Atrapando el concepto de azar (3)
Aunque los hombres se jacten de sus grandes acciones, muchas veces no son el resultado de un gran designio, sino puro efecto del azar.
François de la Rochefoucauld
No perdamos el hilo: hace dos posts anunciábamos el comienzo de una serie explicativa de las bases de la teoría de la probabilidad, bellísimo edificio construido hace menos de un siglo por varias mentes poderosas entre las que descuella la de Kolmogorov, que aparece en la foto. Allí comenzamos el tema, y aquí desarrollamos el guión que seguiríamos. El presente post es la presentación de las estructuras conjuntísticas sobre las que se van a definir probabilidades. La meta es la definición rigurosa del concepto de variable aleatoria, tal y como se entiende modernamente.
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ALGEBRAS Y SIGMA-ALGEBRAS
Hace unos meses hablábamos de topología. Decíamos allí que se pueden definir unas estructuras en el seno del conjunto de partes de un conjunto, con ciertas propiedades interesantes para lo que queremos en cada momento.
Así, definíamos una topología sobre un conjunto X, como una colección de subconjuntos de X tal que cumplían tres propiedades:
1.- El conjunto total X y el vacío pertenecen a la colección.
2.- Si dos subconjuntos pertenecen a la colección, también pertenece su intersección.
3.- Para toda familia arbitraria de subconjuntos de la colección, la unión de todos ellos pertenece a la colección.
Con estas tres propiedades obteníamos la caracterización de unos subconjuntos distinguidos en cierto aspecto, que denominábamos abiertos de la topología.
Parece un hecho mágico que estas tres propiedades consigan tanto con tan poco, pero la realidad es que nada hay arbitrario aquí, y dichas propiedades son las que históricamente se han fijado como correctas para construir una topología.
El tema que nos ocupa ahora tiene poco que ver con la topología, pero parte de una construcción análoga: una colección de subconjuntos de un conjunto genérico X que cumple ciertas propiedades.
No perdamos de vista nuestro objetivo: X es un espacio muestral ; un conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.
En principio, cada subconjunto puede ser un evento. Más tarde quedará claro el inicio de la frase anterior en principio.
A lo largo de todos estos posts haremos referencia a los dos experimentos que mencionábamos al principio de la serie:
EJEMPLO A: Tirada de un dado.
EJEMPLO B: Elección de un punto en el intervalo [0,1]
Si nos fijamos en el experimento A, veremos que si tiene sentido pensar en el evento A=sacar menos de cinco, también será lícito preguntarse por el contrario Ac=sacar cinco o más.
El símbolo Ac se llama complementario de A, y supone la realización de un resultado no contemplado en A.
Así mismo, dados dos eventos posibles A y B, será lícito preguntarse por el evento unión de ambos. Estas dos propiedades que deben cumplir los eventos de un espacio muestral son suficientes para definir una estructura denominada álgebra en un conjunto
DEFINICION.
Dado un conjunto general X, un álgebra sobre X es un sistema de subconjuntos de X tal que:
1.- Si A pertenece al sistema, entonces Ac también pertenece.
2.- Si A y B pertenecen al sistema, su unión también pertenece al sistema.
Podríamos preguntarnos porqué es necesaria tanta complicación, si con el conjunto de partes de A tenemos ya a todos los subconjuntos contemplados, y por tanto a todos los posibles eventos. La respuesta no puede ser más sorprendente: en el caso más general, en el que el conjunto X de partida es infinito no numerable, como el del ejemplo B existen ciertos subconjuntos que no representan eventos. Pero este extremo lo entenderemos mejor cuando hayamos introducido el concepto de medida de un conjunto.
Las dos propiedades anteriores son mucho más potentes de lo que parece. Por ejemplo, dados dos subconjuntos A y B de un álgebra de X, no sólo la unión, sino que también la intersección pertenece al álgebra. Pero no hace falta alguna introducir una nueva propiedad; basta una aplicación trivial de las leyes de Morgan para deducirlo de las dos propiedades enunciadas. El desarrollo de la demostración lo tenéis a continuación:
Esto está pleno de sentido. Si dados dos eventos A y B, es lícito preguntarse por el evento unión de ambos, también lo es el preguntarse por el evento intersección: aquél que recoge los resultados individuales comunes a A y B, luego es necesario que en la estructura sobre la que vamos a definir probabilidades se de esta propiedad.
Cuando tenemos un espacio muestral como el del segundo ejemplo, infinito no numerable, es importante añadir una tercera propiedad :
3.- la union de colecciones infinitas numerables de subconjuntos de la colección también pertenece a la misma.
Las álgebras que cumplen esta tercera propiedad añadida se denominan sigma-álgebras .
Los espacios probabilizables que mencionábamos en el post anterior son simplemente el par (X,A) formado por el conjunto muestral; X={1,2,3,4,5,6} en el ejemplo A y X=[0,1] en el ejemplo B; y la sigma-álgebra correspondiente; el conjunto de partes de X en el ejemplo del dado A y algo más complicado en el caso B.
Ahora tenemos la casa preparada para empezar a habitarla. Las álgebras en el caso finito (sigma-álgebras trivialmente); y las sigma-álgebras en el caso general, se mostrarán como el aparato matemático idóneo para definir probabilidades en el seno de X
Parte del motivo de que esto sea así debe ser a estas alturas evidente por sí mismo: las propiedades elegidas para definirlas sigma-álgebras son las que necesitamos para los sucesos. La otra parte vendrá de la mano de la definición de medida, y de probabilidad.
13 comentarios
DunksNike -
Jordan Spizikes -
Sildenafil -
chido -
yadira -
Mirza -
como estas espero que muy bien, sobre lo que escribiste me ha ayudado mucho en mis tareas del colegio.
Por eso te lo agradesco mucho.Espero sigas escribiendonos mas.
te cuidas.
Fran -
Tio Petros -
Daniel -
TioPetros -
Chancellor -
Felicidades por la página, Tío Petros
Anónimo -
336 entradas de "leyes de De Morgan" frente a 669 entradas de "leyes de Morgan" en San Google.
Nunca había tenido esta duda, pero ya me has jodido.
No tengo ni idea. Quizás algún lector sepa darnos la información...
UN SALUDO.
juan -
lo estoy disfrutando bastante, la verdad.
solo una cosa: leyes de Morgan o leyes de de Morgan?
en clase tuvimos hasta debate.