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Tio Petros

La insoportable levedad del conjunto Q (y 2)

La insoportable levedad del conjunto Q (y 2) Prometimos demostrar que el conjunto de todos los números reales no era numerable, que es lo mismo que decir que no se podían poner en relación biunívoca con los enteros positivos. Otra forma de decirlo es que no podemos hacer un listado en el que figuren todos ellos.

Un comentario antes de seguir: tampoco podemos hacer un listado en el que entren todos los enteros naturales, porque son infinitos, pero eso no debe importarnos: se trata de la posibilidad o imposibilidad de idear un procedimiento para listar todos los elementos de un conjunto infinito sin dejarnos ninguno. Dado que son infinitos, la materialización práctica de este procedimiento nunca podríamos realizarla, pero (y esto es lo importante) si tenemos un método de hacerlo, siempre podríamos, ante cualquier elemento del conjunto, preguntarnos qué puesto ocupa en la lista. Eso es lo importante. Por eso decimos que el conjunto de los naturales es numerable, porque lo podemos numerar, no porque podamos exhibir un listado completo de todos ellos. Ante la pregunta de qué puesto ocupa el entero positivo n, la respuesta obvia es: ¡el n-ésimo puesto ! Misión cumplida. Eso es lo que demostraremos imposible para los reales.

La demostración, ¡cómo no!, se debe a Cantor, el hombre que amaba las diagonales. Es absolutamente demoledora en su simplicidad, y demuestra por reducción al absurdo que no se puede, ni en principio, idear un método para realizar una lista de todos los números reales comprendidos entre cero y uno. Por ende, más imposible será tener la de todos los reales.

Supongamos que sí se puede realizar tal listado exhaustivo; cada número real entre 0 y 1 tiene una expresión decimal que empieza por cero coma ..., por ejemplo 0,363527682329... los decimales son evidentemente infinitos, aunque a partir de un momento puedan ser todos iguales o todos cero (como sucede con algunos racionales, que no por serlo dejan de ser reales). Tenemos de esta forma, aceptando la posibilidad de tal procedimiento, un listado infinito en el que están todos los números reales. Vamos a construir un número real comprendido entre cero y uno ayudados por la lista anterior de la siguiente forma (ver imagen): empezamos con cero coma (0, ) para el primer decimal, nos fijamos en el primer decimal del primer número de la lista. Si es un número distinto de cero, ponemos un cero y si es un cero, ponemos un uno. Seguimos de forma idéntica: para el segundo decimal, nos fijamos en el segundo decimal del segundo número de la lista. Si es un número distinto de cero, ponemos un cero y si es un cero, ponemos un uno. Y así por siempre jamás. Los únicos guarismos en los que nos fijamos son los de la diagonal coloreada de la imagen.

Lo interesante del asunto es que hemos construido un número real entre cero y uno que tiene su primer decimal distinto que el primer decimal del primer número de la lista... su n-ésimo decimal distinto del n-ésimo decimal del n-ésimo número de la lista, etc,etc... Es decir: hemos construido un número real diferente a todos los de la lista , lo cual debiera ser imposible, pues hemos partido de la hipótesis de que teníamos una lista infinita pero completa de todos los reales entre cero y uno. Así pues, la hipótesis de partida es la que era falsa: nunca podremos tener tal lista.

Dado que los reales son los racionales más los irracionales, y hemos demostrado en el post anterior que los racionales son numerables, los responsables de la no numerabilidad de R tienen que ser los irracionales, esos mismos que en el post anterior los veíamos ingenuamente en pie de igualdad al fijarnos en la densidad de los mismos en R. La realidad es mucho más compleja: casi todos los reales son irracionales, y eso es compatible con el hecho de que en cualquier entorno abierto de R , por pequeño que sea nos encontramos infinitos racionales e irracionales.

Hay algo muy misterioso en todo esto: hemos demostrado que no puede haber un listado completo de todos los reales comprendidos entre cero y uno. Y lo hemos hecho dando un método constructivo para expresar un número real que necesariamente no puede estar en el listado de partida, que suponíamos completo. Me van a permitir una pregunta. ¿Porqué no podemos hacer exactamente lo mismo con el conjunto Q?, A partir de un presunto listado exhaustivo de todos los racionales, construir uno nuevo que sea diferente a todos ellos en al menos un decimal. Habríamos demostrado que Q tampoco es numerable, a pesar de que conocemos otra demostración de que sí lo es (la del post anterior).¿Qué es lo que está fallando aquí? ¿Les apetece pensarlo un poquito?

Les espero...
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9 comentarios

Generic Cialis -

hola, para mi este conjunto es inservible para muchas cosas, este conjunto nada mas nos sirve para resolver probabilidades.

David -

Asier, la diferencia entre el conjunto de los números racionales Q y los números reales R es que los primeros forman un conjunto infinito numerable mientras que los reales son un conjunto infinito NO numerable.
No todos los infinitos son iguales, el infinito no numerable es muchiiiiiiiiisimo más grande que el infinito numerable.

Asier -

Buenas. Antes de nada enhorabuena por el blog, Tio Petros y me alegra ver que has retomado la actividad...

Me ha parecido muy interesante este post y a medida que lo he ido leyendo me he estado haciendo la misma pregunta que planteas al final: ¿no se puede hacer lo mismo con el conjunto Q?

Entiendo el razonamiento y la explicación que dais pero claro, en la demostración se propone la construcción de un irracional que nunca se acaba de construir (ya sé, direis que precisamente esa es la característica de los irracionales).

Para intentar llevar la contraria yo lo planteo de otra manera: dado que tengo infinitos números con los que numerar irracionales, 'vete diciéndome' los que quieras que yo los añado a la lista. ¿que has encontrado uno que no está en la lista? espera que ahora lo añado. Ya está. ¿Alguno más? Me sobran números para numerar cualquiera que se te ocurra.

¿Qué es lo que falla en este razonamiento?

Además no veo que se demuestre que "casi todos los reales son irracionales". No digo que no sea así, pero dónde está la demostración?

angelica -

NESECITO Q ME AYUDEN EN ESTUDIAR TENGO PRUEBA DE ADMISION PARA PODER ENTRAR A 1 MEDIO SOBRE NUMEROS ENTEROS,CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES Y PROPORCIONES DIRECTAS E INDIRECTAS. ESPERO Q ME PUEDAN AYUDAR PORQ LA PRUEBA ES EL SABADO Y QUIERO QUEDAR EN ESE LICEO.

caca -

caca

chuli -

peo

Anónimo -

terrible falta de ortografia

TioPetros -

Justo; esa es la explicación. EN el caso de los reales, el número que construíamos era necesariamente real, pero con los racionales, el número construido no es racionalal por el motivo que explica Carlos, de forma que todo sigue encajando perfectamente...

Carlos -

Ten en cuenta que utilizando ese método en Q, construiriamos un número con infinitos decimales no periódico, es decir, que no sería racional, ya que las expansiones decimales de un número racional son periodicas.
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