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Tio Petros

Siete colores sobre un toro

Siete colores sobre un toro Hemos hablado varias veces sobre el Teorema de los cuatro colores.Decíamos que era un ejemplo clásico de dificultad de demostración matemática, aunque el enunciado era entendible por todo el mundo:

Bastan cuatro colores para colorear cualquier mapa plano o esférico de forma que dos regiones con frontera común sean de color diferente.

Nunca se podrá encontrar un mapa que necesite más colores.

¿Qué sucede si el mapa no está sobre un plano o esfera, sino sobre una superficie toroidal?

Imaginen un poliedro de Szilassi real, construido con un material elástico. Imaginen que vamos inyectando aire para hinchar el poliedro. Poco a poco sus caras planas se irán curvando por la presión del aire interno; los vértices irán perdiendo su agudeza, haciéndose cada vez más romos. Las aristas también se irán curvando y al final, suponiendo que el material aguante, tendremos un toro hinchado: como un donut o un neumático.

Si a priori teníamos cada una de las siete caras pintadas de un color, ahora tendremos un toro, como un neumático de siete colores. Cada una de las primitivas caras del poliedro se han convertido en un región del toro, con las formas cambiadas; y sin embargo mantienen sus propiedades esenciales: cara región tiene frontera común con las otras seis, pues el poliedro de Szilassi tenía esta propiedad: cada pareja de caras tenía una arista común, convertida ahora en frontera entre dos regiones.

Nos es ahora completamente evidente que con menos de siete colores es imposible colorear el toro. Eso no quiere decir que no haya (que las hay) mapeados de regiones que hagan posible el coloreado con menos colores; pero hemos hallado una división de la superficie del toro imposible de colorear con menos de siete colores.

Es sorprendente que una superficie sólo un poco más complicada que una esfera tenga un número cromático casi el doble que ésta.

He leído por ahí que esta reflexión es una demostración de que el número cromatico del toro es siete, pero no estoy de acuerdo. Es cierto que siete es el número cromático del toro, pero con nuestro ejemplo hemos dado una cota inferior para el mismo: no puede ser menor de siete.
Sabemos también que no puede existir un poliedro con un agujero que tenga más de siete caras si queremos que cada par de caras tenga frontera común con todas las demás, pero en principio pudieran existir poliedros de ocho o más caras que, sin exhibir conectividad completa entre las caras, la tengan suficientemente alta como para necesitar más de siete colores. No obstante, es mucho más fácil demostrar convenientemente el Teorema de los siete colores en un toro que el Teorema de los cuatro colores en un plano.

Es bastante misterioso, pero cierto que en topología a veces es muy fácil demostrar afirmaciones para espacios topológicos enrevesados, mientras que las demostraciones para los sencillos es endiablada, cuando no desconocida. Lo mismo sucede con el número de dimensiones de los espacios topológicos: hay afirmaciones que no ofrecen problema alguno en 20, 30 ó 500 dimensiones, mientras que en tres o cuatro son hoy por hoy imposibles. Esto hace que una de las ramas más difíciles del asunto se denomine precisamente topología de baja dimensión.

Por cierto; un toro (rumiante) es topológicamente equivalente a una esfera, y por lo tanto bastarían cuatro colores.(1)

(1) Si obviamos la existencia de tubo digestivo, porque en caso contrario es equivalente a un cilindro hueco; que a su vez es equivalente a un toro; esta vez en el sentido geométrico de la palabra...
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9 comentarios

Tadalafil -

Yo he intentado analizar el teorema de los cuatro colores pero es un poco complejo, necesito que me expliques mas.

Juan Miguel Taboada -

O aquí:
http://www.fibranet.org/contenidos/apuntes/buscador.php?tipo=documento&id=76

Juan Miguel Taboada -

Para el teorema de los cuatro colores teneis una demostración muy sencilla y fácil de entender en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Colorear_un_mapa_con_4_colores

Un saludo,

inwit -

Vale, en la nota (1) has acabado demostrando que ¡¡un toro es igual a un toro!! ¿Cuál de los dos toros recibió su nombre del otro? :-D

Asier -

Es off-topic, pero gracioso..

El último comentario que has puesto -equivalencia topológica entre un toro y una esfera- me ha recordado un viejo chiste sobre cómo calculan el volumen de una vaca un matemático, un físico y un ingeniero. :)

jose -

Esta vez sí que no he pillado ni papa. Tendré que releermelo otra vez (otra? snif) a ver qué pasa... en realidad no se ni de qué va el post... ç_ç

rimblow -

Muy interesante, y como bien dices mientras más nos aproximamos a la unidad más nos cuesta llegar a ella... Un saludo...

Tio Petros -

Hola Shunt.
Un plano y una esfera NO son topológicamente equivalentes.
Sin embargo, el número cromático, que es un invariante topológico, coincide en ambas superficies.
Esto no es nada extraño: dos superficies equivalentes deben tener todos sus invariantes topológicos iguales, pero dos superficies no equivalentes no tienen porqué tenerlos todos distintos.
Concretamente, la esfera y el plano son "casi" equivalentes. Basta con eliminar un punto de la esfera; o añadir un punto al plano (compactificación de Alexandrov, creo recordar).

Shunt -

Interesante, gracias por las explicaciones.
Pero, ¿por qué son equivalentes un plano y una esfera?
¿Porque un plano es una esfera de radio infinito?
¿Cómo sería un toro infinito?
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