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Tio Petros

Magia euleriana

Pasamos a explicar lo prometido: cómo consiguió Euler demostrar que la serie de los inversos de los cuadrados perfectos convergía a pi cuadrado sextos



Euler empezó con el desarrollo en serie de la función seno. Hay que hacer notar que un desarrollo en serie NO es un polinomio. Un polinomio tiene un número finito términos. Una función seno es una función trascentente , y nunca podría ser expresada como un polinomio.



La audacia de Euler consistió en tratar esta serie como si de un polinomio se tratara. Llamó P(x) a la serie que expresa la función (sen x )/x,


_____________________ECUACION (1) ________________

Los valores para los cuales esta función se anula son los mismos que los valores para los cuales se anula la función seno, habida cuenta de que el límite de P(x) cuando x tiende a cero es la unidad, como es sabido.



La audacia está en el paso siguiente: ya que tenemos las raíces de P(x)=0, factoricemos como si estuviéramos ante un polinomio corriente:



Ahora utilizando el rollo aquel de (a+b)(a-b)=a2- b2, podemos agrupar los factores de dos en dos, obteniendo lo que sigue:


_____________________ECUACION (2) __________________

Vemos que la serie que represente a P(x) la podemos expresar de dos formas: como la suma de una serie de potencias pares de x, ECUACION (1) y como el producto de una serie de factores todos ellos con x elevado al cuadradoECUACION (2) .

Según la primera de las maneras, el coeficiente de x2 vale –1/3! ; y según la segunda, el coeficiente de x2 proviene de multiplicar todos los primeros miembros de los factores (siempre el 1) menos uno, por el segundo miembro de cada uno de los factores, y luego sumar todas las posibilidades. Igualando los coeficientes de x2 en ambas expresiones, obtenemos:



Lo que nos lleva irremisiblemente a

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23 comentarios

Jimmy -

Magnifica forma de demostrar, sobre el radio de convergencia est aclaro por el polinomio de Taylor que lo asegura para R. Muy buena demostracion. Pero creo que Gauss tambien es tan brillante como Euler.

Miguel -

necesito la suma de al serie X^N/N^2
No se calcular integral de -ln(1-x)/x

Ivan Noboa -

¿La función para sin(x) no es una de las llamadas series de McCalurin?, me lo podrían ratificar.

discipulodegauss -

y por que lo que se factoriza de cada factor 'desaparece'.

Juan Carlos Ortega -

Popularizar las matemáticas me parece que es el primer paso para abandonar de una p. vez la edad del fuego. Sin embargo, suelo ocuparme de los fundamentos porque dan la seguridad y confianza en las demostraciones (por lo común) que un excéptico como yo exige. Sin duda, Euler hizo un buen trabajo; pero me quedo con la duda de si la función seno admite el desarrollo en serie del que se parte. A pesar de todo, pienso que este blog es la caña. Para quitarse el sombrero, vamos.

japa -

Par igualar las ecuaciones 1 y 2 debmos suponer que el radio de convergencia del desarrollo en serie es infinito ya que en la factorización hay raices que tienden a infinito ¿correcto? ¿Si esto es así como comprobamos el radio de convergencia de la serie?

rioduero -

Acabo de leer en detalle todos los comentarios al desarrollo de marras y no se ha contestado que: en una ecuación polinómica de una variable, grado 'n', la suma de los inversos de las raíces vale el coeficiente de 'x' cambiado de signo (el t. independiente vale 1). Creo que esto ayudará o otros que no recuerden tal relación, pq si no, no está nada claro.
Me enorgullezco de tener esta web en mente como la número uno. Tío Petros no nos abandones.

rioduero -

Soy mero aficionado, pero me ha llenado de emoción la carga 'poética' que encierra esta demostración de Euler. Ya conocía yo la seña pero vosotros me habéis enseñado el santo. ¡quién había de ser! ¡Euler! ¡Genial Euler!
Gracias, Tío Petros por esta web. José.

TioPetros -

Eso es una de las "melodías indias" de Ramanujan. Ya hablaremos de él. Inconcebible, verdad?

jose -

Yo venero de forma especial a Ramanujan.
Miren esto y lloren:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/07-1-b-b.gif

Granrabo -

Según la mayoría de libros que he leído, se dice que Newton fue el mayor genio científico de todos los tiempos. Y que Euler fue el mayor matemático.
A mí lo que más me fascina es lo que a todos, que el circulo esté "metido" indirectamente en una ecuación que no tiene (aparentemente) nada que ver con círculos. La verdad es que es intrigante. Supongo que el círculo estará en alguna parte de esta fórmula, escondido, aunque sea de manera muy inderecta.

TioPetros -

Crystal: Euler era, sin duda uno de los más grandes. Bajo su sombra, todo parece tener sentido...

Crystal -

Euler acaba de convertirse en mi nuevo ídolo, me he quedado con la boca abierta 10 min.!! Todo parece tan sencillo ahora... :)

El Gaviero -

Muchas gracias. Me confundia la forma de factorizar utilizando los inversos de las raices. Ahora ya lo entiendo.

El Gaviero -

Tengo las matematicas un poco oxidadas y visito el blog porque, a pesar del oxido, son apasionantes.
Mi problema es que me pierdo con lo de la factorizacion del polinomio usando sus raices. ¿alguien me lo explica?

TioPetros -

hmm: a que da gustito cuando, de improviso se hace la luz en la mente y uno lo ve todo claro?

hmm -

Ahora si, se saca el factor común de la serie y se despeja "la serie" (-1/3!)/(-1/pi^2).
Thx!

jose -

(en los libros, quiero decir)

jose -

¡Por fin! Ayer me pasé la tarde en la biblioteca intentando hallar la suma xD

BitFarmer -

El ultimo paso, para verlo mas claro, hazlo en dos pasos:

Primero saca del parentesis -1/PI2 porque es factor comun de todos los sumandos, asi, dentro del parentesis te queda:

(1+1/4+1/9...)

Y esto es justo el sumatorio dle final, fijate 4=2 al cuadrado, etc.

BitFarmer -

En dos palabras: imp prezionante.

Muchos dirian sin pensar que Einstein fue el mas listo de la historia, pocos diran que fue Euler: No hay justicia en este mundo!

hmm -

Yo no entiendo el último paso. Puede que sea porque soy un poco corto. Hacia donde converge la serie 1/i^2 y por qué en la última imagen no aparece -1/pi^2 y ala, irremisiblemente el resultado da el esperado 8). Creo que me interesa más la vida de los hombres que estudian las matemáticas que las propias matematicas ;). Saludos

elMelómano -

No me gustan las Matemáticas. Prefiero el Latín.
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