El teorema de Poincaré-Perelman (antes Conjetura de Poincaré)
Reproduzco un artículo que escribí en este blog hace algún tiempo, dado el renovado interés por la Conjetura de Poincaré y la demostración de Grigory Perelman del mismo. Tras Andrew Willes, el mundo matemático nos vuelve a mostrar la imagen de un matemático que se encierra durante años para conseguir lo que las mejores mentes del planeta no han logrado: dar cumplida respuesta a una pregunta que lanzó al mundo un matemático de otra generación.
Como ya dijimos en alguna ocasión una conjetura es un teorema al que le falta la parte más interesante: la demostración. Dicho de otro modo: una conjetura nada tiene que ver con un teorema; es una simple afirmación. Aunque a veces se pervierta la nomenclatura, como en el caso del “Ultimo teorema de Fermat”, que no tuvo tal rango hasta que Wiles lo demostró hace pocos años.
Visto así, parece que una conjetura tiene poco valor, y es poco más que una opinión. Así es en parte, de hecho muchas conjeturas resultaron falsas a la postre. Sin embargo normalmente tienen el valor de ser agudas observaciones realizadas por especialistas, retos lanzados al mundo para que las mejores mentes del planeta se esfuercen en desentrañar sus misterios. Así ocurre con una de las más famosas: la Conjetura de Poincaré
Pasamos a explicar en qué consiste la conjetura, tan de moda últimamente a raíz de la demostración (pendiente de refrendar por lo que yo sé, pero probablemente correcta) del matemático ruso Grigory Perelman
La Conjetura de Poincaré es una afirmación topológica. Una vez explicamos aquí que la topología tiene un estatus muy especial dentro de la matemática. Supondremos que el lector sabe qué estudia la topología por tanto.
A veces, los matemáticos tienen algo de naturalistas; taxónomos más concretamente. Les gusta clasificar cosas y ponerles etiquetas. Este gusto es totalmente lógico; para clasificar atendemos a las propiedades más esenciales de las cosas e investigamos la diversidad de las mismas. El procedimiento básico suele ser el siguiente: se establecen relaciones de equivalencia entre los objetos; no relaciones cualesquiera, sino relaciones que se consideran relaciones importantes precisamente porque atienden a propiedades que consideramos esenciales de las mismas. Dichas relaciones inducen clases de equivalencia dentro de las cuales todos los objetos están “emparentados”, y estudiamos el conjunto cociente de clases obtenido. Ese es el esquema esencial de clasificación en matemáticas, si bien su aplicación práctica puede variar, y así se han establecido clasificaciones para los grupos simples finitos, para las superficies en R n , las formas cuadráticas, los grupos de Lie, etc, etc.
La relación más habitual que se emplea en topología es la relación “ser homeomorfo” . Pocas veces se ha escondido detrás de una palabra tan fea un concepto tan bello. Dado un espacio de trabajo X, dos objetos A y B de dicho espacio (dos subconjuntos de “puntos” de X) son homeomorfos si pueden transformarse el uno en el otro mediante una transformación continua especial llamada homeomorfismo. Diremos que una aplicación de A a B es un homeomorfismo si es biyectiva, continua e inversible, siendo su inversa igualmente continua. Dado que si A y B son homeomorfos, entonces para un topólogo “son” esencialmente el mismo objeto, se comprende la importancia de la clasificación atendiendo a tal concepto.
Pues bien; la capacidad simplificatoria de este procedimiento es impresionante: al tratar a todos los objetos de cada clase como uno sólo (su representante canónico), obtenemos un panorama mucho más racional del universo que estamos estudiando. Es de esperar (de hecho, está asegurado) que todos los objetos de una misma clase de homeomorfia exhiban las mismas propiedades topológicas.
El problema es que lo que vale para un espacio topológico no tiene porqué valer para otro. Dado que un espacio de tres dimensiones no es homeomorfo a uno de siete, cabe esperar que ciertas cosas (cosas topológicas, entiéndanme) que ocurran en un universo de tres dimensiones no ocurrirán o al menos no tienen porqué ocurrir en otro de siete, y viceversa. Y aquí está el quid de la cuestión en lo que a la Conjetura de Poincaré se refiere.
Pero vayamos con calma.
Consideremos una esfera. Es muy importante explicar que entendemos que una esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de otro, llamado centro. Esto viene a cuento porque con esta definición una esfera es una superficie. No una bola maciza sino la superficie que la delimita. Esto es básico para entender lo que sigue. Para dejar más claro el asunto, la llamaremos 2-esfera por ser un objeto bidimensional, aunque esté inmerso en un espacio de tres dimensiones.
Todo objeto homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera tendrá las mismas propiedades topológicas que una esfera; esto es una perogrullada. Lo que no lo es es preguntarse si una determinada colección de propiedades de la esfera es una caracterización topológica de la misma. Esto no es nada trivial. Y de eso va la conjetura.
Una caracterización es un conjunto de propiedades que definen sin ambigüedad un objeto. Tres propiedades topológicas son importantes en una esfera:
1.- Es compacta
2.- Es orientable
3.- Es simplemente conexa
Hace mucho tiempo que quedó claro que este conjunto de tres propiedades es una caracterización de una 2-esfera, pero ¿qué ocurre en dimensiones superiores?
Una 3-esfera NO ES una esfera maciza, como alguno podría pensar. Una 3-esfera es una variedad diferenciable de tres dimensiones, que podemos definir como el conjunto de los 4-puntos de R4 que equidistan de uno dado (centro). Es una 3-variedad inmersa en un espacio de 4 dimensiones, por tanto.
Pues bien; ¿sigue siendo el conjunto de las tres propiedades una caracterización de las 3-esferas?
La Conjetura de Poincaré afirma que para cualquier número de dimensiones el conjunto de las tres propiedades es en efecto una caracterización de las n-esferas.
Y eso es lo que ha debido conseguir el bueno de Grigory Perelman.
Por cierto, el lector atento, aunque sin conocimientos matemáticos previos podrá seguramente responder la siguiente pregunta: si una 2-esfera es o que todos conocemos como una esfera (tan sólo la superficie esférica), ¿qué cosa es una 1-esfera? ¿y una 0-esfera?
37 comentarios
José Antonio Izquierdo Primo -
Si el volumen máximo es el del espacio y éste sólo tiene tres dimensiones ¿Cómo puede hablarse de más de tres dimensiones?
Rusky -
Air Force Ones -
jordan 12 -
Sildenafil -
AJF 12 -
dandan -
Braulio -
Braulio -
Pd. Si una 0-esfera son dos puntos, una -1-esfera es un solo punto, entonces una -2-esfera pertenece al vacío???
pablo diaz -
Guillermo X -
Tengo un comentario sobre las proyecciones de las n-esferas, corríjanme si me equivoco:
una 0-esfera son dos puntos en una recta (espacio 1D).
una 1-esfera es una circunferencia en un plano (espacio 2D).
La proyección de la 1-esfera en el espacio 1D sería una recta.
una 2-esfera es la superficie de una esfera (espacio 3D).
La proyección de la 2-esfera en el espacio 2D sería un círculo (circunsferencia + superficie).
una 3-esfera es un espacio que equidista la misma distancia desde un punto(espacio 4D).
La proyección de la 3-esfera en el espacio 3D sería una esfera sólida.
Ulises -
...una (-2)-esfera?
...una (-3)-esfera?
...una (unidad imaginaria)-esfera?
...una (1-i)-esfera?
...una (1+i)-esfera?
...una (i-1)-esfera?
Gabriel -
Jordiel -
No sé más que añadir...
Jordiel -
Tengo una pregunta relacionada con el tema:¿Qué es una 3-esfera?
marco andres torres rojas -
McLeod -
Byes
G.Luna -
M. P. -
Ñbrevu -
Joder, qué tocho me ha quedado, lo siento...
mantener refrigerado -
El asunto es definir qué significa "estar cerca". Pero eso está ya más que estudiado (éso es dotar de topología al conjunto), y en un universo discreto se pueden aplicar las mismas ideas que en los continuos. Es decir, que en los espacios discretos hay una idea de "estar cerca".
Lobo Muerto -
Es mucha la nostalgia, más hora que sufro construyendo edificios...
"ser homeomorfo" sería una función biyectiva??? corrijanme si no... (mis neuronas matemáticas están un poco dormidas)
Por otro lado... esto de la topología que asidero tendría en un universo discreto??
Buena Caza
PD: y cual sería la demostración...
canopus -
Se le echa de menos, señor Petros :)
Maricela -
Lola -
Tio Petros -
A lo mejor hay otro Yakov entre ambas generaciones, y Grigory es el nieto del divulgador excepcional. La verdad es que no lo sé.
merfat -
Saludos.
---------------------
((Yakov Perelman murió en 1942))
TioPetros -
La caracterización funciona para n-esferas, con n mayor o igual que la unidad.
di Lampedusa -
Fernando* -
una 1-esfera sería una circunferencia en un plano (espacio 2-D).
una 0-esfera son dos puntos en una recta (espacio 1D).
TioPetros -
jose -
1-esfera: la circunferencia de lo que conocemos como círculo.
0-esfera: los dos puntos extremos de lo que conocemos como segmento.
Me parece correcto porque en todos es el conjunto de puntos para ese espacio de n dimensiones que están a la misma distancia (radio) de un punto. No sé si me explico...
¿es así?
Tio Petros -
Bueno, no del todo...pero casi.
Salamandra -
Debe ser que tenemos razón...
Salamandra -
1-esfera: circunferencia
0-esfera: ¿un punto?
Ahora, los matemáticos pueden reirse un rato.
LuTHieR -
Pero no me fío mucho, jeje.
Saludos,
LuTHieR
Gorpik -
Leyendo tu explicación, no lo parece tanto.