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Tio Petros

Discusio magnifica

Es una pena que precisamente ahora sea imposible colocar comentarios. Yo tampoco puedo. Veremos si a lo largo del fin de semana se arregla el asunto, tras lo cual este post será eliminado por hacer referencia exclusiva a un asunto que podía haber sido tratado en los comentarios del post anterior. Hemos definido bases de entornos fundamentales de los puntos de un conjunto.

Por mucho que le doy vueltas, me vais a perdonar, pero no puedo estar de acuerdo con vosotros. Sigo manteniendo perfectamente la posibilidad de estar equivocado, pero me pasa exactamente como a Anónimo: de momento creo tener razón!!!

Cluje me ha mandado un correo al no poder postear, en el que me indica entre otras cosas la necesidad de que los intervalos [p-e,p+e) sean válidos tan sólo para e real positivo. Es cierto, faltaba tal precisión: para e=0 tenemos entornos unipuntuales que definirían la topología discreta, manifiesta asimismo que dichas bases debieran llamarse bases de entornos generales . Admito de buen grado ambos extremos, que además creo que satisfacen a Anónimo.

Ahora vamos a la cuarta propiedad:

4.- Dado un entorno U de un punto, existe otro entorno V tal que U es entorno de todos los puntos de V

Hay que comprender que de momento tenemos tan sólo definida una base de entornos para cada punto. No me vale decir que [p-e,p+(e/2)) es un entorno del punto (p-e), como hace Juan en su comentario. Este pertenece a la base de entornos del punto medio de (p-e) y de p+(e/2), que en ningún caso es (p-e).

He querido partir de cero, como hice cuando hablé de la construcción de los números. Y de momento no tenemos nada más que la definición de lo que son las bases de entornos de un punto p, extendido a todos los puntos p del espacio en cuestión. Son el conjunto de subconjuntos de R de la forma [(p-e), (p+e) ) con e mayor que cero en el ejemplo (mejor contraejemplo)que nos ocupa. Entonces, todo entorno perteneciente a la base de entornos del punto extremo izquierdo de U, a saber el punto q=(p-e), deberá ser de la forma [q-a,q+a )con a mayor que cero. Y NO EXISTE VALOR ALGUNO DE a PARA QUE DICHO INTERVALO ESTE DENTRO DE U, pues me salgo por la izquierda de dicho intervalo.

Por lo tanto, esta presunta base de entornos generales no lo es por no cumplir el punto cuatro.

Ahora tampoco?

Por un lado, Carlos y TioPetros, por el otro el resto. Esta discusión está resultando magnífica. Sois el orgullo de este blog.
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19 comentarios

TioPetros -

Sí, Crystal. TioPetros tiene lectores que saben mucho; pero de verdad. Por eso nunca dejo de agradecer las intervenciones. Especialmente las que intentan ayudar, como las que aquí se han vertido.
Un beso.

Crystal -

El problema es que aquí hay gente que sabe mucho y es muy lista, porque los profanos que nos asomamos de puntillas nos parece todo estupendo, jejeje. Vamos, que a mí Tio Petros me había convencido a la primera (y no es peloteo, que conste) ;)

Anónimo -

La ambiguedad de la propiedad 4, es omitir el punto del que es entorno V, como bien decía Carlos.
Se pueden poner dos versiones:
a) Dado un entorno U de p, para cada punto q de U existe un entorno V de q, tal que U es entorno de todos los puntos de V (como variamos q, sería suficiente con U contiene a V).
b) Dado un entorno U de p, existe un entorno V (también de p) tal que U es entorno de todos los puntos de V.
La topología definida en ambos casos probablemente sea la misma, pero las bases de entornos no lo son. En el primer caso estas imponiendo que los entornos deben ser abiertos (aunque sin haber definido abierto previamente), y por tanto el ejemplo propuesto NO es una base de entornos, por culpa del punto q=p-e, para el que es imposible encontrar el V.
Sin embargo si la definición es la segunda, el ejemplo propuesto SI es una base de entornos.
Dado que omites el q, yo (y Carlos) optamos por interpretar que debe ser el propio p, y por eso discrepamos DEL EJEMPLO, lo que está claro es que con ambas definiciones se puede construir una topología, que como digo, supongo que incluso será la misma.
Y lo que también está claro es que es una aproximación mejor para el profano, empezar a partir de los entornos, pero eso no es un impedimento para poner las definiciones meticulosamente, de lo que se trata es de que no pueda haber dos personas que al leerlo interpreten dos cosas distintas, y se enzarcen en una discusión estéril.

Tio Petros -

Es más, ni siquiera creo que sea menos riguroso. Podemos redefinir ahora los sistemas fundamentales de entornos con herramientas topológicas, definiéndolos como la subfamilia A(p)de todos los entornos E(p) de un punto tal que todo entorno U de E(p) contiene un elemento de A(p).
Este concepto tal y como lo hemos definido topológicamente coincide con el definido pre-topológicamente antes. Pero resulta que dede el principio tenía un sentido claro, auntes de definir la topología: sugerir la idea de proximidad, que era lo que quería resaltar por encima de todo.

Tio Petros -

Bueno, parece que la cosa se va aclarando poco a poco.
Realmente, creo que el problema está en lo siguiente:
Me parece perfecto empezar a definir una topología como el conjunto de los subconjuntos que satisfacen las tres propiedades conocidas, y decir que a estos los vamos a llamar abiertos. A partir de ahí, definimos entorno de un punto x como aquellos sunconjuntos A tales que existe un abierto U de la topología que cumple que x € U C A, Donde la "C" anterior es "está incluido en".

Qué sucede? Que a mi me parece que si alguien se acerca desde el desconocimiento total a la topología, no ve a todo esto sentido alguno (que lo tiene, claro que lo tiene, pero no es trivial), y este blog intenta explicar las cosas para que las entiendan los que aún no las saben.
Por esto, preferí acercarme a la noción de topología desde la noción de entorno.
Pero qué ocurre? Que la noción de entorno es una noción topológica, y yo si no quiero partir de la topología, debo utilizar herramientas pre-topológicas, esto es: meramente conjuntistas . Por ello definí "bases de entornos abiertos " como un concepto CONJUNTISTA, que ya he cambiado en todos los post por el nombre de "bases de entornos fundamentales". A partir de este concepto pre-topológico, fabricamos el concepto de abierto, y el de topología. Luego definimos los entornos topológicamente como acabo de decir.
Sigo pensando que es más didáctico, aunque sea menos riguroso.

Palimp -

Ya, ya se que la matemática es una ciencia exacta. Lo que pasa es que, históricamente, se han usado conceptos sin tener definición rigurosa de los mismos, más o menos 'intuitivos', de ahí las disputas (como ésta que nos ocupa).

juan -

tio petros.

tras leer tu nurva explicacion me quedo satisfecho. retiro mi objecion.

gracias.

Carlos -

La cuestión es que se dé una definición rigurosa de 4) (que la dada tiene ambiguedades) y saldremos de dudas. Por supuesto que es ciencia exacta, todo esto es una cuestión sintáctica.

Palimp -

Para que luego digan que las matemáticas son una ciencia exacta. Desde mi humilde ignorancia me apunto al equipo de Tio Petros, creo que los entornos semicerrados no cumplen la propiedad 4.
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Arthur -

¿Puedo añdir el concepto de entorno inclusivo, o no inclusivo.? no tienen por que ser vecinos de un punto. disculpad si no empleo la nomenclatura, soy muy vago :).

Cluje -

Mea culpa; tal y como Tío Petros los ha definido, los entornos [p-e,p+e) no cumplen
4), por la razón que él dice, y no está claro que se defina una topología a
partir de estos entornos (sería la usual si ocurriera eso); por otra parte, lo
que sí ocurre es que podemos tomar los conjuntos [p-e,p+e), con p variando,
como base de una topología de R que es más fina que la usual.

Buen finde, y os ciberveo el lunes.

Anónimo -

En efecto Carlos, me refería a Tio Petros, cuando yo empecé a escribir todavía no estaba puesto tu post. Y en efecto yo también interpreto la propiedad 4 como tu.

Carlos -

Exacto Anónimo. Eso es lo que yo también he dicho. Supongo que lo de que seguimos no estando deacuerdo iba a Tio Petros, porque yo he dicho lo mismo que tu.

Por cierto, una matización:

Si 4 fuera : Dado U entorno de x, entonces para todo y de U, existe entorno V de y tal que para todo z de V , U es entorno de z.

Si Tio Petros quisiera decir esto, tendría razón. Si quería decir lo que Anónimo y yo (ahora) hemos entendido, es decir, que V es entorno del mismo punto que U, entonces Tio Petros estaría equivocado. Tan simple como esto. Que el nos lo aclaré. Creo que este problema ha surgido por escribir la V en la definición sin especificar de que puntos es entorno.

Anónimo -

Pues me parece que seguimos sin estar de acuerdo, en principio una matización, en lo anterior se hablaba sólo de entornos, y después se pasó a hablar de base de entornos (generales, abiertos o a secas, como se prefiera), lo cual precisa de una definición extra:
Una base de entornos es sólo una parte de todos los entornos, de modo que se cumpla una condición: Dado un entorno cualquiera U, existe otro de la base, digamos V, tal que V está contenido en U. Es decir un entorno es un conjunto que contiene a algún entorno de la base.
Vamos ya a la propiedad 4, que dice que si U es un entorno de un punto x, debe existir otro entorno de x, al que llamaremos V, tal que U también es entorno de todos los puntos de V (y no sólo de x).
La cuestión es que la palabra que lleva delante V es "existe", es decir V no es un subconjunto cualquiera de U, es uno elegido adecuadamente para que se cumpla la condición, o bien si queremos ver que no se cumple tenemos que ver que ningún V sirve.
Como yo pretendo demostrar que se cumple, debo buscar el V, y lo hago de la siguiente forma:
Sea U un entorno de p.
Como B={[p-e,p+e)} es una base de entornos existe e positivo tal que U contiene a [p-e,p+e).
Ahora el V que yo elijo es [p-e/2,p+e/2) (valdría (p-e,p+e), pero así es más fácil, como es de la base, es claro que es entorno de p).
Y lo que debo probar es que U es entorno de todos los puntos de V, lo cual también es muy fácil, dado a en V tomo [a-e/2,a+e/2), que obviamente es entorno (también de la base) de a, y que claramente está contenido en [p-e,p+e), que a su vez está contenido en U, luego por definición de base de entornos, U es un entorno de a (porque contiene a [a-e/2,a+e/2) que es de los básicos), y como a era un punto arbitrario de V, U es entorno de todos los puntos de V, con lo cual existe un V que verifica la condición 4, con lo que los conjuntos propuestos cumplen las 4 condiciones, y por tanto son base de entornos.
Por cierto la topología que definen es la habitual, porque la base de entornos habitual B'={(p-e,p+e)} es equivalente, ya que todo entorno de la primera [p-e,p+e) contiene a uno de la segunda (p-e,p+e), y todo entorno de la segunda (p-e,p+e) contiene a uno de la primera [p-e/2,p+e/2), luego ambas bases definen los mismos entornos, y por tanto la misma topología.
Si con esto no vale, yo ya no se explicarlo mejor.

Carlos -

Seguimos aclarando cosas:

"q=(p-e), deberá ser de la forma [q-a,q+a )con a mayor que cero"

Pero V de está forma parte de B(q)={V entornos de q : V=[q-a,q+a[} , y no DE B(p), tal como lo era U. Por lo tanto, U no tiene porque ser entorno de todos los puntos de V.

Carlos -

Por ejemplo:

Tenemos un entorno DE p , U , y está propiedad nos dice que existe otro entorno V DE P!!!! tal que U es entorno de todos los puntos de V. En este caso : Si U(p)=[p-e, p+e[ Sea V(p)=[p-e/2, p+e/2[ es entorno de p y U es entorno de todos sus puntos , en particular para el extremo izquierdo: [(p-e/2)-e/2 ,(p-e/2)+e/2[ =[p-e,p[ es entorno de p-e/2 y está dentro de U , luego U es entorno de p-e/2.
Igual para todos los puntos de V (el anterior era el más “crítico”).
Creo que ahora se entiende.

Carlos -

El Anónimo este (no el de antes) soy yo.

Anónimo -

Vale, pensaba que estabamos con entornos sólo, pero había leido mal,ya que me parece, se ha confundido entorno de un punto con el de todos sus puntos (abierto): Dice Tio Petros:

"Entonces, todo entorno perteneciente a la base de entornos del punto extremo izquierdo de U, a saber el punto q=(p-e), deberá ser de la forma [q-a,q+a )con a mayor que cero"

Si, pero ese entorno NO pertenece a la base de entornos de p, y por lo tanto, no tiene sentido en la definición ver si está incluido o no.
Tendría sentido si la definición dijese :

Sea U entorno de p, entonces, para todo x de U , existe V entorno de x, tal que U es entorno de todos los puntos de V.
Entonces tendría razón Tio Petros. Pero no estamos todavía con abiertos. Asi pues, U(p)={ [p-e,p[} con e>0 si que es base de entornos de p. NO ES base abiertos.

ahh -

ahh
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