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Tio Petros

La conjetura de Borsuk

La conjetura de Borsuk Dos reflexiones pueden servir para empezar este post, y ambas han sido realizadas bastantes veces desde este blog. La primera es que las conjeturas tienen en matemáticas un valor muy exiguo como afirmaciones, y un gran valor como acicate para nuevas investigaciones. De hecho, un sinnúmero de veces resultan ser falsas. Sin embargo el reto de demostrarlo ha espoleado a investigadores para transitar por caminos poco conocidos, alumbrando de paso rincones de la matemática, cuando no descubriendo zonas totalmente nuevas, más importantes que la mera dilucidación de la verdad o falsedad de la afirmación de la conjetura.

La segunda es que en matemáticas no hay nada inocente. La propiedad más ingenua en apariencia, el teorema más tonto, la propiedad más aparentemente infantil puede dar pie a complicaciones de extraordinario calado, y generalizaciones inimaginables a priori.

Hoy pretendo hablarles de algo bastante poco conocido: la conjetura de Borsuk .

El inicio del asunto no puede ser más simple: dado un subconjunto de R 2 , como el F de la figura, definimos el diámetro del mismo como el menor número real que es más grande que la distancia de dos puntos cualesquiera de F . En la figura, el diámetro de F es igual a la distancia entre los puntos A y B, los más alejados de entre todas las parejas de puntos de F .

Les muestro una partición de F en dos subconjuntos, F1 y F2 . Los diámetros respectivos de cada uno de ellos son menores que el diámetro del conjunto F original.

Normal , pensarán. Pues no, no es tan normal. Si nuestro conjunto de partida F es una figura tan poco rebuscada como un triángulo equilátero, entonces no podemos partirlo en dos figuras que tengan ambas menor diámetro que el original. El motivo es claro: al repartirse tres vértices entre dos, alguno se quedará con dos de ellos. Para ese, el diámetro será necesariamente igual al del objeto original. En resumen: necesitamos dividir el triángulo en tres partes para obtener diámetros menores que el original en cada una de las figuras de la partición.

Pueden ver la partición necesaria en la siguiente figura:



Así pues, las cosas no son tan sencillas. Llamemos B(F) al número entero que representa la mínima cantidad de trozos necesarios para partir la figura F de forma que todos los trozos sean de menor diámetro que el original.

¿Cuánto puede valer B(F) para una figura plana general? ¿Y para una figura tridimensional? ¿Y si F tiene 27.389 dimensiones?

Como pueden ver, la cosa se complica.

Para el caso de dos dimensiones, Borsuk demostró en 1.933 que con las tres divisiones que necesitaba el triángulo equilátero bastaba para cualquier figura. Así pues B(F) era menor o igual a 3 para cualquier figura de dos dimensiones.

Esto le dió pié a presentar su conjetura para el caso más general, que dice:

Sea F un subconjunto acotado del espacio n-dimensional. Entonces B(F) es menor o igual a (n+1).

Era una conjetura arriesgada. Conjeturar el caso general cuando sólo se conoce un caso concreto me recuerda a hablar de la posibilidad de vida extraterrestres cuando sólo conocemos el cao de nuestro planeta. Es tema harto difícil.

Sin embargo, el caso para tres dimensiones cayó en 1.955 ( veintidos años después del reto de Borsuk), cuando Eggleston demostró que para tres dimensiones hacían falta a lo sumo... ¡cuatro divisiones!. La conjetura cobraba fuerza.

La demostración de Eggleston debe ser de una complejidad inusitada, pero válida. Dos años después otro matemático, Grunbaum dió otra demostración del mismo hecho, algo más sencilla pero igualmente endiablada.

Quedaba aún el caso general... que vino a demostrar que la conjetura era falsa. Lo vemos en breve, si ustedes quieren; como siempre.
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2 comentarios

Tio Petros -

Hola Jorge. Había un lapsus teclae en el post, que queda corregido. He puesto otra figura para que quede más claro el caso del triángulo. Se trata de dividir la figura en el mínimo número de trozos que asegure que el diámetro de cada parte es MENOR que el diámetro de la figura original.
En el caso que mencionas del rectángulo ocurre como con la figura que encabeza el post: con dos partes basta, dividiéndolo transversalmente, luego B(F)=2 para el rectángulo. Ese no será el caso general en dos dimensiones, sino que será B(F) menor o igual que 3, según demostró el propio Borsuk...

Jorge -

Post interesante ...pero un tanto confuso.

Dices ``partirlo en dos figuras que tengan ambas me diámetro que el original'', entiendo que el ``me'' significa ``el mismo''.

``Llamemos B(F) al número entero que representa la mínima cantidad de trozos necesarios para partir la figura F de forma que todos los trozos sean de menor diámetro que el original.'' No queda claro si se refiere a que hay que partir F en unos trozos en concreto, o en todas las formas posibles.

Leyendo el resto del artículo, deduzco que se refiere a esto último. Ya que de lo contrario, un rectángulo de lados L y 2L, podría partirse en dos cuadrados; el `diámetro' del rectángulo es L por raíz de 5, y el de cada cuadrado es L por raíz de 2.

Espero impaciente el siguiente post.
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