Una vuelta de tuerca al problema de Monty Hall
En los comentarios de un post anterior se mencionaba el famoso problema de Monty Hall. No tenía intención de hablar de él, por aquello del compromiso inicial de huir del tópico; pero he encontrado una vuelta de tuerca al asunto muy interesante.Recordemos el problema y su solución:
En un concurso nos ofrecen tres cofres: uno con un premio y dos vacíos. Elegimos uno de ellos, y luego el presentador nos abre uno de los otros dos, que está vacío. Ahora nos da la oportunidad de quedarnos con nuestra elección primera o cambiar. Supondremos que el presentador nos ofrece el cambio siempre, que no es una estrategia que use a su conveniencia.¿Qué debemos hacer?
La solución del problema es que debemos cambiar: de esta forma doblamos las posibilidades de llevarnos el premio. No quiero incidir en esto, pues está muy hablado ya, y el que no se lo crea puede revisar en la web mil páginas que lo explican. La aceptaremos sin discusión.
La vuelta de tuerca es la siguiente:
Tenemos TRES concursantes, cada uno de los cuales ha elegido un cofre distinto. El presentador abre uno de los cofres vacíos, con lo que el concursante correspondiente queda eliminado. Ahora, los dos restantes, que conocen la solución al problema de Monty Hall, cambian sin dudar sus respectivos cofres para doblar sus posibilidades: pero esto es absurdo!
Entre ambos tienen siempre el 100% de posibilidades, es imposible que doblen sus probabilidades ambos a la vez. Por otro lado, no vemos que ninguno de los dos concursantes pueda tener ventaja alguna sobre el otro...
¿Qué sucede aquí?
Quisiera animarles a participar con sus comentarios. Los comentarios son los que le dan vida al blog. Cada comentario es un regalo para el autor y para el resto de los lectores.
42 comentarios
Ronald Becerra -
El concursante japonés no tiene manera de saber cuál de las puertas es la que corresponde a la original en el concurso Monty Hall del español y cuál es la otra que dejó cerrada el presentador, así que es tan probable que escoja una como la otra. Una vez escogida la B, el japonés ha elegido la puerta que tiene 2/3 de probabilidad, sólo que no lo sabe y todavía piensa en 1/2.
Eso de que la probabilidad dependa de su conocimiento o no no debe parecer nada raro, porque si lo vemos desde el punto de vista del presentador, una vez que el concursante ha elegido ya sabe si acertó o perdió (100% de probabilidad o 0%), así que ahí ya no cuenta el 2/3. Nota que cuando dices que ya ha escogido la B te estás restringiendo a un caso específico, porque no necesariamente tuvo que haber escogido ésa. Lo que hace la diferencia entre los dos concursantes es el momento en que tienen que elegir, no cuando ya hayan elegido. El concursante español puede darse el lujo de forzar su elección a la puerta que tiene mayor probabilidad porque sabe cuál es, mientras que el otro no.
Si se repitiera el experimento muchas veces, el japonés aproximadamente la mitad de las veces habría escogido la puerta que para el español era la original, y aproximadamente la mitad la otra, por lo que al final terminaría ganando 1/2 de las veces.
Esto también te debería aclarar el segundo escenario que planteas. Cuando la otra persona le informa, solamente le advierte que ya está en el caso específico en que tiene 2/3 de probabilidad, pero eso no va a cambiar si va a ganar o no. De todos modos, cuando el presentador le abriera la puerta, le estaría informando si tiene 100% o 0%.
Juan carlos z s -
Juan carlos z s -
Juan carlos z s -
Juan carlos z s -
antonio dieguez -
lino -
Me parece especialmente vibrante la entrada de agagar con la variante japonesa.
Comentar que el problema aquí es el propio problema, es decir , si por alguna extraña razón el japo siempre elige la misma caja que el concursante experto de Monty Hall tendría , medie llamada telefónica o no, la misma probabilidad de acertar que el agudo concursante: 2/3,. Estaríamos hablando aquí, por supuesto, de una probabilidad condicionada.
Fina -
arovis -
- 33,3% de probabilidad de elegir el coche en la primera y perder.
- 33,3% de probabilidad de elegir el cofre que abrirá Monthy y perder.
- 33,3% de probabilidad de elegir la otra cabra y ganar.
Hola -
Estadística del Juego
6 total partidas
100 % Ganas cuando no cambias. (3 de 3)
33 % Ganas cuando cambias. (1 de 3)
Wilmar Rodriguez -
En la vuelta de tuerca la probabilidad es de 1/3 por que cabe la posibilidad de que el eliminado seas tu, si logras pasar dicha probabilidad se convierte en 1/2 por lo que daría lo mismo cambiar o no cambiar de baúl.
Muchas gracias por estos interesantes problemas
Riko -
Esteban Rozo -
Omar -
Ahora acerca de los tres cofres si ambos han visto que uno de los cofres no tenia nada y ambos deciden intercambiar se da lo siguiente: que ambos tienen 2/3 de posibilidades de ganar el premio mayor, PERO tambien tienen ambos 1/3 de posibilidades de perder. Esto hay que tomarlo del punto de vista individual y no grupal y si lo toman desde este punto de vista se daran cuenta que se da lo mismo que en el problema de Monty Hall.
agagar -
En un concurso televisivo japonés, se le presentan al concursante tres puertas, A, B y una puerta C abierta mostrando una cabra. Detrás de una de las puertas hay un coche. Obviamente no está detrás de la puerta C. El concursante escoje la B. Tiene 1/2 de probabilidad de conseguir el coche, ¿no? Las puertas de ese concurso no están físicamente en el plató, sino que se muestran en una pantalla.
Por otro lado, en un concurso televisivo español se está jugando al Monty Hall. Hay tres puertas, el concursante escoje la A, el presentador abre la C, se descubre que escondía una cabra, le pregunta si quiere cambiar de puerta o quedarse con la misma, el concursante cambia a la puerta B. En ese momento tiene 2/3 de probabilidad de ganar. En ese momento realizan una conexión en directo desde un concurso japonés.
El concursante japonés ve en pantalla tres puertas, dos cerradas (A, B) y una abierta (C) que muestra una cabra. Son las puertas del concurso español, pero él no lo sabe. Escoje la B.
En ese instante simultáneo y en juego físicamente las mismas puertas, y habiendo elegido la misma puerta B, el concursante español tiene 2/3 de probabilidad de ganar, y el concursante japonés solo 1/2. ¿Eso es así aunque le cueste a la intuición, no?
Variante: El concursante japonés ve tres puertas, dos cerradas (A, B) y una abierta (C) que muestra una cabra. Piensa en escojer la B. Tiene 1/2 de probabilidad de ganar. Recibe una lamada de un amigo español que le informa de que esas puertas que está viendo en pantalla son las de un concurso tipo Monty Hall en que el concursante ha cambiado de puerta a la B. Por esta llamada, el concursante japonés pasa a tener 2/3 de posibilidades de ganar en vez de 1/2, ¿no?
Posiblemente sea muy obvio para vosotros, pero agradecería cualquier aclaración, no soy matemático y mi intuición se niega a entenderlo aunque la lógica (y los resultados experimentales) digan que es así.
Gracias de antemano,
Francisco -
NO veo la diferencia
Fernando -
En el problema de Monty Hall original, el concursante sabe que, tanto si la puerta elegida inicialmente tiene premio como si no, nunca se abrirá su puerta. Por tanto, al abrir otra puerta, no se le da ninguna información adicional.
En cambio, en la "vuelta de tuerca", si tu puerta no tiene premio, tú puedes ser el que sea eliminado al principio. El hecho de que tú no hayas sido eliminado, sí te proporciona información adicional.
paco -
http://www.artstudiomagazine.com/tecnologia/critica-paradojas-ciencia-monty-hall.html
R. Jorge -
Evidentemente es 0,5
¿Escoger entre cambiar o no? ¡Yo lo decidiría a cara o cruz!
R. Jorge
R. Jorge -
¿Nos hemos olvidado de la condicionada?
Las explicaciones de mejora se basan en la distribución a priori: en el primer espacio teníamos tres cajas equiprobables y un tercio de ganar.
Pero en el momento que nos dan una información (una de las cajas está vacía) el espacio probabilístico ha cambiado: la probabilidad de haber acertado ya no es de 1/3. Solo hay dos resultados posibles que siguen siendo equiprobables y por lo tanto las probabilidades (condicionadas, evidentemente) son 0,5, es decir P(C1= premio
joel -
iris moreno -
En segundo lugar, las probabilidades de ambos serían iguales una vez que se destape la primera cabra. Porque? Forzozamente uno tiene una cabra y uno tiene un coche. Cambiar de caja neutraliza las posibilidades ya que le da ventaja a uno de los jugadores pero se la quita al otro.
Valentín -
Angel -
Creo que no debemos confundir, mayor probabilidad con certeza total.
Cada jugador tiene 2/3 de probabilidad de acertar si cambia de caja el otro tercio hasta la unidad es el caso de no cambiar.
Pero que yo tenga 2/3 de probabilidad de acertar cambiando de caja, no implica que acierte seguro.
Si pensamos en el problema original (que es el mismo) se aconseja cambir de caja porque hay más probabilidad de acertar, pero eso no implica certeza total, el premio podría estar en la caja que abandonas, es menos probable, pero al fin y al cabo posible.
Gabriel -
Gabriel -
Juan Fer -
Manolo -
El proceso por el que se halla llegado a la situación os debería dar lo mismo. El hecho es que la probabilidad de que la caja que tienes tenga premio es equiprobable con que no lo tenga.
[Quique] -
"yo si cambio mi caja vacía me gano un lindo autito" (fíjate y verás que esto pasa dos veces de cada tres!)
"si tenia la caja con el premio no lme llevo nada" (fíjate que esto sólo pasa una de cada tres veces!)
Por lo tanto, ganarás el lindo autico conprobabilidad 2/3.
Consejo eterno: coje dos bolas blancas y una negra (el auto). un dao, tres cajitas, un ayudante y hazlo muchas veces. Anota los resultados. De 100 veces, ¿cuantas veces conseguiste el auto?
Ivan -
y el monty hall este siempre va a descartar unacaja vacia. No entiendo.
Abraham -
tio Johnny -
El experimento aleatorio es diferente en ambos casos.En la formulación original: la probabilidad de haber elegido el cofre con el premio es 1/3 y de haberse equivocado 2/3 de ahí que convenga cambiar el cofre. En la nueva formulación hay 1/3 de haber elegido el premio,1/3 de ser descartado por el presentador y 1/3 de no ser descartado y no haber elegido el premio. Los dos concursantes "en pie" tiene probabilidades equivalentes de tener el premio.
Alvy -
El presentador retira a 998 concursantes y deja a dos. Cualquiera de esos dos tenía originalmente 1/1000 de ganar el premio, ahora quedan solo dos cajas. Y para que la probabilidad pase a ser 1/2 deben cambiar de caja. Al menos yo lo haría.
Tio Petros -
Como le pasó a uno de los Bernoulli cuando vió el problema de la braquistocrona resuelto por Newton y firmado con seudónimo, así me ha pasado a mi: "por las garras conocemos al león".
Tio Petros -
Sam Berimbad -
Sam Berimbad -
En el problema original el presentador tiene una restricción: no puede abrir el cofre elegido por el concursante (y sí cualquiera de los otros dos); por tanto, el retirar un cofre vacío no aporta ninguna información sobre un cambio en la probabilidad del primero (el cofre del concursante no es retirado, no porque tenga premio o lo deje de tener, sino porque no está permitido por las normas del concurso). La probabilidad de éste de albergar el premio sigue siendo 1/3 (mientras que el resto de la probabilidad, 2/3, se distribuye ahora por entero en el cofre restante).
Esta restricción o ligadura no existe en la vuelta de tuerca que plantea Tio Petros. A priori, cualquiera de los tres cofres puede ser abierto por el presentador; el hecho de retirar uno vacío nos informa, ahora sí, de un cambio en la probabilidad de los otros dos (cualquiera de ellos puede tener el premio con igual probabilidad). El total de la probabilidad se distribuye pues, simétricamente entre los dos cofres restantes (como dice Mariano, pasa de 1/3 a 1/2 en los dos cofres que quedan). Cambiar de cofre no beneficia a ninguno de los dos concursantes.
El matiz diferencial de ambos casos es pues, la presencia o ausencia de dicha restricción.
[Quique] -
Mariano -
Alvy -
Shunt -
Luego echan a uno en la primera fase. Esto supone que el resto del protocolo ha quedado desvirtuado respecto del original. Se podría decir que si te quedas, da igual si cambias o no. Y si te echan es como si te divides entre cero :-) El que se va se lleva la esencia del problema original.
Lo que sí podrían hacer los que quedan es ponerse de acuerdo para no cambiar (o hacerlo los dos) y así asegurarse el premio. Claro que, en las conversaciones tripartitas iniciales, podrían haber acordado llevarse 1/3 cada uno. En resumen, ya no es lo mismo.
rimblow -