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Tio Petros

El poliedro de Szilassi (1)

El poliedro de Szilassi (1) Una de las posibilidades más increíbles de la matemática es que permite demostrar la existencia o inexistencia de objetos (incluso geométricos, que podamos construir o tallar en un trozo de madera) de los que poco sabemos: un puñado de propiedades tal vez, pero no su aspecto. Tengan presente que estoy hablando de existencia matemática, de forma platónica.

Esa posibilidad es tan potente que la matemática la exporta al resto de las disciplinas científicas. Cuando leemos que un científico postuló la existencia de una partícula años antes de que fuera descubierta, estamos asistiendo a este aspecto de la ciencia del que hoy les quiero hablar.

La matemática ocupa un estatus muy especial dentro de la ciencia: no estudia el mundo, sino los modelos abstractos que los científicos construyen para entender el mundo. Si los modelos son adecuados y la matemática subyacente a ellos postula la existencia de un determinado objeto, tiene mucho sentido buscarlo y encontrarlo.

Con la matemática pura, no aplicada, pasa algo parecido, si bien el símil no es completo: no nos referiremos a la existencia física de un objeto, sino a la existencia matemática. No partiremos de un modelo del mundo que quizás, después de todo, sea falso, sino que trabajaremos sin hipótesis adicional alguna. Y si conseguimos demostrar nuestra afirmación, así quedará hasta el fin de los tiempos.

Quiero invitarles a un paseo quizás un poco más empinado que en otras ocasiones, pero que intentaré hacerlo fácil. Me gustaría llegar con ustedes a la convicción de que existe un cuerpo tridimensional muy especial del que a priori nada sabemos, y hacerlo pasito a pasito. Nos adentraremos un poco en aspectos topológicos y geométricos en general.

En el fondo, si yo pudiera demostrar tales cosas por mí mismo, seguramente no estaría haciendo un blog, sino escribiendo en revistas especializadas, de manera que les confesaré desde el principio que hay una trampa: el objeto YA fue descubierto en 1.977.

Es un poliedro muy especial, como verán. Espero que el viaje les sea ligero, aunque quizás en algún momento requiera un poco de concentración. Para hacerlo más liviano, partiremos el asunto en varios post.

Comenzar por los llamados sólidos platónicos me parece lo más apropiado. Como sabrán, los poliedros regulares son aquellos cuerpos sólidos cuyas caras son polígonos regulares, todas ellas iguales. Existen cinco (ni uno más ni uno menos), que son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Los pueden ver en la figura.

Cada uno de los cinco es una pequeña maravilla, que queda empequeñecida ante la magnificencia de la demostración de que estos son todos los poliedros regulares. Esta demostración es (según mi humilde entender) una de las más bonitas cosas que los matemáticos hayan realizado nunca. No en vano, el propio Carl Sagan no pudo resistirse, y en las últimas páginas de su best seller Cosmos incluyó la demostración . Hizo bien. Incluyó también la demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional, algo de importancia imposible de calibrar si uno no sabe previamente el horror que tal hecho causaba a los griegos, pero esa es otra historia.

La demostración que explica Sagan de que cinco son los sólidos platónicos, o regulares, se basa en una propiedad muy importante de todo poliedro, que los niños aprenden en los colegios con el nombre de Teorema de Euler , como si el bueno de Euler hubiera demostrado un único teorema en su vida.

Este teorema se expresa mediante la siguiente fórmula:

C – A + V = 2

Siendo C el número de caras, A el de aristas y V el de vértices. Lo que los niños no saben es que esto sólo es cierto para poliedros sin agujeros. Un prisma hexagonal con un agujero hexagonal en el centro por ejemplo no lo cumple. La fórmula generalizada para todo tipo de poliedros es:

C – A + V = 2 - 2h

donde h es el número de agujeros. Estamos en terrenos topológicos, donde lo que estudiamos son las propiedades más escondidas de los cuerpos geométricos: aquellas que permanecen invariantes por mucho que los deformemos mientras la demormación sea continua. El número entero C – A + V se llama característica de Poincaré de dicho cuerpo, por buenos motivos que veremos en su día.

Llevo cierto tiempo queriendo hablar de esta fórmula, engañosamente simple y de los secretos que encierra, pero lo dejaremos para mejor ocasión, y si les parece la daremos por buena. Cuando un cuerpo no está formado por caras planas, podemos hacer mediante deformaciones contínuas que sí lo sean, por lo que podemos hablar de su característica de Poincaré del mismo modo. Así, una esfera podemos convertirla en un cubo a martillazos, por lo que su característica de Poincaré será igual a 2, igual que cualquier sólido platónico.

De entre los cinco sólidos platónicos, sólo uno cumple la propiedad de que dado un par de caras, tienen frontera común: una arista. Para los otros cuatro, siempre podemos encontrar dos caras que no se toquen, y por lo tanto no compartan ninguna arista.

Nuestra pregunta es doble: ¿existen más poliedros (regulares o no) que exhiban esta propiedad del tetraedro? ¿Caso de existir, qué podemos saber de ellos?

La reflexión sobre esta pregunta nos llevará bastante lejos, y descubriremos que la respuesta es positiva, y que aún sin saber cómo demonios pueden ser dichos cuerpos, podemos afirmar de una forma aparentemente mágica pero perfectamente rigurosa muchas de sus propiedades.

Posteriormente, presentaremos tal cuerpo: el poliedro de Szilassi . Espero que el asunto tenga el suficiente misterio como para que me quieran acompañar en este paseo.
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13 comentarios

Felipe -

Hola soy alumno de la Universidad Adolfo Ibañez de Santiago de Chile, y necesito una demosracion simple como para alumnos de educacion media acerca del por qué solo exixsten 5 poliedros regulares.
Muchas Gracias

edgardo -

me parese muy bn q' hagan este tipo de trabajo
¡muy bien!!!!!!!!!!!!!!

yandhery -

quisiera la demostracion de este ejercicio:
Si G es un garfo toroidal probar que sus caras pueden ser pintadas con 7 colores

Laura -

soy profesora de matemática y me resulta apasionante el estudio de la geometría, en especial los problemas y retos no rutinarios.
Estoy contenta de haber encontrado su página con artículos tan interesantes.

fernanda -

no encontre nada esta del navo

Anónimo -

Crystal -

Menos mal que dejamos atrás la probabilidad (soy negada) y hemos empezado un tema nuevo que promete, espero no perderme por el camino....

Tio Petros -

Por algún error, el mensaje anterior es mío (Tio Petros), pero ha salido con autoría de Carlos.

Carlos -

Sobre cuestión de gustos no han nada escrito, pero yo personalmente soy de tu misma opinión.

Carlos -

Biennn , un tema que me gusta, despues de la probabilidad que no es mi fuerte ... La verdad es que el tema de la topologia y la geometria de bajas dimensiones, homología simplicial, singular y todo esto, es uno de los temas más bonitos de toda la Matemática.

Un Saludo.

Rimblow -

Sólo puedo decir que me encanta este tema, siempre que creido que los poliedros son expresiones de la belleza...

Vailima -

Qué contenta estoy. Superada la primera parte voyme rauda a la segunda. Dándole la razón a Shunt, tengo que decir que menos mal que has colocado la segunda parte del post. De lo contrario la inquietud no me hubiera abandonado en toda la mañana.
un saludo

Shunt -

...con lo cual, queda demostrada la existencia del suspense matemático...

Lo del suspenso en matemáticas es otra cosa :-)

Un saludo.
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