Les presento una serie de unos ocho posts sobre un tema especialmente querido entre los amigos de las matemáticas, y varias veces mencionados en Tio Petros: el tema de los números grandes. El autor del texto es Scott Aaronson, 1999 y la traducción al castellano ha sido realizada con permiso expreso del autor por un habitual colaborador de Tio Petros: Jorge Alonso.
En un viejo chiste, dos nobles compiten en nombrar el mayor número. El primero, después de rumiar durante horas, proclamó triunfantemente “¡Ochenta y tres!”. El segundo, poderosamente impresionado, contestó “Tú ganas”. El desafío por el mayor número claramente no tiene sentido cuando los contendientes lo hacen por turnos. Pero ¿qué pasaría si los contendientes escribiesen sus números simultáneamente, ninguno conociendo el del otro? Para presentar una charla sobre “números grandes”, invité a dos voluntarios de la audiencia a intentar precisamente eso. Les dije las reglas:
Tenéis quince segundos. Utilizando la notación matemática normal, palabras inglesas, o ambas, nombrar un sólo número entero, no un infinito, en una tarjeta en blanco. Ser lo suficientemente precisos para que cualquier matemático moderno pueda determinar exactamente qué número habéis nombrado, consultando únicamente tu tarjeta y, si es necesario, la literatura publicada.
Así que los contendientes no pueden decir “el número de granos de arena en el Sahara”, porque la arena fluctúa hacia dentro y hacia fuera del Sahara con regularidad. Tampoco pueden decir “el número de mi oponente más uno”, o “el mayor número que nadie jamás pensó más uno”; de nuevo, están mal definidos, dado lo que nuestro razonable matemático tiene disponible. Dentro de las reglas, el contendiente que nombre el mayor número gana. ¿Estáis listos? Preparados. Ya. Los resultados de la contienda nunca son lo que yo esperaría.
Una vez, un chico de séptimo grado llenó su tarjeta con una cadena de sucesivos nueves. Como muchos otros principiantes de los grandes números, buscó maximizar su número poniendo un 9 en cada posición decimal. Si hubiera elegido el 1, más fácil de escribir que el curvado 9, su número podría haber sido millones de veces mayor. Sin embargo, todavía sería diezmado por la chica con la que se enfrentaba, que escribió una cadena de nueves seguida por un superíndice 999. ¡Ajá! Una potencia: un número multiplicado por sí mismo 999 veces. Dándome cuenta de su innovación, declaré la victoria de la chica sin preocuparme en contar los nueves de las tarjetas. E incluso el número de la chica podría haber sido mucho mayor todavía, si ella apilase el poderoso exponencial más de una vez. Coge 99^9, por ejemplo. Este behemot, igual a 9387 420 489, tiene 369 693 100 dígitos. Por comparación, el número de partículas elementales en el universo observable tiene escasamente 85 dígitos, más o menos. Tres nueves, cuando se apilan exponencialmente, ya nos elevan incomprensiblemente más allá de toda la materia que podemos observar... en un factor de aproximadamente 10369 693 015.
Notación decimal, potencias, exponenciales apilados: cada uno puede expresar los ilimitados grandes números, y en este sentido son todos ellos equivalentes. Pero los sistemas de notación difieren dramáticamente en los números que pueden expresar concisamente. Eso es lo que los quince segundos de tiempo límite ilustran. Lleva la misma cantidad de tiempo escribir 9999, 9999 y 99^9^9... todavía el primer número es cotidiano, el segundo astronómico, y el tercero hiper-mega astronómico. La clave al desafío de los mayores números no una rápida escritura, sino más bien un potente paradigma para la captura concisa de la gargantúa. Tales paradigmas son rarezas históricas. Encontramos agitación en la antigüedad, otra agitación en el siglo veinte, y no mucho en medio. Pero cuando una nueva forma de expresar concisamente grandes números emerge, es a menudo como un subproducto de una revolución científica mayor: matemáticas sistematizadas, lógica formal, ciencia computacional.
Revoluciones importantes, como cualquier partidario de Kuhn puede decirte, sólo ocurren bajo las correctas condiciones sociales. Así, la historia de los grandes números es la historia del progreso humano. Y aquí yace un paralelismo con otra historia matemática. En su notable e infravalorado libro Una historia de π, Petr Beckmann argumenta que la razón entre la circunferencia y el diámetro es “un singular espejo de la historia del hombre”. En las raras sociedades donde la ciencia y la razón encontraron refugio (la temprana Atenas de Anaxágoras e Hippias, la Alejandría de Eratóstenes y Euclides, la Inglaterra del siglo diecisiete de Newton y Wallis) los matemáticos dieron tremendos pasos en el cálculo de π. En Roma y en la Europa medieval, por constraste, el conocimiento de π se estancó. Rudas aproximaciones como el 25/8 de los babilónicos y el 3 de la biblia se mantenían alternantes.
Pienso que este mismo patrón se aplica a los grandes números. La curiosidad y la franqueza llevan a la fascinación por los grandes números, y al boyante punto de vista de que ninguna cantidad, sea el número de estrellas en la galaxia o el número de manos posibles en el bridge, es demasiado inmensa para que la mente lo enumere. Recíprocamente, la ignorancia y la irracionalidad llevan al fatalismo respecto a los grandes números. La biblia, por ejemplo, se refiere veintiuna veces a la supuesta incontabilidad de la arena. Mira en génesis 32:13 “Sin embargo tú me dijiste: Yo te haré el bien y haré tu descendencia como la arena del mar, tan numerosa que no se puede contar.” O hebreos 11:12 “numerosa como las estrellas del cielo e incontable como la arena de la orilla del mar”. Esta noción de que la multitud de granos de arena bien podría ser infinita, que es para la pasmada estupefacción pero no para la cuantificación, es antigua. El historiador Ilan Vardi cita la antigua palabra griega ψαμμκoσιoι, o ciento-arena, de significado coloquial tropecientos millones; así como un pasaje de la Oda olímpica II de Píndaro afirmando que “la arena escapa de ser contada”.
The answer is extremely straightforward. It is allin how they understand their troubles. Yes, each and every dwelling person has problems. A problem-free existence is an illusion-a mirage inside the desert. Accept that fact.
paradoja -
Iván, a dirección de la página 2 correcta es: http://tiopetrus.blogia.com/2006/022301--quien-puede-nombrar-el-mayor-numero-2-8-.php
Ackermann se explica un par de posts más adelante, pero no es la sucesión que crece más rápido.
saverio -
Hay una función entera, la de Ackermann, que es de "sencilla" definición, y es no recursivamente enumerable. Para los mortales, crece más de cualquier cosa razonable. Si escribes algo como a(n):=Ack(n)
a(a(a(a(a(a(a(a(a(a(a(9))))))))) creo que ganas a cualquiier exponencial.
Por entendernos, a(5) es BASTANTE grande y a(6) no se puede calcular con el ordenador.
Yo sí pensé en las potencias. Me habían puesto el acertijo de con dos nueves hacer el número más grande y enseguida descubrí que era nueve elevado a nueve. Siento mucho que no vayas a seguir con el blog porque lo acabo de descubrir pero lo entiendo porque sé el mucho tiempo que esto se lleva. Me leeré todo lo antiguo a ver si aprendo algo. Un saludo,
Heimy -
Mmh... Maravilloso. Sólo una pega al traductor: el nombre del poeta, en castellano, es Píndaro :)
11 comentarios
Jordan Spizikes -
paradoja -
Camila -
Ivan -
Jorge -
saverio -
Si escribes algo como
a(n):=Ack(n)
a(a(a(a(a(a(a(a(a(a(a(9)))))))))
creo que ganas a cualquiier exponencial.
Por entendernos, a(5) es BASTANTE grande y a(6) no se puede calcular con el ordenador.
Remo -
Jorge -
js: Nota que, por ejemplo, 4! = 1*2*3*4 < 4*4*4*4 = 4^4.
js -
Virginia -
Heimy -