Independencia ( y 2)
En el post anterior no hay trampa alguna. Las variables aleatorias X1 y X2, que indicaban el sexo del primer y del segundo hijo son realmente independientes. El sexo de cualquiera de ellos no influye para nada en el sexo del otro. Lo que ocurre es que cuando decimos que al menos uno de ambos es chica erróneamente pensamos que estamos hablando de alguna de estas dos variables aleatorias independientes, y eso no es así. Comprender esto es básico para entender lo que sigue.
Vamos a verlo pausadamente. Definimos una variable aleatoria nueva, que llamaremos Y definida así:
Y= X1+ X2
Los valores de Y que podemos encontrar en nuestro matrimonio son 0,1 y 2. (Recordemos que cualquiera de las X valía 0 si el correspondiente hijo era varón y 1 si era hembra. Y no es más que el número de hembras que tiene la pareja.
El suceso {alguno de los hijos es chica} es exactamente el suceso {Y es mayor o igual que 1}. El suceso {la otra también es chica} es exactamente el suceso {Y=2}.Tan sólo ver la definición de Y , y comprobar que las dos variables X están presentes en dicha definición, vemos claro que no es independiente de las mismas. Repetimos una vez más: las variables X1 y X2 son independientes entre sí, pero la Y depende de ambas.
Cuando tenemos un conocimiento parcial de qué es lo que ocurre, como en nuestro caso (sabemos que al menos una es chica), las probabilidades se reajustan a dicho conocimiento, siempre que el suceso estudiado no sea independiente de esa nueva información. Hablaremos entonces de probabilidades condicionadas, porque están condicionadas a un conocimiento parcial que poseemos, o que suponemos conocido. Lo expresamos matemáticamente mediante una barra vertical que por misterios informáticos no puedo poner aquí, de forma que usaré la barra(/), que no deberemos confundir con una división.
Diremos entonces:
P( x1/ x2)= P( x1)
P( x2 / x1)= P( x2)
¿Qué quiere decir esto? Pues muy sencillo: las probabilidades de x2 conocidos los valores de x1 son las mismas que sin tener en cuenta a x1 para nada. Eso ya lo sabíamos: que el primer hijo sea chico o chica no condiciona para nada el sexo del segundo.
Diremos que dos variables aleatorias A y B son independientes si y solo si
P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B)
¿Y en nuestro problema, qué es lo que ocurre? Pues ocurre que nos estamos preguntando por la probabilidad del suceso {Y=2} condicionado a que ocurre el suceso {Y es mayor o igual que 1}. Nadie podría esperar independencia de una variable respecto a un conocimiento parcial de la misma variable, ¿verdad?
Veamos cómo afecta este conocimiento:
Los valores posibles de Y (número de chicas) era 0,1, ó 2, con las siguientes probabilidades:
P(Y=0) = 0.25 (una posibilidad entre cuatro: primer hijo chico y segundo también)
P(Y=1) = 0.5 (dos posibilidades entre cuatro: primer hijo chico y segundo chica y viceversa)
P(Y=2) = 0.25 (una posibilidad entre cuatro: primer hijo chica y segundo también).
Al saber que una al menos es chica, sabemos que Y no puede valer cero, luego la probablidad total se debe redistribuir entre los dos sucesos restantes, {Y=1} y {Y=2}. Antes de dicho conocimiento, estos dos sucesos sumaban el 75% de la probabilidad total, ahora suman el 100%, pues hemos descartado la posibilidad {Y=0}. Técnicamente diremos que el conocimiento parcial del asunto nos ha disminuido el espacio muestral, y debemos reasignar probabilidades a los sucesos.
Si la suma que antes era el 75%, ahora se ha ampliado hasta el 100%, por una simple regla de tres podemos comprobar que las probabilidades para los sucesos {Y=1} y {Y=2} quedan del 66,66% y del 33,33% respectivamente.
Volvemos a obtener que es el doble de probable que el otro hermano sea chico (suceso {Y=1}) que chica (suceso {Y=2})si sabemos que uno de ellos al menos es chica. Como sabíamos por el post anterior.
Ya ven, al final todo se entiende (¡espero!), pero para nosotros los humanos es mucho más fácil reconocer incluso por teléfono la voz de un amigo que no hemos oído hace años que estimar intuitivamente de forma correcta las probabilidades de un suceso tan simple como éste. Sin embargo, la correcta estimación de probabilidades, como decía en el post anterior, tiene evidentes ventajas para la supervivencia. ¿Porqué no hemos sido mejor dotados para ello?
No tengo ni idea.
Vamos a verlo pausadamente. Definimos una variable aleatoria nueva, que llamaremos Y definida así:
Y= X1+ X2
Los valores de Y que podemos encontrar en nuestro matrimonio son 0,1 y 2. (Recordemos que cualquiera de las X valía 0 si el correspondiente hijo era varón y 1 si era hembra. Y no es más que el número de hembras que tiene la pareja.
El suceso {alguno de los hijos es chica} es exactamente el suceso {Y es mayor o igual que 1}. El suceso {la otra también es chica} es exactamente el suceso {Y=2}.Tan sólo ver la definición de Y , y comprobar que las dos variables X están presentes en dicha definición, vemos claro que no es independiente de las mismas. Repetimos una vez más: las variables X1 y X2 son independientes entre sí, pero la Y depende de ambas.
Cuando tenemos un conocimiento parcial de qué es lo que ocurre, como en nuestro caso (sabemos que al menos una es chica), las probabilidades se reajustan a dicho conocimiento, siempre que el suceso estudiado no sea independiente de esa nueva información. Hablaremos entonces de probabilidades condicionadas, porque están condicionadas a un conocimiento parcial que poseemos, o que suponemos conocido. Lo expresamos matemáticamente mediante una barra vertical que por misterios informáticos no puedo poner aquí, de forma que usaré la barra(/), que no deberemos confundir con una división.
Diremos entonces:
P( x1/ x2)= P( x1)
P( x2 / x1)= P( x2)
¿Qué quiere decir esto? Pues muy sencillo: las probabilidades de x2 conocidos los valores de x1 son las mismas que sin tener en cuenta a x1 para nada. Eso ya lo sabíamos: que el primer hijo sea chico o chica no condiciona para nada el sexo del segundo.
Diremos que dos variables aleatorias A y B son independientes si y solo si
P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B)
¿Y en nuestro problema, qué es lo que ocurre? Pues ocurre que nos estamos preguntando por la probabilidad del suceso {Y=2} condicionado a que ocurre el suceso {Y es mayor o igual que 1}. Nadie podría esperar independencia de una variable respecto a un conocimiento parcial de la misma variable, ¿verdad?
Veamos cómo afecta este conocimiento:
Los valores posibles de Y (número de chicas) era 0,1, ó 2, con las siguientes probabilidades:
P(Y=0) = 0.25 (una posibilidad entre cuatro: primer hijo chico y segundo también)
P(Y=1) = 0.5 (dos posibilidades entre cuatro: primer hijo chico y segundo chica y viceversa)
P(Y=2) = 0.25 (una posibilidad entre cuatro: primer hijo chica y segundo también).
Al saber que una al menos es chica, sabemos que Y no puede valer cero, luego la probablidad total se debe redistribuir entre los dos sucesos restantes, {Y=1} y {Y=2}. Antes de dicho conocimiento, estos dos sucesos sumaban el 75% de la probabilidad total, ahora suman el 100%, pues hemos descartado la posibilidad {Y=0}. Técnicamente diremos que el conocimiento parcial del asunto nos ha disminuido el espacio muestral, y debemos reasignar probabilidades a los sucesos.
Si la suma que antes era el 75%, ahora se ha ampliado hasta el 100%, por una simple regla de tres podemos comprobar que las probabilidades para los sucesos {Y=1} y {Y=2} quedan del 66,66% y del 33,33% respectivamente.
Volvemos a obtener que es el doble de probable que el otro hermano sea chico (suceso {Y=1}) que chica (suceso {Y=2})si sabemos que uno de ellos al menos es chica. Como sabíamos por el post anterior.
Ya ven, al final todo se entiende (¡espero!), pero para nosotros los humanos es mucho más fácil reconocer incluso por teléfono la voz de un amigo que no hemos oído hace años que estimar intuitivamente de forma correcta las probabilidades de un suceso tan simple como éste. Sin embargo, la correcta estimación de probabilidades, como decía en el post anterior, tiene evidentes ventajas para la supervivencia. ¿Porqué no hemos sido mejor dotados para ello?
No tengo ni idea.
19 comentarios
Pepeluche -
manuel -
ALEJANDRO -
oscar a mendoza -
SuperJoanet -
JuanPablo -
Ahora, podés obtener cualquier resultado intermedio ('conviene cambiar el x% de las veces') según el porcentaje de veces que el presentador te da la oportunidad sabiendo que te has equivocado.
[Quique] -
Tio Petros -
[Quique] -
Por otro lado, respecto al problema de Monty Hall, no se por qué hay alguna diferencia en cuando a que el presentador haga el numerito de abrir la puerta sin premio "cuando le conviene". ¿Qué significa exactamente esa expresión? Si siempre lo hace cuando el concursante ha elegido el premio, la estrategia ganadora segura es obvia. Si sólo lo hace cuando el concursante se equivocó, también ocurre igual. No se plantea entonces ningún problema. Si lo hace al azar, unas veces sí y otras no, se aplica la misma conclusión que se aplica al problema original. Para mi es obvio: en tu primera elección tenías más probabilidades de equivocarte que de acertar. Al cambiar sólo puedes mejorar. Un saludo probable para todos.
Pepe -
Referente a lo que comenta Tio Petros, tiene toda la razón, eso de que el presentador, después de haber elegido tu, te señale una puerta no elegida que no contiene el premio, debería figurar en las bases del concurso, si lo hace cuando le conviene, habría que pensar un poco más el asunto.
luia -
http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html
una de números
Tio Petros -
JuanPablo -
Cuando ella lo pone en su columna, lo modifica, aplicándolo a un problema de un show de tv real (Let's Make a Deal), y ahí es donde comete el error: en el show, no siempre abrían otra puerta, con lo cual el espíritu del problema cambia mucho.
Gran parte de la discusión terminó cuando ella aceptó que ése era un error serio, ya que no estaba claro que hubiera que cambiar siempre que el presentador abriera la puerta (podía ser que abrieran una sólo si uno había elegido la ganadora!).
Carlos -
JuanPablo -
Carlos -
De todas formas, he de decir que la teoría de la probabilidad y la estadística , quizá sean las áreas de la matemática menos atractivas para mi.
Tio Petros -
Para Rimblow: Respetando por supuesto tus inclinaciones (sobre gustos no hay nada escrito), estaría bien comentar que el edificio teórico construido alrededor de la teoría de la probabilidad es realmente magnífico. Independientemente de las aplicaciones prácticas del cálculo de probabilidades. Un suldo a ambos, y gracias por vuestros comentarios.
Rimblow -
Pepe -
Estamos en un concurso de la tele y debemos elegir una puerta entre 3, tras una de ellas hay un regalo, mientras que las otras dos no tienen nada.
Después de elegida una puerta el presentador nos señala una de las otras dos y nos dice "esa no contiene nada", y nos da la oportunidad de cambiar de elección.
La pregunta es: ¿es ventajoso cambiar nuestra elección, o debemos mantener la inicial?
Un saludo.