborador Jorge Alonso nos proporciona un artículo lleno de interés. En este caso se trata de sistemas de numeración; una extrapolación a lo inhabitual llena de sentido y coherecia. Les dejo con él: que lo disfruten.

TioPetros

 

Imaginemos que existe un zoo en los que podemos contemplar los sistemas posicionales de bases de numeración. Demos un paseo por él.

Nada más empezar están los especímenes más conocidos, la base decimal, la binaria y la hexadecimal:

A continuación, están los sistemas basados en una base negativa, gracias a lo cual se pueden representar los números enteros sin tener que indicar su signo. Veamos la base -2:

Observemos cómo los enteros negativos tienen un número par de dígitos, y los enteros positivos un número impar.

Seguimos, y nos encontramos con bases que no son números enteros.

Para comenzar tenemos la base racional 1/10, en la que para convertirla a decimal basta con invertir los dígitos:

Le sigue la base irracional , en la que los números son los mismos que en base 10, pero añadiéndoles ceros entre sus dígitos:

Y ahora, la base , en la que sólo empleamos los dígitos 0 y 1:

Debido a su propiedad , concluimos que en esta base 11=100. Es decir, un mismo número puede representarse de dos formas distintas. Pero recordemos que eso mismo también ocurre en nuestra base diez: 1=0,9999...

Sigamos adentrándonos en el zoo, y vemos ahora la base imaginaria 2i, que emplea los dígitos 0, 1, 2 y 3, y es capaz de representar cualquier número complejo sin ni siquiera tener que indicar su signo:

Cambiando totalmente la dirección de nuestro paseo, llevamos nuestros pasos junto a la base de numeración más antigua y simple, la base 1:

El siguiente sistema posicional más antiguo conocido es el babilónico, de base 60.

Y cerca está la numeración maya. Utilizaban base 20, excepto en astronomía, en la que a partir del tercer dígito en adelante un 20 es cambiado por un 18 (es decir, los multiplicadores son 1, 20, 18×20, 18×20², 18×20³...):

Seguimos, y podemos ver otro sistema de base múltiple, pero que empleamos diariamente: 4 semanas, 5 días, 9 horas, 26 minutos y 8 segundos, son 4₇5₂₄9₆₀26₆₀8 = 2885168 segundos.

Vemos también la base factorial:

Volvemos a cambiar la dirección de nuestros pasos. Hasta ahora, en una base cualquiera b se usan los dígitos 0, 1, 2 y siguientes hasta b-1; en caso de quedarse sin dígitos, se usan letras.

El siguiente espécimen es la base 10 sin cero, en la que para compensar esta carencia se utiliza A=10:

La ya vista base 1 es otro caso de base sin cero.

Igualmente, podemos desplazar la serie de dígitos en sentido contrario, y tener algunos de ellos siendo negativos.

Para la base 3, podemos observar los especímenes basados en (1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, 0, 1) y (-2, -1, 0). Fijémonos en el caso de base 3 balanceada:

Una aplicación común de este último es en balanzas de dos platillos, con pesas que sean múltiplos de 3.

En la base 4 con los dígitos , los números y corresponden ambos al 6.

Después de esto, vienen las bases que emplean más cantidad de dígitos que lo que indica la propia base, que tienen el inconveniente de que los números pueden tener múltiples representaciones. Contemplemos la base 2 con (-1, 0, 1):

Lo siguiente son bases cuyos dígitos no son exclusivamente números enteros, pudiendo tener dígitos que representen números racionales, irracionales, complejos...

Llegamos al final de nuestro paseo y, llevando la vista atrás, sólo nos queda recordar que todos estos sistemas pueden mezclarse entre sí...

Fuentes documentales

Artículos de la Wikipedia sobre Non-standard positional numeral systems.

Una mala iniciativa

Siempre he asociado las izquierdas a la racionalidad. Siempre he creído que el pensamiento de la izquierda era, por un lado heredero de las ideas de la ilustración y por otro de la doctrina de filósofos posteriores que se destacaron por su defensa de la razón y del pensamiento científico.

Sin embargo estamos asistiendo a un giro importantísimo de la izquierda hacia el relativismo cultural. Influidos quizás por pensadores francófonos de la talla (baja) de Luce Yrigaray ( La ecuación E = mc², ¿es sexuada? Puede que sí. Supongamos que lo es en la medida en que privilegia la velocidad de la luz frente a otras que nos son menos necesarias), Jacques Lacan (El Organo Eréctil y La Raíz Cuadrada de Menos 1: Así, calculando esa significación según el álgebra que utilizamos, a saber: S (significante) sobre s (significado) = S (el enunciado). Con S=1, tenemos s = Raíz Cuadrada de menos 1. Es así como el órgano eréctil viene a simbolizar el lugar del goce. No en cuanto él mismo, ni siquiera en cuanto a imagen, sino en cuanto parte faltante de la imagen deseada: por eso es igualable a Raíz Cuadrada de menos 1.) o Jean Braudillard (En el espacio euclidiano de la historia, el camino más rápido de un punto a otro es la línea recta, la del progreso y la democracia. Pero esto no es válido nada más que para el espacio lineal de las luces. En el nuestro, el espacio no-euclidiano del fin de siglo, una curva maléfica desvía invenciblemente todas las trayectorias. Ligada sin dudas a la esfericidad del tiempo (visible al horizonte del fin de siglo como aquella de la tierra al horizonte del fin de la jornada) o a la sutil distorsión del campo de gravedad.)…

Influidos, quizás, por tales “pensadores” postmodernos, decía, parece ser que las izquierdas están dando un giro. Es difícil saber hacia dónde. No es hacia la derecha; yo creo que están girando hacia abajo, alejándose de lo que tradicionalmente se ha entendido por pensamiento de izquierdas y deslizándose por un peligroso camino.

El boletín Oficial de las Cortes Generales en su edición del 15 de septiembre del corriente (que lo tienen a su disposición aquí) en su pagina 11 publica la propuesta no de ley 162/00512 con el siguiente título:

PROPUESTA NO DE LEY PRESENTADA POR EL GRUPO PARLAMENTARIO IZQUIERDA UNIDA- INICIATIVA PER CATALUNYA VERDS, sobre la necesidad de regular, de forma consensuada, las terapias naturales, la formación de las mismas y productos naturales pudiendo ser integrados en el sistema sanitario.

En el interior de la propuesta, destacan frases como las siguientes:

"la OMS apoya los tratamientos naturales que tienen que ver con la Naturopatía, la Homeopatía, la Medicina Tradicional China (MTC), así como los tratamientos manuales como la Quiropráctica, la Osteopatía, y por extensión el Masaje Terapéutico, etc. "

¿Es esto verdad?

Veamos lo que dice la OMS por boca de su director general el el Dr. LEE Jong-wook:

«La OMS apoya el uso de las medicinas tradicionales y alternativas cuando éstas han demostrado su utilidad para el paciente y representan un riesgo mínimo, pero a medida que aumenta el número de personas que utiliza esas medicinas, los gobiernos deben contar con instrumentos para garantizar que todos los interesados dispongan de la mejor información sobre sus beneficios y riesgos.» En ese mismo enlace se dice que:

La atención primaria de salud de hasta un 80% de la población de los países en desarrollo se basa en la medicina tradicional, por tradición cultural o porque no existen otras opciones. En los países ricos, muchas personas recurren a diversos tipos de remedios naturales porque consideran que «natural» es sinónimo de inocuo.

La verdadera opinión de la OMS al respecto de las medicinas alternativas es ésta :

Existen datos que parecen avalar el uso de determinadas medicinas tradicionales y complementarias, por ejemplo, la acupuntura para aliviar el dolor, el yoga para disminuir los ataques de asma, o las técnicas de tai ji para ayudar a las personas mayores a disminuir su miedo a sufrir caídas. En la actualidad la OMS no recomienda esas prácticas, pero está colaborando con los países en el fomento de un planteamiento basado en la evidencia para elucidar los cuestiones relativas a la seguridad, eficacia y calidad.

¿Cómo podría ser de otra manera?

La OMS no puede estar de espaldas a un problema de salud a nivel mundial, y se interesa por ello. Sabe que muchos remedios tradicionales son buenos, y explica que apoya el uso de las medicinas tradicionales y alternativas cuando éstas han demostrado su utilidad para el paciente y representan un riesgo mínimo. Es que decir lo contrario sería simplemente idiota: un remedio, natural, tradicional o convencional deberá ser promovido si se demuestra su utilidad, factibilidad y ausencia de efectos secundarios. Si a uste le sienta bien una manzanilla o una tila, tómesela. Sin embargo, las demostraciones caen completamente dentro de la esfera de la ciencia, no de las declaraciones políticas.

Por eso, concluir como hace IU que la OMS da el visto bueno a la homeopatía, es una absoluta barbaridad.

Sigue explicando la propuesta no de ley :

La Administración debe asumir su responsabilidad en la regulación coherente de este sector, de forma consensuada con las partes implicadas, respetando la libertad del ciudadano a elegir libremente la forma que decida para el cuidado de su salud, estableciendo los criterios necesarios que garanticen una mejor seguridad de su salud y de la aplicación de las terapias, basándose en los criterios científicos que conduzcan a un ordenamiento real y justo del sector que beneficie a todas las partes implicadas, en especial del usuario.

Por todo ello se formula la siguiente

PROPOSICIÓN NO DE LEY

El Congreso de los Diputados insta al Gobierno a que constituya un grupo de trabajo, del que formarán parte el Ministerio de Sanidad y Consumo, los grupos parlamentarios con representación en el Congreso de los Diputados y el sector de la salud natural, que culmine con la presentación ante esta Cámara de un proyecto de ley de regulación de dichas terapias con el tiempo suficiente para que sea aprobado en la presente legislatura.

Yo, cuando estoy enfermo lo que reivindico es que me curen de la mejor forma posible. Para ello me pongo en manos de unos profesionales, los médicos. Y no les digo qué tratamiento me deben dar, sino que les pregunto qué tratamiento debo seguir. Si veo que mi gobierno me da la opción de elegir métodos homeopáticos o alopáticos (convencionales) a mi elección, tendré una sensación de libertad, pero perfectamente podré elegir mal.

¿La medicina actual es la mejor de los posibles? Claro que no; pero la única alternativa es una medicina mejor; no una medicina homeopática basada en principios anticientíficos ni una medicina chamánica, por imposición de manos o por apelación a los espíritus de la naturaleza. Allá donde la medicina científica ha ido sustituyendo a estas otras formas espurias de pseudoconocimiento se ha conseguido aumentar la esperanza de vida de los países hasta límiten nunca soñados, así como su calidad de vida.

Izquierda Unida se muestra sorprendentemente cerca de las tesis de la infame revista DSALUD, de los que hablamos aquí y que en uno de sus números declara:

La verdad es que en el largo camino hacia la equiparación con la medicina alopática las otras medicinas encuentran muchos escollos. Entre ellos, el tiempo que deberá transcurrir hasta que se asimilen los nuevos conceptos y enfoques sobre la salud, y se produzca la necesaria modificación de las políticas sanitarias de los distintos estados miembros. Algo más que una aventura.

A lo mejor asistimos en breve a propuestas de ley a favor del curanderismo y de la imposición de manos. Todo ello en aras de un sano distanciamiento de posiciones etnocentristas; como mandan los nuevos cánones idiotas de lo políticamente correcto.

Ampollas (2)

 

En los comentarios del post anterior se ve bien claro lo difícil de abordar un problema de probabilidad, por lo demás bastante simple.

Repetimos el enunciado del problema:

En una especie de macabro experimento del que somos las cobayas humanas, vemos como el experimentador escoge al azar entre dos ampollas idénticas llenas de líquido. Nos explican que una contiene un veneno mortal y fulminante, y la otra agua. La elección se realiza al azar. Dicha ampolla es introducida en una bolsa que ya contenía una ampolla, ésta última de agua pura.

Antes que nosotros, otra cobaya es obligada a elegir a ciegas una de las dos ampollas. La bebe y resulta ser inocua. Ahora nos toca bebermos a nosotros la otra.

La pregunta es la siguiente: ¿nuestra situación es igual, mejor o peor que si simplemente hubiéramos tenido que bebernos la ampolla primera, que tanto podía ser mortal como inocua?

 

Vayamos paso a paso explicando la situación, y empecemos por poner en común la nomenclatura:

 

Sea X la elección de la primera persona e Y la elección nuestra.

 

Llamamos ampolla 1ª a la que ya estaba en la bolsa: de agua pura, y 2ª a la introducida en segundo lugar: la elegida al azar entre dos, una mortal y otra inocua.

 

Nuestro resultado está afectado por lo que haya sucedido antes: no es lo mismo que el otro cobaya haya tomado la primera ampolla (en cuyo caso quedaría para nosotros la segunda, que puede ser inocua o mortal con equiprobabilidad), que la segunda (en cuyo caso quedaría para nosotros la primera, que es inocua con seguridad). Calculemos la probabilidad a priori de que salvemos la vida en la prueba.

 

Evidentemente P{X=1ª} = P{X=2ª}=1/2.

 

Ahora bien, las probabilidades condicionadas por la elección del primero son:

 

P{Y=inocua /X=1ª}= ½

 

P{Y=inocua /X=2ª}=1.

 

Así pues, la probabilidad (absoluta) de que salvemos la vida ( P{Y=inocua}) es:

 

P{Y=inocua}= P{Y=inocua /X=1ª}· P{X=1ª} + P{Y=inocua /X=2ª}· P{X=2ª}=1/2 ·1/2 + ½ · 1 = ¾.

 

Por lo tanto tenemos 3 posibilidades de 4 de salvar la vida., y por lo tanto ¼ de morir.

 

Hemos empleado el teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total

Sea A₁, A₂, ...,A_n un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/A_i), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

 

Otra forma de hacerlo es dividir el espacio muestral en subsucesos equiprobables y aplicar la regla de Laplace de dividir casos favorables entre posibles.

 

 

Efectivamente cuatro son los casos posibles: que nuestro compañero elija la 1ª siendo 2ª inocua, que elija la 1ª siendo la 2ª mortal, que elija la 2ª siendo ésta inocua y que elija la 2ª siendo ésta mortal. Él tiene una posibilidad de cuatro de morir: elegir la 2ª siendo ésta mortal; 1 de 4.

 

O si queremos, aún podemos calcularno de otra manera, haciendo uso del siguiente teorema:

Si dos sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que se den ambos es igual al producto de las probabilidades.

Para que muera el primer elector deben suceder dos cosas: A={que elija la segunda ampolla} y B={que la segunda sea mortal}. Ambos sucesos son independientes de probabilidad ½, luego la conjunción de ambas se dará con la probabilidad producto, que es otra vez ¼.

 

Así pues, ambos tenemos a priori la misma probabilidad de morir. Esto no debiera parecer extraño: una vez que el primero ha escogido, está clarificado qué ampolla va a tomar cada uno de los dos.

 

Ahora bien, en nuestro problema estamos preguntando por la probabilidad de que salvemos la vida una vez que sabemos que el primero ha salvado la suya. Ahora las probabilidades a posteriori cambian: sabemos que la posibilidad de que nuestro compañero haya tomado la 2ª, siendo ésta mortal no se ha dado, con lo que quedan tres únicas posibilidades, de las que una nos matará: nuestra probabilidad de morir ahora es 1/3, como había dicho Engineer en los comentarios del post anterior.

 

Aún así, nuestra situación sigue siendo mejor que si hubiéramos estado obligados a bebernos la ampolla inicial…

 

 

Ampollas

 

 

Muchas veces lo hemos dicho: los humanos estamos muy mal dotados para calcular probabilidades. Esto es un misterio bastante grande, habida cuenta de lo importante que es en la vida cotidiana tal destreza, pues nos salvaría de un sinnúmero de dificultades. En efecto, no hace falta conocer la Teoría de los Juegos ni el cálculo de riesgos bayesiano para entender que una correcta estimación de las probabilidades es una ayuda inestimable en la vida real. La naturaleza nos debiera haber provisto de una mejor capacidad para ello, dada la mayor probabilidad de incrementar nuestra descendencia en caso de poseer efectivamente tal habilidad. Darwinismo puro y duro que por alguna razón que no entiendo no ha funcionado como aparentemente debiera.

 

Hablamos de ello aquí cuando dábamos una vuelta de tuerca al famoso problema de Monty Hall, que ha hecho correr ríos de tinta.

También lo mencionamos cuando hablábamos de probabilidades condicionadas y de independencia entre variables aleatorias, aquí y aquí.

Entender correctamente cómo la realización de un suceso modifica las probabilidades de los subsiguientes (en el caso de no existir independencia estocástica) es primordial para poder atacar los problemas.

Les propongo uno muy sencillo:

En una especie de macabro experimento del que somos las cobayas humanas, vemos como el experimentador escoge al azar entre dos ampollas idénticas llenas de líquido. Nos explican que una contiene un veneno mortal y fulminante, y la otra agua. Repito que la elección se realiza al azar. Dicha ampolla es introducida en una bolsa que ya contenía una ampolla, ésta última de agua pura.

Antes que nosotros, otra cobaya es obligada a elegir a ciegas una de las dos ampollas. La bebe y resulta ser inocua. Ahora nos toca bebermos a nosotros la otra.

La pregunta es la siguiente: ¿nuestra situación es igual, mejor o peor que si simplemente hubiéramos tenido que bebernos la ampolla primera, que tanto podía ser mortal como inocua?

 

Les espero.

 

El teorema de Poincaré-Perelman (antes Conjetura de Poincaré)

Reproduzco un artículo que escribí en este blog hace algún tiempo, dado el renovado interés por la Conjetura de Poincaré y la demostración de Grigory Perelman del mismo. Tras Andrew Willes, el mundo matemático nos vuelve a mostrar la imagen de un matemático que se encierra durante años para conseguir lo que las mejores mentes del planeta no han logrado: dar cumplida respuesta a una pregunta que lanzó al mundo un matemático de otra generación.

Como ya dijimos en alguna ocasión una conjetura es un teorema al que le falta la parte más interesante: la demostración. Dicho de otro modo: una conjetura nada tiene que ver con un teorema; es una simple afirmación. Aunque a veces se pervierta la nomenclatura, como en el caso del “Ultimo teorema de Fermat”, que no tuvo tal rango hasta que Wiles lo demostró hace pocos años.

Visto así, parece que una conjetura tiene poco valor, y es poco más que una opinión. Así es en parte, de hecho muchas conjeturas resultaron falsas a la postre. Sin embargo normalmente tienen el valor de ser agudas observaciones realizadas por especialistas, retos lanzados al mundo para que las mejores mentes del planeta se esfuercen en desentrañar sus misterios. Así ocurre con una de las más famosas: la Conjetura de Poincaré

Pasamos a explicar en qué consiste la conjetura, tan de moda últimamente a raíz de la demostración (pendiente de refrendar por lo que yo sé, pero probablemente correcta) del matemático ruso Grigory Perelman

La Conjetura de Poincaré es una afirmación topológica. Una vez explicamos aquí que la topología tiene un estatus muy especial dentro de la matemática. Supondremos que el lector sabe qué estudia la topología por tanto.

A veces, los matemáticos tienen algo de naturalistas; taxónomos más concretamente. Les gusta clasificar cosas y ponerles etiquetas. Este gusto es totalmente lógico; para clasificar atendemos a las propiedades más esenciales de las cosas e investigamos la diversidad de las mismas. El procedimiento básico suele ser el siguiente: se establecen relaciones de equivalencia entre los objetos; no relaciones cualesquiera, sino relaciones que se consideran relaciones importantes precisamente porque atienden a propiedades que consideramos esenciales de las mismas. Dichas relaciones inducen clases de equivalencia dentro de las cuales todos los objetos están “emparentados”, y estudiamos el conjunto cociente de clases obtenido. Ese es el esquema esencial de clasificación en matemáticas, si bien su aplicación práctica puede variar, y así se han establecido clasificaciones para los grupos simples finitos, para las superficies en R ⁿ , las formas cuadráticas, los grupos de Lie, etc, etc.

La relación más habitual que se emplea en topología es la relación “ser homeomorfo” . Pocas veces se ha escondido detrás de una palabra tan fea un concepto tan bello. Dado un espacio de trabajo X, dos objetos A y B de dicho espacio (dos subconjuntos de “puntos” de X) son homeomorfos si pueden transformarse el uno en el otro mediante una transformación continua especial llamada homeomorfismo. Diremos que una aplicación de A a B es un homeomorfismo si es biyectiva, continua e inversible, siendo su inversa igualmente continua. Dado que si A y B son homeomorfos, entonces para un topólogo “son” esencialmente el mismo objeto, se comprende la importancia de la clasificación atendiendo a tal concepto.

Pues bien; la capacidad simplificatoria de este procedimiento es impresionante: al tratar a todos los objetos de cada clase como uno sólo (su representante canónico), obtenemos un panorama mucho más racional del universo que estamos estudiando. Es de esperar (de hecho, está asegurado) que todos los objetos de una misma clase de homeomorfia exhiban las mismas propiedades topológicas.

El problema es que lo que vale para un espacio topológico no tiene porqué valer para otro. Dado que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de siete, cabe esperar que ciertas cosas (cosas topológicas, entiéndanme) que ocurran en un universo de tres dimensiones no ocurrirán o al menos no tienen porqué ocurrir en otro de siete, y viceversa. Y aquí está el quid de la cuestión en lo que a la Conjetura de Poincaré se refiere.

Pero vayamos con calma.

Consideremos una esfera. Es muy importante explicar que entendemos que una esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de otro, llamado centro. Esto viene a cuento porque con esta definición una esfera es una superficie. No una bola maciza sino la superficie que la delimita. Esto es básico para entender lo que sigue. Para dejar más claro el asunto, la llamaremos 2-esfera por ser un objeto bidimensional, aunque esté inmerso en un espacio de tres dimensiones.


Todo objeto homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera tendrá las mismas propiedades topológicas que una esfera; esto es una perogrullada. Lo que no lo es es preguntarse si una determinada colección de propiedades de la esfera es una caracterización topológica de la misma. Esto no es nada trivial. Y de eso va la conjetura.

Una caracterización es un conjunto de propiedades que definen sin ambigüedad un objeto. Tres propiedades topológicas son importantes en una esfera:

1.- Es compacta
2.- Es orientable
3.- Es simplemente conexa

Hace mucho tiempo que quedó claro que este conjunto de tres propiedades es una caracterización de una 2-esfera, pero ¿qué ocurre en dimensiones superiores?

Una 3-esfera NO ES una esfera maciza, como alguno podría pensar. Una 3-esfera es una variedad diferenciable de tres dimensiones, que podemos definir como el conjunto de los 4-puntos de R⁴ que equidistan de uno dado (centro). Es una 3-variedad inmersa en un espacio de 4 dimensiones, por tanto.

Pues bien; ¿sigue siendo el conjunto de las tres propiedades una caracterización de las 3-esferas?

La Conjetura de Poincaré afirma que para cualquier número de dimensiones el conjunto de las tres propiedades es en efecto una caracterización de las n-esferas.

Y eso es lo que ha debido conseguir el bueno de Grigory Perelman.

Por cierto, el lector atento, aunque sin conocimientos matemáticos previos podrá seguramente responder la siguiente pregunta: si una 2-esfera es o que todos conocemos como una esfera (tan sólo la superficie esférica), ¿qué cosa es una 1-esfera? ¿y una 0-esfera?

Celentéreos

La alta varianza (deseable y enriquecedora) que exibe el Homo sapiens en todas sus facetas intelectuales, racionales, educacionales, sentimentales y personales tiene una serie de consecuencias espurias: la distribución, aproximadamente normal en virtud del Teorema Central de Límite, aumenta su peso en las colas debido a esta varianza grande. Nunca ha hecho falta ningún nivel especial para pasear plácidamente por TioPetros, he intentado realizar con los lectores paseos tranquilos y agradables, quizás a lo sumo alguno con una cuesta un poco más empinada que otra; pero cuando el parámetro a medir es la educación y el "saber estar" aquí y en cualquier lugar del mundo hay unos mínimos que cumplir.

 

Me duele ver este blog lleno de idioteces (de 20 a 30 diarias) escritas por la misma persona -alguien con tantas neuronas como usted y yo pero con la capacidad aproximada de un celentéreo- con enlaces a páginas porno a lo largo de todos los artículos de este blog. Comentarios que no me apetece perseguir, ni bloquear, ni filtrar; dada la persistencia incomprensible de su autor. Me duele sobre todo porque esta bitácora sigue siendo leída diariamente por varios cientos de personas que no se lo merecen. Incluso él no se lo merece, exhibir su estupidez, aunque de forma anónima, tan a la vista de todos. Seamos condescendientes y no pidamos peras al olmo.

 

Un abrazo a todos los lectores y para el celentéreo un mensaje de ánimo: con esfuerzo por tu parte quizás puedas abandonar la posición de cola de la distribución, regresar a la media e ingresar como uno más en la categoría taxonómica que por nacimiento te corresponde.

¿O quizás no?

TP

 

¡Vaya timo!

 

Se ha comentado mucho en la blogosfera, pero nunca será lo suficiente. Ahora que han caído en mis manos me parece un buen momento para comentarlo en Tio Petros, la bitácora de matemáticas que languidece porque su autor no escribe en ella, mientras que sus visitas inexplicablemente siguen aumentando llegando a casi al millar diario.

Ha salido a la arena una colección valiente cuando las soplapolladas venden más que nunca, cuando las míseros códigos Da Vinci son best sellers, cuando la tontería ha invadido los escaparates de nuestras librerías, un puñado de quijotes lanza la colección ¡Vaya timo!

La Editorial Laetoli en colaboración con la Sociedad para el Avance del Pensamiento Crítico bajo el nombre ¡Vaya timo! va a ir tratando esas historias que a menudo nos intentan colar sin ningún tipo de fundamento, o lo que es peor, bajo el amparo de algún tipo de pseudociencia; los tres primeros libros de la colección tratan de OVNIS, la sábana santa y el creacionismo.

El hecho de que el autor de uno de ellos (el de la sábana supuestamente santa), Félix Ares de Blas sea amigo personal mío, además de maestro admirado en lides escépticas ha hecho que no me haya sorprendido en absoluto cuánto pueden dar de sí diez euros. Los otros dos libros prometen la misma calidad.

¿Qué esperas para comprarlos?

Hagamos guerra a la tontería comprando los volúmenes que la editorial Laetoli se ha atrevido a publicar cuando lo que vende es lo contrario.

 

 

 

 

Tecnociencia

 

Los amantes de la divulgación científica estamos de enhorabuena.

Ha nacido Tecnociencia. Se trata de un periódico gratuito de ciencia y tecnología en formato PDF que no puede pasar inadvertido. Dirigido por Jorge Riz Morales,  con María González como redactora jefe y con el arqueólogo  Alfonso López Borgoñoz ; temas como biología, meteorología, informática y astronomía estarán presentes en la web con una calidad de la que el número uno es buena muestra.

Y es que todo está en la web. Todo lo bueno, todo lo malo y todo lo mediocre. Es cuestión de elegir bien...y esto es algo más difícil que manejar el google. 

Technorati

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Demostración topológica de la infinitud de los primos (y 2)

Cumplamos con lo prometido en el post anterior.

Habíamos demostrado dos propiedades importantes en la topología en la que estábamos trabajando:

1.- Todo abierto no vacío es infinito

2.- Todo conjunto de la forma Z_a,b es cerrado, además de abierto.

Según esto, nada nos costará convencernos de que el conjunto formado por los puntos 1 y -1; B={-1,1} no puede ser abierto: es un conjunto finito (sólo tiene dos elementos), y todo abierto diferente del vacío es infinito según la propiedad 1.

Por otro lado, estos dos enteros (el -1 y el 1) son los únicos con los que nos quedaríamos si al conjunto Z le vamos quitando conjuntos de la forma Z_0,p con p, primo mayor que la unidad. En efecto, cada Z_0,p no es sino el conjunto de los múltiplos del primo p, con el cero incluido. Recorriendo todos los primos está claro que nos llevamos todo el Z excepto precisamente los dos puntos citados -1 y 1.

Ahora bien, todos los citados Z_0,p son cerrados por la propiedad 2, y si efectuamos una suma finita de cerrados, seguimos teniendo un cerrado. La única forma de mantener la posibilidad de que {-1,1} no sea abierto es que la unión de todos los Z_0,p no sea cerrada; y para que esto ocurra es necesario que la unión sea infinita. (Recordemos que la unión de infinitos cerrados sí puede ser abierta).

A riesgo de ser repetitivo, y para que se entienda bien, lo volvemos a explicar: si el conjunto de primos fuera finito, entonces la suma de todos los Z_0,p sería un cerrado, y {-1,1}, por ser complementario de un cerrado, sería un abierto; en franca contradicción de la propiedad 1, que nos asegura que {-1,1} no puede ser abierto por ser finito diferente del vacío.

Luego el conjunto de los números primos es infinito.

Es sorprendente la manera que tienen los números primos de entrar en este discurso. En todo el post anterior no hicieron acto de presencia, y ahora , de un plumazo los tenemos encima. ¿No podríamos haber hecho lo mismo con conjuntos N_0,p en los que p no fueran precisamente primos?

Algún lector se anima a responder a esta pregunta?

Demostración topológica de la infinidad de los primos (1) .

Esto fué para mi una enorme sorpresa. Debo decir que mi capacidad de sorpresa es grande, debido quizás a la vastedad de mi desconocimiento. Invocar a la topología para demostrar que son infinitos los números primos me parece un ejemplo exquisito de lo que perseguimos con esta serie de post y que venimos repitiendo desde el inicio de la serie: la sensación de que "todo cuadra", de coherencia interna de la matemática nos produce una sensación de plenitud.

EN 1.955 Harry Fürstenberg, un matemático de la Universidad Hebrea de Jerusalén sorprendió al mundo matemático con esta demostración topológica de la infinitud de los números primos.

El propósito de los dos posts siguientes es explicarlo todo de una forma pormenorizada. Recuerden que esto es un paseo, no una escalada. Cualquiera de las demostraciones aquí citadas cabe en dos renglones...pero este no es un blog para matemáticos, sino para paseantes, de modo que disminuiremos la pendiente a costa de alargar el recorrido.

Como ya saben, (y si no lo saben, consulten aquellos post de hace año y medio en los que hablábamos de topología), una topología sobre un conjunto parte de la consideración de ciertos subconjuntos como subconjuntos distinguidos. El motivo de la distinción es arbitrario mientras se cumplan tres propiedades que el desarrollo histórico de la matemática ha demostrado que eran las justas para conseguir lo que se pretendía.

Esas tres propiedades son:

1.- El conjunto vacío es un subconjunto distinguido.

2.- La intersección finita de subconjuntos distinguidos es un subconjunto distinguido

3.- La unión arbitraria de subconjuntos distinguidos es un subconjunto distinguido.

A estos conjuntos distinguidos se les llama abiertos, si bien podríamos haber seguido llamándolos distinguidos, topológicos o verdinegros; poco importa el nombre.

Aunque las nociones topológicas están íntimametne unidas a las nociones de continuidad, y éstas a las de los conjuntos continuos (en oposición a los discretos), podemos definir una topología sobre cualquier conjunto imaginable. Concretamente sobre el conjunto Z de los enteros. Hagámoslo.

Para cada par de enteros (a,b) de Z, definimos el conjunto

Z_{a, b} = {a + kb | k pertenece a Z}

Cada uno de estos conjuntos no es sino una sucesión de doble dirección (infinita hacia ambos lados), con un elemento igual a a, y a partir de él sumando y restando de b en b hacia +∞ y hacia -∞.

Pues bien; llamaremos abierto a un A subconjunto de Z si se dan alguna de estas dos circunstancias:

1.- A es el conjunto vacío

2.- Para cada a de A existe un b>0 tal que Z_{a, b} pertenece a A.

La segunda merece una pequeña reflexión: ¿qué quiere decir exactamente?

Veámoslo con un conjunto Z_{a, b} concreto, por ejemplo Z_{2, 7} .Tenemos que

Z_{2, 7} ={...,-12, -5, 2, 9,16, 23, 30, ...}

Tomando cualquier a número de Z_{2, 7,} vemos que cualquier b múltiplo de 7 el que necesitamos para que Z_{a, b} esté incluido en Z_{2, 7}. Así pues, todo conjunto de la forma Z_{a, b} es un abierto.

Si tuviéramos un subconjunto de Z formado por la unión de un número indeterminado de conjuntos del tipo Z_{a, b} entonces también se cumpliría la segunda propiedad, porque dado un a_i de dicho conjunto, bastaría encontrar el valor de b_i correspondiente según el conjunto Z_ai,bi .

Poco cuesta convencerse de que esta definición de conjuntos abiertos cumple las tres propiedades de los "conjuntos distinguidos" que mencionábamos más arriba. Por lo tanto, forman una topología sobre Z.

Llegados a este punto, debemos fijar nuestra atención en dos propiedades que cumplen los abiertos de esta topología:

1.- Todo abierto distinto del vacío es infinito.

2.- Todo abierto de la forma Z_{a, b} también es cerrado.

La primera es evidente dada la definición de abierto dada al principio. Para la segunda debemos apoyarnos en el hecho de que un Z_{a, b} no es sino el conjunto Z completo ¡al que se le han quitado los elementos sobrantes, y que dichos elementos sobrantes pueden expresarse como nuevos conjuntos de la forma Z_{a, b} . Lo vemos en la ilustración siguiente con un ejemplo, y luego generalizamos:

Dado que la unión de abiertos es un abierto, vemos claramente que todo Z_{a, b} es el complementario de un abierto, y por ello es un cerrado.

Si están preguntándose qué leches tiene que ver todo esto con la infinitud de los números primos, tendrán que esperar al siguiente post. Créanme: tenemos ya todos los ingredientes para hacerlo en dos renglones.

¿Me esperan?

Cuarta demostración de la infinitud de los números primos (2)

Viene de aquí_

Estamos intentando demostrar que los primos son infinitos en base a demostrar la divergencia de la suma de sus inversos, siguiendo los pasos del gran Euler. Lo estamos haciendo pasito a pasito,ocupando dos posts extensos donde estrictametne hablando sólo son necesarias unas pocas líneas. Lo hacemos con la esperanza de hacer asequible a más personas un paseo matemático de cierto nivel. Espero que el resultado sea provechoso.

Recordemos que en el post anterior habíamos llegado a la siguiente fórmula:

Tomamos logaritmos a ambos lados de la expresión anterior:

Ahora nos conviene sustituir la función log(1-x) por su desarrollo en serie de Taylor; donde x = 1/p^s < 1/2.  Haciendo dicha sustitución y englobando los términos a partir del segundo en un resto R(1/p^s) ≈ O(1/p^s₎2 obtenemos:

Hagamos s→1. El primer término del segundo miembro es el logaritmo de la serie armónica y por lo tanto es infinito. El segundo término está sin embargo acotado en virtud del orden cuadrático del resto, por lo tanto la suma total es infinita, y de ello deducimos que el primer miembro, que no es sino la suma de los recíprocos de los primos, también es infinita.
Evidentemente esto sólo puede ocurrir si el número de primos es a su vez infinito.

A modo de nota al margen, la posible convergencia de esta suma de recíprocos no hubiera demostrado la finitud de los primos, mientras que la implicación contraria está clara. Un caso de este estilo es el que ocurre con los primos gemelos, que son aquellos primos que distan dos unidades, como el 3 y el 5. Se sabe que la suma de sus recíprocos es convergente, pero aún se desconoce si existen infinitos de ellos. En su día hablamos de ello aquí

En los próximos días hablaremos de otra demostración de lo mismo (de momento la última). Esta es verdaderamente sorprendente, porque utiliza argumentos exclusivamente topológicos (¿Me lees, Lola?).

Al igual que ésta, la desmenuzaremos hasta el límite, necesitando para ello otros dos post. Espero que el paseo les resulte agradable.

Cuarta demostración de la infinitud de los números primos (1)

Vamos dar otra vuelta de tuerca a las demostraciones de la infinitud de números primos. Esta vez utilizaremos herramientas más analíticas, sumergiéndonos en la teoría de series. Mucho hemos hablado de las series a lo largo de casi tres años de vida del blog, y en parte nos apoyaremos en lo dicho. A diferencia de la mayor parte de los posts de Tio Petros, éste requiere unos ciertos conocimientos previos: la suma de los infinitos términos de una serie geométrica, y el teorema de Taylor.

Se trata de demostrar algo incluso más fuerte que la infinitud de los números primos: la convergencia de la suma de sus inversos. (¿Porqué esta convergencia decimos que es más fuerte?)

La primera demostración de esta convergencia fue dada por Euler y es básicamente la que presentamos aquí.

Dado que la afirmación es mucho más fuerte que la mera finitud de los primos, será un poco más difícil, pero este es un paseo que podemos hacerlo hasta el final, si tienen la paciencia de acompañarme. 

En su día hablamos largo y tendido sobre la divergencia de la serie armónica aquí y aquí con la demostración que los Bernoulli ofrecieron de este importante resultado de teoría de series, y aquí dimos una demostración moderna y pormenorizada.

No es nada trivial el hecho de que la suma infinita de los inversos de los naturales (serie armónica) sea divergente. De hecho, la suma crece con desesperante lentitud. Sin embargo, podríamos preguntarnos, una vez sabido que diverge, qué cantidad de sumandos podríamos eliminar sin que cambiara la condición de serie divergente. La respuesta es paradójica: si mantenemos uno de cada n, por muy grande que sea n, la suma seguirá siendo infinita (¿comprende el lector el porqué?).

Así pues, debemos eliminar más elementos que todos excepto uno de cada n. Bastaría por ejemplo dejar tan sólo los de los puestos n² -ésimos. Dejar sólo estos es dejar menos que uno de cada n, porque al tener una función cuadrática, se va volviendo mucho más "enrarecida" que cualquier función lineal.

¿Y si dejamos sólo los primos? Al fin y al cabo, los primos se hacen cada vez más raros, parecido a los n² -ésimos números naturales. El resultado nada trivial es que la serie que queda al quitar todos los no primos sigue siendo divergente a infinito: la rareza de primos dentro de N es suficiente para dar la divergencia.

Nuestra próxima misión será demostrarlo.

Euler estaba trabajando con la función que muy posteriormente se llamaría función zeta de Reimann, que no es sino esta:

 

 

Tras su engañosa simplicidad se esconde el que fué catalogado como más complejo de los objetos matemáticos, antes de que los fractales y algunos otros conceptos más modernos le quitaran el honor. Aquí narramos en su día que hallar el valor de esta función para s=2 fué un logro sólo al alcance de una mente como la de Euler, y aquí contamos pormenorizadamente cómo lo consiguió.

Fué también el príncipe de los matemáticos el que descubrió una insospechada conexión entre la función zeta y los números primos, conexión que utilizó para demostrar, en un alarde de ingenio sin par que la serie de los inversos de los primos diverge.

La conexión encontrada es la siguiente:

 

Intentaremos a continuacón desmenuzar esta afirmación (pues de eso se trata: de una afirmación). Los miembros primero y segundo son simplemente la definición de la función zeta. El tercero es una definición alternativa. Mientras que en la definición original tenemos un sumatorio extendido a los números naturales, en el segundo tenemos un producto extendido sólo a los primos. ¿Cómo puede afirmarse que ambos términos son iguales? ¿Qué tipo de extraña sustitución algebráica hay que efectuar para pasar del dominio de los naturales al dominio de los primos?

No se trata de ningún manejo mecánico de álgebra, sino que es una finta genial. Para empezar, trabajemos un poco con el término tras el símbolo del producto. Tenemos :

 

Efectivamente, la fracción dada nos está diciendo el valor de la suma de una serie geométrica de primer término unidad y razón 1/p^s. Así pues el producto infinito, si ya no tenía buena pinta, ahora la tiene peor:

 

 

cada uno de los infinitos productos es a su vez una suma infinita. Esta aparente complicación será la que, paradójicamente , ¡nos resolverá la cuestión!

Este producto infinito de sumas infinitas será igual a infinitos sumandos seguidos. ¿Cómo se forma  cada sumando? Pues tomando un término del primer paréntesis, otro del segundo, y así hasta el infinito y efectuando el producto. Elegir un término de cada paréntesis equivale a elegir un exponente para cada posible número primo, pues cada paréntesis se refiere al primo k-esimo, y cada término se refiere al exponente. Si no queremos ningún exponente para el k-ésimo primo elegiríamos el sumando unidad del paréntesis correspondiente. Así pues, obtenemos siempre una ristra de primos diferentes, cada uno de ellos elevado a un múltiplo negativo de s. En suma: obtenemos un número natural cualquiera elevado a -s. Dado que cada natural se expresa de una única forma como una combinación de primos con determinados exponentes, y cada combinación de primos con determinados exponentes expresa un único natural, concluimos sin necesidad de hacer más operaciones que la intuición de Euler debe ser necesariamente correcta, y que

 

 

Una pequeña sustitución algebráica nos dejará nuestra ecuación de la forma más conveniente para lo que viene después:

Quedando definitivamente:

 

 

Donde el producto recorre los primos y el sumatorio todos los naturales.

Tenemos todo el puzzle montado. Sólo falta la puntilla, y la daremos en el siguiente post. Pero eso será la semana que viene. Feliz fin de semana a todos los lectores de Tio Petros.

 

 

Tercera demostración de la infinitud de los números primos

Vamos a por la tercera forma diferente para demostrar la infinitud de los números primos. Esta vez recorreremos un sendero completamente diferente. Nos basaremos en los números de Fermat, tocando para ello otro de los tópicos más queridos de los amigos de la teoría de números.

Los números de Fermat son enteros que se expresan así:

F_n = 2²ⁿ +1 ; n=0,1,2,...

Los primeros números de Fermat son: 3,5,17,257,65537,... y como es de esperar, crecen a un ritmo vertiginoso.

Demostraremos que dados dos números de Fermat F_{m y} F_n cualesquiera, ambos son siempre primos entre sí (lo que quiere no decir que ambos sean primos, sino que no tienen divisores comunes).Para hacerlo, demostraremos la siguiente relación de recurrencia (absolutamente inesperada y sorprendente, al menos para un mortal como quien esto escribe):

F₀ · F₁ · F₂ · _... · F_n-1 = F_n - 2

 

Fíjense lo rápido que crecerá la progresión si cada término es tan sólo dos unidades menor que el producto de todos los anteriores!

Demostraremos esta barbaridad por inducción. Si recuerdan, hablamos claro y tendido de este tema aquí .

Para n=1 la cosa es trivial:

F₀ = F₁ -2 se demuestra cierto por simple comprobación de que F₀ =3 y F₁ = 5

Supongamos cierta para n-1, e intentemos demostrarlo para n, en cuyo caso la inducción estará completa.

F_0·F₁·F_2·...·F_n = (F_0·F₁·F_2·...·F_n-1 )· F_n = (F_n-2) · F_n =

=(2²ⁿ +1 - 2 )·(2²ⁿ +1) = (2²ⁿ -1) · (2²ⁿ +1) =

= (2²ⁿ⁺¹ - 1) = F_n+1 - 2

Con lo cual queda demostrada la recurrencia original F_0·F₁·F_2·...·F_{n-1 =} F_n - 2

¿Cómo nos puede servir este resultado para nuestros propósitos? Debemos fijarnos que a la izquierda de la fórmula de recurrencia tenemos simplemente el producto de todos los números de Fermat menores que F_n , y a la derecha tenemos un número necesariamente impar. Efectivamente F_n - 2 = 2²ⁿ +1 - 2 = 2²ⁿ - 1, que es necesariamente impar.

Por lo tanto, todos los factores que componen los números de Fermat son impares.

Ahora, de la relación de recurrencia se sigue inmediatamente que ningún número de Fermat F_k es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Sólo podría ser divisible por el 2, pero hemos visto que todos ellos son impares, luego eso no se puede dar. Entender esto puede albergar algúna dificultad, pero es perfectamente salvable. Viendo la fórmula de recurrencia que ahora hemos demostrado cierta, un número de Fermat podría parecer divisible por dos (sabemos que no lo es por el razonamiento arriba indicado), preo si lo fuera, el número una vez dividido quedaría algo como así:

F₀·F₁·F₂·...·F_n-1 + 2 ₌ F_n

F₀ · ... · F_i /2· ... · F_n-1 + 1 ₌ F_n /2

Donde uno de los factores (el i-ésimo, el que era supuestamente par) ha sido dividido por 2. Ahora vemos que no podemos seguir dividiendo por ninguno de los factores restantes, porque siempre obtendremos un 1 de exceso como resto. De ello se deduce que, dados dos números de Fermat, o tienen el 2 como divisor común, o no tienen ninguno. dado que sabemos que son impares, queda aclarada la cuestión.

Así pues, cada número de Fermat aporta divisores primos nuevos a la lista, nunca aportados por sus antecesores, y como la lista de números de Fermat es infinita ( ¡hay un F_n para cada n natural!), se sigue que la de primos también lo es. Con esto termina la tercera demostración de infinitud de los primos.

Debemos constatar que en ningún sitio se ha dicho que los propios números de Fermat deben ser primos. Tan sólo nos basta que sean primos entre sí.

De hecho, Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran primos, pero Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que siendo número de Fermat , no es primo.

A diferencia del segundo método del post anterior, que necesitaba ciertos conocimientos de teoría de grupos, éste es totalmente elemental en el sentido de que sólo necesita machacar números. Conviene recordar algo que hemos repetido hasta la saciedad en este blog: en matemáticas la palabra elemental y la palabra fácil son conceptos totalmente diferentes. De hecho, es muy habitual encontrarse con demostraciones elementales dificilísimas. Erdös era un maestro en este arduo campo...