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Tio Petros

Nace el concepto

Hemos definido en el post anterior lo que es un sistema de entornos en un conjunto dado. Las cuatro propiedades se referían a la familia de entornos de un punto dado, y a la relación entre familias de entornos de puntos diferentes. Denominaremos Base de entornos fundamentales del punto correspondiente a cada una de estas familias.

Lo primero que debemos notar es que no todos los candidatos a bases de entornos fundamentales lo serán efectivamente por no cumplir las propiedades. Lo vemos con un ejemplo:

Sea la recta real, y consideremos para cada punto x la familia de intervalos B(x)= {[p-e , p+e)}. Tenemos infinitos entornos para cada punto p, uno para cada valor del número real e. El intervalo es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. Esto quiere decir que el propio punto (p-e) pertenece al intervalo, pero el (p+e) no. En la figura aparece uno de tales entornos. He dibujado su extremo derecho de forma diferente al izquierdo: más desvahído, para mostrar que el extremo derecho NO está incluido en el intervalo.



Veamos si tal presunto sistema de entornos fundamentales lo es en realidad. Repasemos las cuatro propiedades del post anterior, para lo cual las repito aquí:


1.- Un punto pertenece a todos sus entornos
2.- Dados dos entornos de un punto, la intersección de ambos también es un entorno del punto dado.
3.- Si un conjunto CONTIENE a un entorno de un punto, entonces ES un entorno de dicho punto
4.- Dado un entorno U de un punto, existe otro entorno V tal que U es entorno de todos los puntos de V .



Propiedad 1: La cumplen sin duda: todo intervalo de este tipo contiene al punto p.

Propiedad 2: Dos intervalos diferentes del mismo punto están por definición anidados uno dentro del otro, de forma que su intersección es idéntica al menor de ambos; luego la propiedad 2 también se cumple.

Propiedad 3: También se cumple: cualquier intervalo de la forma pedida que contenga a un entorno del punto p es también un entorno de dicho punto.

Propiedad 4: Esta falla: tomemos el intervalo [p-e,p+e), y de él, el punto (p-e). No podemos encontrar ningún entorno de este punto (p-e) tal que el entorno original sea entorno de todos los puntos de este nuevo entorno. El motivo es que por la propia definición de estos intervalos, un intervalo del punto (p-e) (amarillo) debe “salirse” hacia la izquierda de dicho punto, fuera de los dominios del intervalo original (azul).



Queda claro por tanto que aunque tenemos muchas libertades para elegir las bases de entornos de los puntos, existen restricciones.

Llamaremos, dada una base de entornos fundamentales definida, conjunto abierto a aquel conjunto que es entorno de todos sus puntos. Y llamaremos topología del conjunto X inducida por el sistema de entornos fundamentales al conjunto de todos los abiertos de X .

Es fácil demostrar que la unión de cualquier cantidad de abiertos es un abierto, sea esta unión finita o no, y sin embargo sólo la intersección de una familia finita de abiertos es abierta con seguridad. Así pues, podemos definir una topología T de un conjunto X como una familia de subconjuntos de X que cumple:

1.- El conjunto vacío y el total están en T .
2.- Dada una familia finita de elementos de T , su intersección está en T
3.- Dada una familia cualquiera de elementos de T , la unión de todos ellos está en T

Por lo demás, existe plena libertad para elegir los abiertos. Según los abiertos elegidos, tendremos un sistema de entornos fundamentales diferente. Alternativamente, según qué sistema de entornos fundamentales elijamos, tendremos una topología diferente.

Si consideramos todos los subconjuntos de X como abiertos de la topología, se cumplen las tres propiedades anteriores, luego se trata en efecto de una topología lícita, de hecho, es la más grande que puede existir en X, diremos que es la más fina .

El en extremo opuesto está la topología formada por dos conjuntos: el total X y el vacío. Entre ambos cumplen trivialmente las tres propiedades, y se trata de la topología más gruesa de las posibles.

Tan sólo con estos elementos, podemos ya hablar del interior de un subconjunto de X, del exterior y de la frontera , cosa que con las herramientas meramente conjuntistas que teníamos hasta ahora no era posible.

Lo veremos en el siguiente post, si bien nos remitiremos constantemente a lo que denominamos topología usual del plano y el espacio: aquella que “intuímos” desde siempre, en la que las bases de entornos de un punto están formadas por las bolas abiertas (sin incluir el borde) centradas en el mismo.
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27 comentarios

Crystal -

...Os tendríais que haber leído: sois divertidísimos! No, en serio, ha estado muy bien, pero leer los comentarios ha sido un duro golpe a mi memoria a corto plazo. A partir de ahora no los leeré hasta haber afianzado mis conocimientos.

Como siempre, muy clarito todo, gracias.

Carlos -

Dice Anónimo :

"pero lo que no tiene sentido (desde mi punto de vista) es que el concepto "base de entornos abiertos" coincida con el de "base de entornos"".

Tienes toda la razón. Sólo que te has explicado antes cogiendo entornos V fuera de la base con la que trabajabamos, y eso da más oscuridad a lo que querías decir. En el siguiente post sobre la discusión he expuesto lo que quieres decir, pero usando sólo elementos de las bases de entornos que había definido Tio Petros.

Vailima -

Yo también pido perdón. Me he dado cuenta del error una vez colgado el post.
un saludo

TioPetros -

Me he permitido borrar los comentarios que por algún misterio informático salían repetidos.

Cluje:

me parece que su post salía cortado justo antes de un signo "menor que " o "mayor que". Esto es debido a que el sistema de comentarios admite etiquetas HTML, y dicho signo interrumpe el comentario porque mo interpreta como una etiqueta a medias. (No tengo ni puñetera idea de todo esto, pero va por ahí).

Anónimo:

No tienes motivo alguno para pedir disculpas, y si lo haces, yo también. Eres enormemente bienvenido en este blog con tus comentarios de gran calidad.

Vailima: se trata de una etiqueta en un comentario, no en el cuerpo del post, y no podemos modificar los comentarios: o dejarlos o borrarlos es la única opción. De todas formas, ya está arreglado lo de la cursiva.

A ver si este comentario sale bien...

Lola -

ups... mmm... yo no lo he puesto dos veces, lo prometo....

Lola -

Mi profesor de Variable Compleja decía que la topología debería olvidar que existe justo esa teoría detrás, que nunca se debería explicar lo que es una topología ni una base de entornos ni nada de nada, que eso es antimatemático. Claro, supongo que lo decía porque "viviendo en R^2 con la topología usual... así cualquiera".

Vailima -

Tio Petros: no era necesario borrar el comentario. Tan sólo dedicar un minuto o dos a entrar en la administración del blog, editar el mismo comentario, colocar el cierre de cursiva y voilà: asunto resuelto.
¿Me espera un finde topológico?
ahhhhhhhh

Cluje -

Siento el tráfico de mails, pero no me deja postear con normalidad. Lo intentaré más tarde. Un saludo

Cluje -

[perdón, no me deja cargar el post entero, sólo a cachitos] e

Cluje -

He estado leyendo con detalle la prueba y los comentarios, y creo que la cosa es como sigue:

1) La definición que da Tío Petros es la correcta de base de entornos, y a los elementos de la familia se les puede llamar "entornos básicos".

2) El valor de e en la definición de la familia es fundamental. No puede ser un número real cualquiera, porque entonces habría entornos básicos que no contendrían al punto (todos aquellos para los que e

Cluje -

No se puede postear?

Tio Petros -

Solucionado. Era tan sencillo como poner la etiqueta de cierre en un nuevo comentario.

TioPetros -

Por Dios!!! Corregir, no correjir. Cosas del apresuramiento...

TioPetros -

Oooops!
Leo apresuradamente los últimos comentarios, y dejo automáticamente de estar seguro de tener razón. A ver si a lo largo del fin de semana puedo meditarlo, y correjir el post en caso necesario. Gracias a todos, de verdad.
PD. Se me ha deslizado una etiqueta de cursiva HTML sin cerrar en uno de mis comentarios, a partir del cual todo sale en cursiva. La única forma que conozco para solucionarlo es borrar mi comentario (no puedo modificar los comentarios), pero no quiero dar la impresión de que estoy queriendo modificar la discusión. Alguien sabe qué solución puedo adoptar que no pase por borrar el comentario?

juan -

bufff, perdon por la lista de comentarios vacios. mea culpa, en contubernio con mi teclado falluto.

bueno, al tema. releyendo la discursion, me permito dar mi punto de vista.
creo que la objecion de anonimo es la siguiente:
dado p-e € [p-e, p+e) se trata de demostrar que no existe ningun entorno V de p-e tal que V este contenido en U=[p-e, p+e). el entorno V debe ser de la forma [a, b). tio peros dice que necesariamente, este entorno V debe tener su extremo izquierdo fuera de U. pero aqui asaltame la duda. consideremos en conjunto V´=[p-e, p+(e/2)).
tenemos que V´es entorno de p-e, segun la definicion de entorno, ya que cumple todas las condiciones (para la 4, basta tomar siempre para el punto p-e los entornos [p-e, p+(e/n)) con n natural. por tanto, segun mi punto de vista, esta familia si es una base de entornos. es mas, genera la topologia de ... (tiene nombre, pero no lo recuerdo... es que este tema lo curse hace ya 6 años... sorry).
no se, puedo estar equivocado. agradeceria aclaracion.

un saludo.

Anónimo -

Lo siento, no era mi intención molestar, en efecto, se podría definir "base de entornos abiertos", sin haber definido previamente abierto, pero lo que no tiene sentido (desde mi punto de vista) es que el concepto "base de entornos abiertos" coincida con el de "base de entornos", porque en ese caso, con uno sólo basta. De modo que la definición debería ser: "una base de entornos abiertos es una base de entornos que además cumplen ....", y por tanto debería de haber alguna propiedad adicional, aparte de las 4 iniciales. Pero no hay problema en asumir que esas 4 propiedades que pones son la definición de "base de entornos abiertos", sólo que con ellas, el ejemplo que pones si es una base de entornos abiertos.
Tomemos pues los conjuntos B={[p-e,p+e)} y veamos si cumplen las 4 condiciones citadas, sobre las 3 primeras no hay disputa, de modo que veamos la 4, dado U=[p-e,p+e), yo debo encontrar V que sea entorno de p (es decir que contenga a algún [p-a,p+a)), y tal que U sea entorno de todos los puntos de V. Pues bien, sea V=(p-e,p+e), es obvio que contiene a [p-e/2,p+e/2), luego es entorno de p. Sea b un punto cualquiera de V, sea a la mínima de las distancias de b a p-e y p+e, a es mayor que 0, y [b-a/2,b+a/2) está contenido en (p-e,p+e) que a su vez está contenido en [p-e,p+e), lo que prueba que U es entorno de todos los puntos de V, y por tanto que B es una base de entornos abiertos según tu definición (o una base de entornos según la mía). Por eso decía yo que la demostración de que 4 no se cumple no hay por donde cojerla, porque si no añades más condiciones, me parece que es obvio que se cumple.
Reitero una vez más mis disculpas si es que ha lugar a ello, pero sigo insistiendo en que creo que tengo razón.

Anónimo -

En efecto Carlos, es una errata, donde digo "todo entorno U de un punto p contiene otro entorno V que a su vez es entorno de todos los puntos de U", debería decir "todo entorno U de un punto p contiene otro entorno V tal que U es entorno de todos los puntos de V", que es lo que pongo a continuación que es equivalente a lo mío, y que realmente tampoco lo es, el que U sea entorno de todos los puntos de V (versión Tio Petros), no garantiza que V sea entorno de sus propios puntos (versión mía), por ejemplo: U=[p-e,p+e) y V=[p-e/2,p+e/2].
Pero el que V sea entorno de todos sus puntos, como ocurre en el ejemplo, si garantiza que U también es entorno de todos los puntos de V, porque U contiene a V.
De modo que el razonamiento vale igual, dado U=[p-e,p+e), existe V=(p-e,p+e) tal que U es entorno de todos los puntos de V y como V es también entorno de p, los conjuntos dados forman una base de entornos de p (no abiertos, claro). Por cierto tampoco se ha definido "base" de entornos, de modo que habría también que probar eso, pero eso no tiene problemas.

TioPetros -

Anónimo dice: lo que pasa es que yo soy un poco tiquismiquis, y si veo un detallito mal, no puedo menos de comentarlo.

Pues, efectivamente, para eso están los comentarios. No obstante, creo que no tienes razón. Puedo definir "bases de entornos abiertos" sin haber definido previamente el concepto de abierto. De hecho, estoy definiendo un concepto, y le doy un nombre arbitrario. Si cumple las propiedades que especifico, se trata del concepto que he nombrado, y sino, no.
Previamente, nunca puedes decir que el conjunto [a,b) no es un abierto, como has dicho en tu primer comentario. Depende de la topología que tengamos definida, en el caso extremo de la topología todas las partes de X, evidentemente sí es un abierto. Yo tan sólo debía demostrar que no cumple las cuatro propiedades que definen los entornos en base a los cuales voy a definir más adelante los abiertos.

P.D. He dicho CREO que no tienes razón, porque no sería la primera vez que un amable lector me ayuda a corregir erratas que se han deslizado en los post, algo que agradezco en grado sumo. Intento hacer post veraces, y me alegran las correcciones. Sin embargo inicios de frase como "no hay por dónde cogerlo" de tu primer mensaje, no me ayudan precisamente a calibrar en su verdadera valía tus aportaciones. Seamos constructivos. Gracias.

Carlos -

No ha salido como quería. Hasta la linea de puntos es copiado y pegado de lo que dice Anónimo.

Carlos -

La propiedad que dices que falla es la 4, que dice: todo entorno U de un punto p contiene otro entorno V que a su vez es entorno de todos los puntos de U. Esa expresión, que parece un trabalenguas, se puede simplificar un poco con la definición de abierto, y quedaría: 4.- Dado un entorno U de p, existe un entorno abierto V de p contenido en U. No es exactamente lo mismo
---------

Y tanto que no es lo mismo. Como que no tiene nada que ver. Tu ejemplo mismo, es abierto que contiene a p y está en U, y no contiene a todos los puntos de U.
Lo que dice Tio Petros es correcto.

Anónimo -

A ver si nos aclaramos, lo que pretendes demostrar es que {[p-e,p+e)} no forman
una base de entornos abiertos de p, y para ello, pones las 4 propiedades que
deben verificar los entornos de p, pero en ninguna parte haces mención a lo de
"abiertos", salvo para decir que no nos vamos a preocupar por qué significa la
citada expresión, y el caso es que los conjuntos citados SI forman una base de
entornos de p, luego cumplen a la perfección esas 4 propiedades, la propiedad
que no cumplen es la de ser abiertos, pero como ni siquiera has dicho en que
consiste, tampoco puedes demostrar que no se cumple.


La propiedad que dices que falla es la 4, que dice:
todo entorno U de un punto p contiene otro entorno V que a su vez es entorno de todos
los puntos de U. Esa expresión, que parece un trabalenguas, se puede simplificar
un poco con la definición de abierto, y quedaría:


4.- Dado un entorno U de p, existe un entorno abierto V de p contenido en U.


No es exactamente lo mismo, ya que yo digo que V es entorno de todos sus puntos,
y tu dices que U es entorno de los puntos de V, pero como U contiene a V son
equivalentes.


Pues bien, U=[p-e,p+e) cumple esa condición a la perfección, ya que por ejemplo
se puede tomar V=(p-e/2,p+e/2), o incluso (p-e,p+e), y ambos son entornos
abiertos de p, contenidos en U.


Lo que estás demostrando tu es que el U de partida no es entorno de todos sus
puntos, particularizando en q=p-e, el problema es que esa es la definición de
abierto que no has puesto, pero no la condición que estas demostrando en la que
pone el "existe V ...", que chafa tu demostración.


Ah, y estoy seguro de que tu sabes tanta topología como yo, lo que pasa es que
yo soy un poco tiquismiquis, y si veo un detallito mal, no puedo menos de
comentarlo.

Por otra parte estoy totalmente de acuerdo con los que me preceden es que es mucho mejor partir del concepto de entorno que de el de abierto para contarselo a un profano.

Carlos -

Estoy totalmente de acuerdo con que es mucho más intuitivo, por decirlo así, definir lo que es una topología a partir del concepto de entorno que del de abierto. Por lo tanto, desde el punto de vista divulgativo, es mejor escoger esta opción (cosa que sabiamente ha hecho Tio Petros). Tampoco vamos a discutir que desde la definición de abierto las cosas comienzan siendo mucho más sencillas, pero se corre un peligro grave, y es que el profano se puede perder ante dicha abstracción, encontrarlo un concepto un tanto artificial.

Cluje -

Para empezar, felicitaciones una vez más, Tío Petros (suscribo la ley de las felicitaciones que ha puesto Carl en su blog); me estás dando argumentos para defenderme siempre que alguien con auténtico interés me pregunte qué es la Topo.

En cuanto a la objeción de Anónimo (que hace poco dejó de ser autor de El Lazarillo :D ), bueno, sí, la argumentación tuya, Tío Petros, lo que prueba es que el ejemplo no es una base de entornos abiertos, aunque sí es una base de entornos. Quizá ese ejemplito hubiera venido un poco mejor después de haber definido abiertos.

Sin embargo, defiendo ardientemente tu postura de definir la topología mediante entornos en vez de mediante abiertos, algo completamente admisible, y creo que mucho más útil desde el punto de vista divulgativo, que creo que es lo que se pretende en este weblog. En particular, creo que la definición original de Hausdorff de topología fue por entornos, más que por abiertos (de hecho, abstraía la idea de Fréchet de espacio métrico, cuyo concepto crucial, después del de distancia, son las bolas). La definición por abiertos, más cómoda sin duda desde el punto de vista operativo, tiene la grave desventaja de que no te da la más mínima intuición sobre la estructura del espacio; por eso, en este contexto bloguero creo que la elección de Tío Petros es la adecuada.

Saludines

TioPetros -

Vamos por partes. Respecto a tu objeción al punto cuatro:
los conjuntos [p-e,p+e) si que son entornos de p, ya que contienen a (p-e/2,p+e/2)
Y dónde digo yo lo contrario?
Yo lo que afirmo es que no podemos encontrar ningún entorno [a,b) del punto (p-e) que esté incluído en el entorno original [p-e,p+e). Por ese motivo no se cumple la propiedad cuarta.
Por lo demás, nada que objetar a tu planteamiento. Queda claro que podemos definir una topología a partir de los abiertos, o empezar definiendo los entornos, que definen a los abiertos a partir de los cuales podemos redefinir a los abiertos. Tu explicación me parece clara y perfecta. Se nota que sabes de lo que estás hablando...seguramente mucho mejor que yo.
Gracias

Anónimo -

Vamos a ver, porque me parece que no me cuadran las cosas. Los conjuntos citados [p-e,p+e) forman una base de entornos de p, lo que no forman es evidentemente una base de entornos abiertos, porque NO son abiertos, si se está tratando de definir lo que es un abierto, lo único que no se puede hacer es poner la palabra abierto, pero sin preocuparse de que significa, porque entonces nos vamos a estrellar seguro. En concreto lo de que no se cumple la propiedad 4 no hay por donde cojerlo, porque es falso, los conjuntos [p-e,p+e) si que son entornos de p, ya que contienen a (p-e/2,p+e/2) (el V de la definición), que es un entorno "abierto" de p. Lo que no son es abiertos (los [p-e,p+e) se entiende), pero claro, sin haber dicho previamente lo que es un abierto, es un poco difícil de demostrar.

Una manera de hacerlo correctamente podría ser:

Definición: Un abierto es un conjunto que es entorno de todos sus puntos.
Ahora habría que probar que los abiertos cumplen las propiedades de una topología, lo cual es evidente:
a) El vacío es abierto porque no contiene puntos, y el total porque contiene a todos.
b) Si U y V son abiertos y x es un punto de la intersección, por definición de abiertos, U y V son entornos de x, y por definición de entorno, la intersección es un entorno de x, como eso vale para todos los puntos, la intersección de dos abiertos es abierto.
c) Si Ui son una familia de abiertos y x es un punto de la unión, por definición debe estar en algún Uj, que al ser un abierto, es un entorno de x, y como la unión contiene a Uj, la unión es un entorno de x.

Quedaría por ver que se pueden hacer las cosas a la inversa, y que el resultado es el mismo, es decir que si partimos de los entornos, definimos los abiertos, y a partir de estos redefinimos los entornos por: un entorno de x es un conjunto que contiene a un abierto al que pertenezca x, los nuevos entornos de x son exactamente los de partida, hecho eso, obviamente es más cómodo definir la topología a partir de los abiertos y no de los entornos.

Imanpas -

Bravo. Plas plas. La de veces que intenté explicar esto y pude ver en las caras de los que me escuchaban que no encontraba la manera de hacerlo fácil. Las prócima vez les pasaré esta URL y santas pascuas.

juan -

buffff tio petros.
te has lucido.
se me queda la boca abierta. que manera de explicar.
sencilammente fantastico.
a ver hasta donde podemos llegar...
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