CARACTERIZACIONES
Hemos comentado varias veces que la palabra elemental en matemáticas es un arma de doble filo. Las demostraciones elementales de teoremas en teoría de números, por ejemplo son el paradigma de la extrema dificultad, mientras que utilizando el arsenal sofisticado del análisis complejo, las demostraciones muchas veces se realizan en dos renglones. Así mismo hay conceptos elementales que son difíciles de aprehender, y tan sólo son elementales porque no surgen de generalizar otros conceptos preexistentes. No va a ser así en este caso: vamos a hablar de algo fundamental en la matemática, algo elemental y a la vez muy sencillo. Se trata de las condiciones suficientes, las condiciones necesarias y las condiciones suficientes y necesarias (caracterizaciones). Estos sencillos conceptos impregnan la matemática toda, y nada es posible hacer sin ellos. Dado que en los últimos post hemos estado hablando de los números racionales, vamos a servirnos de ellos para hablar de estos conceptos.
La definición formal de lo que es un número racional es un poco más complicada de la que vamos a ver aquí, porque implica el manejo de clases de equivalencia (otro de los conceptos capitales en matemáticas), pero daremos por buena la siguiente definición: Un número racional es un número expresable por el cociente de dos enteros.
Un número de este tipo tiene una expresión decimal formada por una parte entera, una coma y una serie infinita de decimales. Digo infinita, porque considero que para aquellos racionales que sólo tienen cierto número de decimales, existe una secuencia infinita de ceros tras ellos.
Los números reales irracionales también son expresables de la misma manera. ¿Son diferentes unos de otros en su expresión decimal?
Lo son. Esta diferencia desgraciadamente no siempre sirve para saber si un número es racional o no, por causas que luego veremos y que ahora no importan. Lo importante ahora es que esa diferencia existe, y sirve EN PRINCIPIO para diferenciarlos.
Vamos a demostrar los siguiente: Si un número es racional, entonces a partir de un momento, sus decimales se repiten periódicamente. Basta ver el algoritmo usual de la división (ver figura):
Cada nuevo decimal que hallamos se obtiene operando con el resto que nos queda del anterior, ¿verdad? Dado que el resto debe ser un entero menor que el divisor, sólo existen un número finito de restos posibles distintos. Eso quiere decir que antes o después nos encontraremos con un resto que ya teníamos, y a partir de ese momento, todo se volverá a repetir irremisiblemente.
¿Hemos demostrado ya la diferencia entre los racionales e irracionales? En absoluto. Lo único que hemos demostrado es que > Si un número es racional, entonces a partir de un momento, sus decimales se repiten periódicamente. Nada sabemos de momento al respecto de la posibilidad de periodicidad en los decimales de los irracionales. Lo que tenemos es una condición necesaria para tener un racional. ¿Porqué necesaria? Pues muy sencillo, porque al demostrar que todo racional cumple la periodicidad en sus decimales, sabemos automáticamente que todo incumplimiento de esta circunstancia implica que el número no es racional. Es necesario que se cumpla la condición para tener un racional. Aún no sabemos si es suficiente.
Demostremos ahora lo siguiente: Si a partir de un momento, los decimales de un número se repiten periódicamente, entonces el número es racional.
Esto es también muy fácil. La parte periódica del número (que tendrá, n cifras, puede expresarse como el cociente de dichas cifras entre el número formado por tantos nueves como cifras tiene, por ejemplo 0.123123123123123...= 123/999 , luego es racional. Si dicha parte empieza en el n-ésimo decimal, basta añadir (n-1) ceros en el denominador: 0.0000123123123123123...= 123/9990000.
La parte que queda del número (sus primeros decimales hasta llegar a la parte periódica) siempre será racional, pues bastará dividir sus cifras por la potencia de 10 necesaria.
( 0,765123123123123...= 0,765+0.000123123123...=( 765/1000 )+ ( 123/999000) )
Y como la suma de dos racionales es siempre otro racional, ya está demostrado.
Esta última demostración es inversa a la anterior: ahora sabemos que si hay periodicidad, entonces el número es racional; antes sabíamos que si el número era racional, había periodicidad. Antes teníamos una condición necesaria para la racionalidad , ahora tenemos una condición suficiente.
Dado que en ambos casos la condición es la misma, tenemos una condición suficiente y necesaria , que en matemáticas es lo más guay que se puede tener. ¿Porqué? Pues porque si se cumple la condición, estamos con un racional, y si no se cumple, no. Este tipo de condiciones resume la esencia del problema completamente. Tanto es así, que a partir de ese momento, podemos sustituir la definición primitiva que teníamos, por el cumplimiento de la condición sin ningún problema. Eso es una caracterización.
Siempre que encontréis una frase matemática en la que figure la coletilla si y solo si , estaréis ante una caracterización, que sustituye a una definición. Será siempre una condición suficiente y necesaria para que se cumpla algo, y recogerá en una frase la esencia del problema. Concisión y economía de pensamiento: parte importante de la belleza matemática, ¿no creen ustedes?
12 comentarios
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Sildenafil -
Ivan Garcerant -
Es una opinión sincera, lo juro.
jorge -
lidya -
maniaticko -
Crystal -
Si mi opinion no fuera sincera no la pondria.
Pedro -
Es una opinión sincera, lo juro.
fernand0 -
Una de ellas, tratar de ver por qué no te gusta, y si eso se puede cambiar (en cualquiera de los dos lados de la comunicación).
Otra es, simplemente ignorarlo, y dedicarse a cosas más intersantes.
Pero nunca entenderé a alguien que escudado en su amor a las letras habla de odio a las matemáticas.
Es una opinión sincera. Lo juro.
Rimblow -
Tio Petros -
A ti también te entiendo... a medias. Lo que no entiendo es que coño tiene que ver la veneración a las letras con el odio a la matemática.
Es una duda sincera. Lo juro.
Morgaine -
Mi más sincera admiración a los que ven sentido a los galimatías que nos están vedados a los que veneramos las letras.
Es una opinión sincera. Lo juro.