El poliedro de Szilassi (2)

Centrémonos en nuestra pregunta: ¿puede existir algún poliedro, además del tetraedro (regular o no) tal que cualquier par de caras tenga una arista en común?

Sabemos que, si no tiene agujeros, debe cumplir la relación:

(1) C – A + V = 2

Además, podemos establecer una relación entre las caras y las aristas. Efectivamente, habrá tantas aristas como parejas de caras. Si tenemos C caras, tendremos C(C-1)/2 aristas.

¿Porqué? Pues muy sencillo: Dada una cara cualquiera, tiene (C-1) caras más con las que formar una arista, luego tendremos C(C-1)/2 posibilidades. Dividimos por 2 porque cada arista ha sido contada dos veces: cuando tomábamos una de las caras, y cuando tomábamos la otra. Dicho de otra forma: el número de aristas es igual al número de parejas de caras, que es la combinación de C elementos tomados de dos en dos.

Así pues, tenemos:

(2) A=C ( C – 1 ) / 2

Respecto a los vértices, ¿podemos decir algo? Pues sí, podemos: en un vértice deberán unirse exactamente tres aristas. Menos de tres es imposible si queremos tener un sólido con volumen; y si fueran cuatro o más, tendríamos dos caras que sólo comparten un vértice, y queremos que toda pareja de caras comparta una arista. También sabemos que una arista corresponde por definición a dos vértices, luego podríamos contar el número de aristas contando el número de vértices, multiplicándolo por tres y dividiendo entre dos.

Por lo tanto:

(3) A = 3 V / 2 => V = 2 A / 3

Tenemos tres ecuaciones contres incógnitas: sustituyendo la segunda y la tercera en la primera, obtenemos lo siguiente:

C² - 7C –12 =0

Que tiene dos soluciones: C=3 y C=4.

Con tres caras no tenemos poliedro alguno, y con cuatro tenemos lo que ya sabíamos: EL TETRAEDRO . Por lo tanto, no existen más poliedros, al menos sin agujeros, que cumplan la propiedad del tetradero.

Hemos demostrado un teorema de inexistencia, y eso es más fuerte de lo que en principio parece: no existe, ni existirá ni ha existido jamás un poliedro tridimensional sin agujeros con la propiedad de que toda pareja de caras se encuentra en una arista, salvo en tetraedro (regular o no, eso no importa ahora).

Debemos pues buscar entre objetos más exóticos: vayamos a los poliedros con un agujero; topológicamente equivalentes a un toro o una rosquilla.

Dentro de esa fauna encontraremos lo que queremos. Será en el siguiente post.

7 comentarios

[Anónimo - 27 de mayo de 2004 - 01:28]

[Crystal - 10 de diciembre de 2003 - 22:00]

Pant, pant! ya llego al final, ya, que me ha costado unos días de retraso...

[Tio Petros - 05 de diciembre de 2003 - 09:40]

Para Vailima y Rimblow:
Aquí teneis el final de la historia, espero que os guste.
Para Shunt: Si el agujero es interior, el asunto es totalmente diferente: con un agujero exterior la figura es topologicamente equivalente a un toro; pero si es interior es equivalente a una esfera hueca. Nos referimos en todo caso (en este post) a agujeros exteriores.
Para Eratóstenes: estoy de acuerdo contigo: Sagan tenía y no tenía razón, lo cual no empequeñece en nada ni su obra ni su carisma. Además, seguro que sabía perfectamente el asunto. Sin una mínima licencia, es difícil hacer ficción.

[Eratóstenes - 05 de diciembre de 2003 - 00:12]

Cada vez que veo un dodecaedro, me viene a la memoria el inolvidable Carl Sagan, que tanta ciencia sembró en el mundo.

Recuerdo que cuando vi "Contact" en el cine y descubrí un dodecaedro dibujado en la máquina, supe que este hombre andaba por ahí. Tenía que ser él.

Después leí el libro y me encantó su final. Pero le debo al tío Petros haber entendido que, "en algún lugar perdido del número pi, expresado en base 11, hay un círculo formado por ceros y unos".

Sagan tenía y no tenía razón, pero eso no cambia la belleza del texto o de las matemáticas.

[Shunt - 04 de diciembre de 2003 - 13:31]

¿Y qué pasaría si el agujero está por dentro y no se ve?

[Rimblow - 03 de diciembre de 2003 - 12:32]

Estoy de acuerdo con Vailima en lo de que no está bin dejarnos asi, pero entiendo, que con pequeñas gotas, vas a conseguir que nos apasionemos por el tema. Me parece increible que se pueda demostrar si existen o no poliedros regulares con una cierta características. Solo me queda por decir que tengo un especial cariño por el tetraedro, me parece de una belleza icónica insuperable...

[Vailima - 03 de diciembre de 2003 - 09:47]

Aún habiendo superado también esta segunda parte, me desdigo del comentario que hecho en la primera. Una advertencia: no está nada bien dejarle a una con las ganas. ¡Vamos, digo yo!