Fundamentando la matemática en el vacío.
A lo largo de los tres post anteriores hemos visto cómo los matemáticos del siglo XX intentaron buscar los fundamentos de su disciplina con la máxima economía de conceptos, hasta llegar al paroxismo: el conjunto vacío se revelaba como la piedra angular de todo el edificio numérico.
Nos quedaba definir el conjunto N. Pero eso ahora es cosa trivial: el conjunto N es el único conjunto que contiene al conjunto vacío y a todos sus sucesores; y sólo a ellos. La formulación de los enteros sobre el esquema aquí esbozado de los naturales; la de los racionales sobre los enteros y la de los números reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de racionales nos da un panorama completo de la construcción numérica hoy aceptada por la comunidad matemática.
Este es un buen momento para ver desde otro punto de vista la aritmética transinfinita de Cantor, tema que tocamos en los artículos sobre el Aleph y sobre las sucesiones de Goodstein.
En efecto, hemos visto que un número natural se define como el conjunto de todos sus anteriores:
n={0,1,2,3,...,(n-1)}
Nada nos impide considerar el conjunto N como un infinito actual y hacerle corresponder un número infinito (el menor número infinito) que sería:
w={0,1,2,3,...}=N
Digo que nada nos impide efectuar esta consideración porque ya tenemos perfectamente definido el conjunto N, y por lo tanto estamos legitimados para usarlo como un objeto actual, en su totalidad.
Pero ahora nada nos impide continuar:
w+1={0,1,2,3,...,w}=N U {w}
w+2={0,1,2,3,...,w,w+1}=N U {w,w+1} ...
Tenemos así las bases de los ordinales transinfinitos de Cantor, que surgen con la mayor naturalidad de la teoría de conjuntos mientras que vistos "a pelo", como los habíamos visto en los post anteriores, parecen un poco extraños.
Dejaremos por ahora este apartado tan elemental (1)de la matemática para adentrarlos en otros paisajes a partir del lunes. Con su compañía, por supuesto.
(1): En matemáticas, la palabra "elemental" y la palabra "básico" son dos palabras con acepciones diferentes a las del lenguaje ordinario. Indican que el tema tratado se refiere a las bases y/o fundamentos de la matemática, no a su poca dificultad. De hecho, los temas elementales y básicos suelen ser de gran dificultad.
Nos quedaba definir el conjunto N. Pero eso ahora es cosa trivial: el conjunto N es el único conjunto que contiene al conjunto vacío y a todos sus sucesores; y sólo a ellos. La formulación de los enteros sobre el esquema aquí esbozado de los naturales; la de los racionales sobre los enteros y la de los números reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de racionales nos da un panorama completo de la construcción numérica hoy aceptada por la comunidad matemática.
Este es un buen momento para ver desde otro punto de vista la aritmética transinfinita de Cantor, tema que tocamos en los artículos sobre el Aleph y sobre las sucesiones de Goodstein.
En efecto, hemos visto que un número natural se define como el conjunto de todos sus anteriores:
n={0,1,2,3,...,(n-1)}
Nada nos impide considerar el conjunto N como un infinito actual y hacerle corresponder un número infinito (el menor número infinito) que sería:
w={0,1,2,3,...}=N
Digo que nada nos impide efectuar esta consideración porque ya tenemos perfectamente definido el conjunto N, y por lo tanto estamos legitimados para usarlo como un objeto actual, en su totalidad.
Pero ahora nada nos impide continuar:
w+1={0,1,2,3,...,w}=N U {w}
w+2={0,1,2,3,...,w,w+1}=N U {w,w+1} ...
Tenemos así las bases de los ordinales transinfinitos de Cantor, que surgen con la mayor naturalidad de la teoría de conjuntos mientras que vistos "a pelo", como los habíamos visto en los post anteriores, parecen un poco extraños.
Dejaremos por ahora este apartado tan elemental (1)de la matemática para adentrarlos en otros paisajes a partir del lunes. Con su compañía, por supuesto.
(1): En matemáticas, la palabra "elemental" y la palabra "básico" son dos palabras con acepciones diferentes a las del lenguaje ordinario. Indican que el tema tratado se refiere a las bases y/o fundamentos de la matemática, no a su poca dificultad. De hecho, los temas elementales y básicos suelen ser de gran dificultad.
16 comentarios
cristina -
cristina -
maria -
Anónimo -
nelson -
Random -
Sigue adelante.
Goyo -
Saludos de otro licenciado que no ejerce.
Shunt -
Tio Petros -
Ánimo y dale duro; con dos cojones.
Tio Petros
jose -
Tio Petros -
Gracias.
willy -
Tio Petros -
Es curiosa tu propuesta.
Si así hiciéramos, tendríamos definida una cadena de sucesores perfectamente:
Sea v el vacío, que no puedo representar aquí por dificultades tipográficas. Tendríamos:
0=v
1={v}
2={{v}}
3={{{v}}} etc.
Todos ellos son conjuntos diferentes, efectivamente, pero hay un problema: todos ellos son unitarios, y lo bueno de los naturales es que nos sirven para contar. ¿Porqué? Pues porque el tres, tal y como le hemos definido, puede ponerse en biyección con todos los conjuntos del universo que tengan tres elementos. Me parece más elegante como está, no crees?
Shunt -
Tio Petros -
A mi me gustó bastante, pero la realidad es que Borges en general me gusta bastante.
Uno no sabe qué tenía en la cabeza el ciego cuando escribió la novela. Pero es evidente que referencias cantorianas sí debía tener, digo yo...
mig21 -
Una pregunta, al hilo del Aleph...
¿Que opinión le merece a un matemático el libro de Borges?
A mi me ha encantado (lo acabo de leer...)
Saludos