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Tio Petros

Atrapando el concepto de azar (2)


El hombre tiene mil planes para sí mismo. El azar, sólo uno para cada uno.

Mencio

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Es este post vamos a comenzar la construcción del edificio conceptual que nos llevará a definir con cierto rigor qué cosa es una variable aleatoria.

Como dijimos en la introducción que supuso el post anterior, las variables aleatorias dan valores reales a los elementos de un espacio general que llamábamos espacio probabilístico . La misión de este post es presentar el recorrido que vamos a realizar en los próximos posts para explicar todo esto.

En la exposición de este tema, que nos ocupará varios posts, ilustraremos el discurso con dos ejemplos sobre los que posteriormente definiremos variables aleatorias:

EJEMPLO A: Tirada de un dado.
EJEMPLO B: Elección de un punto en el intervalo [0,1]

Los posibles resultados de cada experimentos forman los respectivos Espacios muestrales . En el ejemplo A, el espacio muestral es X={1,2,3,4,5,6}; y el en ejemplo B es X=[0,1]. Centrémonos en el dado por el momento.

Un suceso no es simplemente cada uno de los elementos del espacio muestral, sino cada uno de los subconjuntos del mismo. Así, el suceso Z1={1,2,3,4,5} es el suceso “sacar menos de seis”; y el suceso Z2={1,3,5} es el suceso “sacar impar”.

De esta manera, asociado al conjunto X tenemos el sistema de todos sus subconjuntos, o conjunto de partes que denominaremos A.

El par (X, A) así definido se denomina espacio probabilizable para un conjunto finito X. Luego con el ejemplo B veremos que en el caso contínuo las cosas no son tan fáciles.

La propia nomenclatura de espacio probabilizable indica que tenemos todo dispuesto para hacer uso de la noción de probabilidad. Una probabilidad es una función de conjunto. El hábitat de una función de conjunto es diferente al de una función habitual del cálculo: las funciones de conjunto residen en un conjunto marco X, y más específicamente en el conjunto de partes de X, o un subconjunto suyo, de forma que a cada subconjunto B de X le corresponde un número.

Pero todo esto no es más que una burda aproximación, y como no tenemos prisa alguna y los conceptos necesarios son bellos de por sí, nos pasearemos por ellos en varias etapas.

Para hacer una exposición medianamente completa de este extremo, debemos explicar más pormenorizadamente qué es una función de conjunto, qué es una medida y qué es una probabilidad.

Y para ello, comenzaremos preparando convenientemente la casa en la que dichos conceptos van a habitar. Nos preparamos pues para hablar de unas estructuras llamadas sigma-álgebras, que no son sino porciones del conjunto de partes de un conjunto que cumplen ciertas propiedades muy sencillas, aunque dichas propiedades hacen que las sigma-álgebras sean a veces objetos muy complicados.

El guión de lo que sigue será así:

1.- Sigma-álgebras sobre conjuntos generales. Sigma-álgebra de Borel en R
2.- Funciones de conjunto
3.- Medidas sobre conjuntos. Medida de Lebesgue.
4.- Probabilidad. Espacios probabilísticos
5.- Funciones medibles

y por fin, variables aleatorias.

La intención es hacer un recorrido por estos tópicos sin fórmulas o casi sin fórmulas, atendiendo a la sutileza de los conceptos con la única meta en mente de atrapar de forma rigurosa aunque cualitativa el azar entendido matemáticamente.

Seguimos mañana.
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3 comentarios

Crystal -

Vale. Muy bien. Hasta aquí lo hemos conseguido seguir sin marearnos ante la mera aparición de la palabra 'probabilidad'. Aunque claro, si me lo hubieran explicado así desde un principio, ahora no tendría que superar estos traumas ;)

Ale, mañana será otro día.

Nico -

Oh oh, por fin los ansiados post sobre probabilidad!! Grazie grazie mile!! ;)

Sergi -

Magnífico. Todo el contenido. Pero lo mejor de todo es la última frase. Ya estoy impaciente por seguir adelante.
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