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Tio Petros

Indices de poder

Indices de poder En el post anterior vimos que cuando los votantes en una decisión de aceptación o rechazo de una propuesta tienen pesos específicos diferentes derivados del número de votos o escaños en el caso de un parlamento, del número de acciones en el caso de una asamblea general de accionistas o de cualquier otro tipo, el poder real que poseen no es proporcional a dichos pesos como sería de desear si atendemos al ideal de justicia por el cual tal proporcionalidad debiera darse. En este pos veremos la forma de calcular el poder real de los integrantes, y comprenderemos que, a veces, dicho poder es muy diferente del que las urnas, o el número de acciones les debieran proporcionar.

Para ello vamos a desarrollar un poco la teoría de los sistemas de votación ponderados, donde cada votante tiene un peso específico propio. Nada mejor que empezar unificando la nomenclatura:

Llamaremos v1, v2,..., vn a los votantes, siendo w1, w2,..., wn la importancia, el peso o el número de votos de cada uno de ellos. Llamaremos q a la cantidad de votos necesarios para aprobar una propuesta. Debe quedar claro que llamamos votante a cada grupo de poder, no a cada miembro de dicho grupo de poder. En el caso de un parlamento, los votantes serán los partidos, y el peso específico de cada partido será el número de escaños del mismo.

De ésta manera, el problema de votación ponderado queda perfectamente definido, y lo representaremos así:

V=[q; w1, w2,..., wn].

Llamaremos Coalición a un conjunto de votantes que se han unido para votar a favor o en contra de una propuesta. Si admitimos como coalición las unitarias (formadas por un solo votante) hay tantas coaliciones como subconjuntos de votantes. Su número es de 2 n.

Una Coalición ganadora es una coalición en la que la suma del número de votos de sus miembros es superior o igual a la cuota q .

Una coalición de bloqueo es aquella en la que la suma del número de votos de sus miembros es suficiente para bloquear (conseguir que no se apruebe) una propuesta. En evidente que tal coalición debe tener un número de votos superior al total menos la cuota de aceptación q .

¿Cómo podemos medir el poder real de un miembro? Está claro que no sirve estimar las posibilidades que tiene para formar parte de una coalición ganadora. Esto es así porque pudiera ser que dicha coalición fuera ganadora sin necesidad de su apoyo, en cuyo caso es indiferente su adhesión a la misma. Para acercarnos al concepto que necesitamos introduciremos una idea auxiliar: el swing.

¿Qué es un swing?

Un swing para un votante i con peso específico wi es un par de coaliciones (S U{i}, S ), de forma que S U{i} es una coalición ganadora y S es una coalición perdedora. Dicho de otro modo: un swing del votante i es una coalición en la que el votante i es un votante basculante : votante que si se retira de una coalición ganadora, deja de serlo.

Llamaremos Ni al número de swings del votante i, y N a dicha cantidad extendida a la totalidad de votantes:

N= N1+ N2+...+ Nn

Parece lógico interpretar que el número de swings de un votante es un buen índice del poder real del mismo: existen Ni posibles coaliciones en las cuales su adhesión resulta determinante. Denominaremos Indice de poder de Banzhaf normalizado del jugador i-ésimo a la cantidad

Bi= Ni/N

Veamos un ejemplo:

En una determinada empresa hay presentes cuatro accionistas. A,B,C y D, con el siguiente capital invertido en la misma, (en millones de euros por ejemplo): 13, 12, 6 y 2 . Las decisiones se aceptan por mayoría simple: basta reunir un peso de 17.

Calculemos índice de poder de Banzhaf normalizado de cada uno de ellos. Empezaremos por calcular el peso específico de cada una de las posibles coaliciones. En la figura aparecen en negrita aquellas que igualan o sobrepasan la cuota q=17.



Tengamos ahora en cuenta las coaliciones S para las cuales i es determinante aquellas en las que siendo S perdedora, S U{i} es ganadora:



Por tanto, podemos ver que el número de swings totales es 12, y los de cada accionista son:

N1= 4
N2= 4
N3= 4
N4= 0

Y por lo tanto el Indice de Banzhaf de cada uno valdrá:

B1= 4/12=1/3
B2= 4/12=1/3
B3= 4/12=1/3
B4= 0

El poder se reparte equitativamente entre los tres primeros, quedando el cuarto sin cuota alguna de poder. El resultado, como pueden ver, no respeta proporcionalidad alguna: el tercer accionista tiene menos de la mitad de derechos que el primero, resultando con una cuota de poder igual. Pero es la situación para el grupo minoritario, que queda sin poder alguno.

Las cosas pueden ser aún más injustas: examinen si les apetece la situación en un gobierno con tres partidos A,B,C con el 49% , el 49% y el 2% de escaños respectivamente.

Otra situación curiosa se da para el caso de cuatro partidos con el 26%,26%,26% y 22%.

Que pasen un feliz fin de semana.
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10 comentarios

Santi -

Hola, no entiendo en el ejemplo por que el N1 sale 4 si podemos juntar los siguientes:
12,13,123,124,134 y 1234 seria entonces N igual a 6. Cuales eliminais y por que?.
Estoy haciendo un trabajo sobre este tema y no me aclaro mucho.
gracias

JoseLo -

Para [Quique]
Creo que el artículo del número de Agosto de IyC se hablaba del sistema de la raíz cuadrada de Penrose [1],[2] pero no pude conseguir ese número.

PD: Es la primera vez que posteo sin previsualizar. Espero que los enlaces sean correctos.

[1] http://www.iop.org/news/776
[2] http://es.arxiv.org/abs/cond-mat/0405396

rafita -

echandole un poco de morro... FordPrefect, ¿podrías por favor compartir ese programita? Se lo puedes enviar a TioPetrus y que lo ponga en la web, ¿quizá?

Ford.Prefect -

Hola,

Bueno, pues me he hecho un programilla y aquí están los resultados:

PSOE 164 - 57.04%
PP 148 - 10.91%
CiU 10 - 10.02%
ERC 8 - 7.89%
EAJ-PNV 7 - 6.45%
IU 5 - 3.84%
CC 3 - 2.61%
BNG 2 - 1.24%
CHA 1 - 0%
EA 1 - 0%
Na-Bai 1 - 0%

¿A que mola votar CiU y tener casi el mismo poder que el PP con menos del 10 de sus escaños?

Un saludo,

rafita -

¿y alguien que pudiera hacer un script o un pequeño programa que lo automatizara? creo q puede ser una herramienta útil y con mucho criterio para analizar el juego político (ya, ya, que por qué no lo hago yo en vez de dar la murga.... ;) )

para los ayuntamientos sería mas sencillo que solo hay cuatro o cinco partidos al o más

rafita -

¿alguien se anima a hacer el cálculo con la distribución actual del Parlamento Español?

http://www.elecciones.mir.es/elecmar2004/congreso/CGF_TOP.htm

PSOE 164
PP 148
CiU 10
ERC 8
EAJ-PNV 7
IU 5
CC 3
BNG 2
CHA 1
EA 1
Na-Bai 1

- Mayoría absoluta: 176 escaños

[Quique] -

De hecho, este tema ha sido discutido en dos artículos recientes de Investigación y Ciencia, por Juan M.R. Parrondo en su sección de juegos matemáticos, en agosto y en el último, el de octubre. Todo muy, muy interesante, relacionándolo con el reparto de poder en europa y las diferentes opciones para decidir el poder del voto en el Consejo Europeo.

Un tema apasionante.

TioPetros -

Bien, Jorge. Un 22% del total puede suponer no tener poder alguno, mientras que en determinadas circunstancias, un 2% es suficiente para poder ser tratado de igual a igual por el resto.

Jorge -

Hice los deberes y, salvo error, obtengo que:

- Para 49, 49 y 2, todos comparten el poder equitativamente (1/3).

- Para 26, 26, 26 y 22, el de 22 no tiene ningún poder (0), y los demás se lo reparten equitativamente (1/3).

Un tema interesante y novedoso. Al menos para mí, ya que se lo conté a mi novia, que es secretaria, y me dijo que eso ya lo estudió en FP.

juan -

hola tio petros.
algo relativo a este tema habia leido en investigacion y ciencia hace unos años.
me parece un tema super interesante, sobre todo para aquellos como yo a los que la politica les interesa.
un saludo.
continua con el tema, que quedan mas cosas...
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