Continuidad (y 3)
Este post es casi completamente prescindible. Pero una promesa es una promesa, y prometimos ver que el galimatías al que hacíamos referencia hace dos post, y que reproduzco aquí:
equivale a lo dicho hace un post, cuando hablábamos de entornos topológicos y de aplicaciones entre dos espacios generales con dos topologías diferentes.
Digo que es casi prescindible porque como se verá, se trata simplemente de traducir un lenguaje a otro. Una función real de variable real es una aplicación entre dos espacios topológicos muy especiales: uno es el conjunto R con la topología usual... y el otro también.
Dado que ambos son unidimensionales, podemos (nosotros, pobres seres tridimensionales) enfrentarlos ortogonalmente y dibujar dos rectas que se cortan con 90 º, que definen los ejes coordenados. Incluso podemos hacer más cosas: podemos dibujar una curvita e imaginar que eso es la función.
En realidad, eso no es la función. Es el grafo de la aplicación nada más. (Para todos los efectos, empleo las palabras función y aplicación como sinónimos). Dicho grafo es el conjunto de los puntos (x, f(x)) en el espacio producto R x R . Lo que ocurre es que nos ofrece una visualización muy buena e intuitiva de cómo es la aplicación en cuestión. Desgraciadamente, no nos vale para nada si la suma de dimensiones de los espacios de salida y de llegada es de más de tres, como sucede con la maravillosa y nunca suficientemente bien ponderada variable compleja .
No viene a cuento, pero en realidad, la belleza del asunto de las funciones no está sólo en la gráfica, que es lo que entra por los ojos, con la variable compleja no hay gráfica posible de funciones, porque necesitaríamos cuatro dimensiones para dibujarla... y la belleza de su estudio proporciona momentos de éxtasis estético que quien no los ha disfrutado no entenderá en absoluto lo que estoy diciendo.
Vamos a lo nuestro: nuestro espacio topológico (R, T u ) se basa en entornos de un punto que son intervalos abiertos centrados en dicho punto. Así, un entorno básico del punto x0 será éste: (x0-d, x0+d). Decir que un x concreto pertenece al mismo es decir que:
Esto es así porque en el fondo de nuestro espacio (R,Tu) subyace un espacio métrico en el cual la distancia entre dos puntos está definida como el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas de ambas puntos.
Del mismo modo, decir que la imagen de un punto x, f(x) pertenece a un entorno de radio épsilon del punto f(x0) es lo mismo que decir que:
La ilustración siguiente explica el asunto referido a la función real de variable real:
Cuando decimos que para todo épsilon existe algún delta todo el mundo se fija en la épsilon y en la delta , y suele pasar desapercibida la potencia de fuego cruzado de las locuciones para todo y existe algún .
En efecto, la definición de continuidad en un punto nos exige que dado un entorno cualquiera V de la imagen, existe un entorno U del conjunto de partida cuya imagen f(U) está comprendida dentro del entorno original V. Ahora bien, podemos repetir este argumento para el nuevo entorno f(U), en virtud de la potencia del para todo empleado en la definición, y encontraremos un nuevo entorno en el origen, cuya base estará a su vez dentro del entorno f(U), y así ad infinitum. Se ve ahora porqué esta definición captura exactamente la continuidad en el punto considerado.
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HACE UN AÑO hablábamos del poliedro de Szilassi, a lo largo de tres posts presentamos las pruebas de que tal objeto debía existir, dedujimos sus propiedades más importantes y sólo después lo presentamos en sociedad.
Por supuesto el mérito fué de Szilassi, que lo encontró, pero eso no quita para que me quedara muy contento con la serie. Me apetecía mucho hablar de esa maravillosa propiedad de la matemática: poder encontrar propiedades de objetos antes de encontrar los objetos mismos. Un poco como hicieron los químicos posteriores a Mendeleiev cuando postulaban acertadamente las propiedades de los elementos que se debieran encontrar en los huecos vacíos de la tabla periódica. Cuando se descubrían se corroboraba la precisión de lo postulado para los mismos. Predicciones de las buenas, nada que ver con las artes adivinatorias para-anormales tan al uso hoy en día...
equivale a lo dicho hace un post, cuando hablábamos de entornos topológicos y de aplicaciones entre dos espacios generales con dos topologías diferentes.
Digo que es casi prescindible porque como se verá, se trata simplemente de traducir un lenguaje a otro. Una función real de variable real es una aplicación entre dos espacios topológicos muy especiales: uno es el conjunto R con la topología usual... y el otro también.
Dado que ambos son unidimensionales, podemos (nosotros, pobres seres tridimensionales) enfrentarlos ortogonalmente y dibujar dos rectas que se cortan con 90 º, que definen los ejes coordenados. Incluso podemos hacer más cosas: podemos dibujar una curvita e imaginar que eso es la función.
En realidad, eso no es la función. Es el grafo de la aplicación nada más. (Para todos los efectos, empleo las palabras función y aplicación como sinónimos). Dicho grafo es el conjunto de los puntos (x, f(x)) en el espacio producto R x R . Lo que ocurre es que nos ofrece una visualización muy buena e intuitiva de cómo es la aplicación en cuestión. Desgraciadamente, no nos vale para nada si la suma de dimensiones de los espacios de salida y de llegada es de más de tres, como sucede con la maravillosa y nunca suficientemente bien ponderada variable compleja .
No viene a cuento, pero en realidad, la belleza del asunto de las funciones no está sólo en la gráfica, que es lo que entra por los ojos, con la variable compleja no hay gráfica posible de funciones, porque necesitaríamos cuatro dimensiones para dibujarla... y la belleza de su estudio proporciona momentos de éxtasis estético que quien no los ha disfrutado no entenderá en absoluto lo que estoy diciendo.
Vamos a lo nuestro: nuestro espacio topológico (R, T u ) se basa en entornos de un punto que son intervalos abiertos centrados en dicho punto. Así, un entorno básico del punto x0 será éste: (x0-d, x0+d). Decir que un x concreto pertenece al mismo es decir que:
Esto es así porque en el fondo de nuestro espacio (R,Tu) subyace un espacio métrico en el cual la distancia entre dos puntos está definida como el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas de ambas puntos.
Del mismo modo, decir que la imagen de un punto x, f(x) pertenece a un entorno de radio épsilon del punto f(x0) es lo mismo que decir que:
La ilustración siguiente explica el asunto referido a la función real de variable real:
Cuando decimos que para todo épsilon existe algún delta todo el mundo se fija en la épsilon y en la delta , y suele pasar desapercibida la potencia de fuego cruzado de las locuciones para todo y existe algún .
En efecto, la definición de continuidad en un punto nos exige que dado un entorno cualquiera V de la imagen, existe un entorno U del conjunto de partida cuya imagen f(U) está comprendida dentro del entorno original V. Ahora bien, podemos repetir este argumento para el nuevo entorno f(U), en virtud de la potencia del para todo empleado en la definición, y encontraremos un nuevo entorno en el origen, cuya base estará a su vez dentro del entorno f(U), y así ad infinitum. Se ve ahora porqué esta definición captura exactamente la continuidad en el punto considerado.
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HACE UN AÑO hablábamos del poliedro de Szilassi, a lo largo de tres posts presentamos las pruebas de que tal objeto debía existir, dedujimos sus propiedades más importantes y sólo después lo presentamos en sociedad.
Por supuesto el mérito fué de Szilassi, que lo encontró, pero eso no quita para que me quedara muy contento con la serie. Me apetecía mucho hablar de esa maravillosa propiedad de la matemática: poder encontrar propiedades de objetos antes de encontrar los objetos mismos. Un poco como hicieron los químicos posteriores a Mendeleiev cuando postulaban acertadamente las propiedades de los elementos que se debieran encontrar en los huecos vacíos de la tabla periódica. Cuando se descubrían se corroboraba la precisión de lo postulado para los mismos. Predicciones de las buenas, nada que ver con las artes adivinatorias para-anormales tan al uso hoy en día...
2 comentarios
Cluje -
Palimp -
Así da gusto aprender matemáticas.