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Tio Petros

Poder efectivo

En cierto modo, los números reales son más sencillos que los enteros. Esta afirmación parecerá algo absurda, teniendo en cuenta que los reales se construyen a partir de los racionales, éstos a partir de los enteros y éstos a partir de los naturales.

Me explico: la gran ventaja de los números reales es doble: por un lado, forman un cuerpo con las operaciones habituales, lo cual quiere decir que siempre es lícito sumar, restar, multiplicar o dividir dos reales entre sí: el resultado es otro número de la misma clase (salvo la división entre cero, que es anatema y cosa muy prohibida). La otra ventaja es que ese cuerpo es completo: esto quiere decir que “no tiene huecos”: todo número comprendido entre dos reales es asimismo real. (Técnicamente un cuerpo completo es aquel para el cual toda sucesión de Cauchy converge a un número que pertenece al cuerpo, pero esa es otra cuestión.)

¿Tiene esto alguna aplicación práctica? ¿Se ve en algún ejemplo que trabajar con números naturales puede ser más complicado que hacerlo con reales?

Pues sí. Y además los ejemplos son de una cotidianeidad apabullante. Cuando queremos repartir proporcionalmente a algunos valores dados un cierto número de premios entre personas, y esos premios no se pueden partir, empiezan los problemas. Lo vemos continuamente en las elecciones: los escaños no se pueden partir, de modo que es imposible hacer corresponder un determinado número de votos obtenidos con un escaño logrado, y mantener esta relación hasta efectuar el reparto completo: hace falta salirse de la norma para repartir los restos, y esto hace que el problema sea no sólo difícil, sino además muy cuestionable al existir varias soluciones no equivalentes.

Lo mismo ocurre cuando hay que efectuar una votación para aprobar o rechazar una propuesta, y cada uno de los votantes tiene un peso específico concreto: por ejemplo, votaciones en el congreso para aprobar una ley, donde existen N partidos , y el partido i tiene ni escaños. El poder real de cada partido es la capacidad para influir en el resultado de aceptación o rechazo de la propuesta, y lo más justo es que dicho poder fuera proporcional al número de escaños, número que será aproximadamente proporcional al número de votos conseguidos. Así, el ideal democrático parece preservarse, y realmente son los ciudadanos los que aceptan, por delegación, o rechazan las propuestas. Sin embargo todo esto no es más que una bonita teoría que nada tiene que ver con la realidad. La realidad es que un partido en el congreso, un grupo de accionistas en una asamblea general, o un país en el seno de un organismo internacional puede tener una cuota de poder totalmente desproporcionada (a veces a favor, y otras en contra) a lo que debiera, entendiendo que “debiera” tener una cuota de poder proporcional a sus méritos: al número de escaños en el caso del partido en un congreso o al número de acciones en el caso del grupo de accionistas.

Si les parece, veremos la explicación de porqué esto es así, y veremos unas medidas de poder real creadas expresamente para la ocasión. Como habrán intuido, las causas de la desproporcionalidad real entre méritos y poder efectivo son matemáticas. En el fondo derivan de la dificultad intrínseca de trabajar con números enteros que mencionábamos al inicio, y las iremos viendo en post sucesivos. Espero que les parezca interesante este paseo que les propongo.
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3 comentarios

Carlos -

(R, + , * , ) ;o)

manematico -

interesante tu pagina y propuesta. la estare leyendo.

tecnicamente el hecho es que los reales formal un espacio normado donde la norma esta dada por el valor absoluto t. Dicha norma induce una metrica y con esa ella los reales forman un espacio metrico completo.

la nocion de cuerpo es puramente algebraica. la nocion de completitud lleva intrinsecamente la nocion de distancia.

ergo per se un cuerpo, para ser completo, debe poseer una norma, de donde la nocion de convergencia y de sucesion de Cauchy.

BitFarmer -

Esto explica muy bien la simplicidad de los reales, lo oi en una pelicula: La profesora pregunta "Cuantos de estos numeros son divisibles por dos?", en la pizarra se ven varios numeros del estilo "2, 3, 6, 7, 15". Un chico muy listo, levanta la vista y dice: "Todos".
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