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Tio Petros

¿Quién puede nombrar el mayor número? (3/8)

Viene de aquí 

 

Los exponenciales son familiares, relevantes, íntimamente conectados con el mundo físico y los miedos y esperanzas humanos. Usando el sistema notacional que discutiré a continuación, podremos nombrar concisamente números que hacen insignificantes por comparación a los exponenciales, que subjetivamente hablando exceden 99^9^9 tanto como éste excede al 9. Pero estos nuevos sistemas podrían pareces más abstrusos que los exponenciales. En su ensayo Sobre el entumecimiento numérico, Douglas Hofstadter lleva a sus lectores al precipicio de esos sistemas, pero entonces asegura que:

Si continuásemos nuestra discusión sólo un milisegundo más, nos encontraríamos justo en medio de la teoría de funciones recursivas y complejidad algorítmica, y eso sería demasiado abstracto. Así que dejemos el tema aquí mismo.

Pero dejar el tema es abandonar, no sólo el desafío del mayor número, sino cualquier esperanza de entender cómo los más fuertes paradigmas llevan a los más vastos números. Y así llegamos al temprano siglo veinte, cuando una escuela de matemáticos llamados formalistas buscan colocar toda la matemática sobre rigurosas bases axiomáticas. La pregunta clave para los formalistas fue qué significa la palabra `computable’. Es decir, ¿cómo podemos decir si una secuencia de números puede ser listada por un procedimiento mecánico definido? Algunos matemáticos pensaban que `computable’ coincidía con una noción técnica llamada `recursiva primitiva’. Pero en 1928 Wilhelm Ackermann los refutó construyendo una sucesión de números que es claramente computable, aunque crece demasiado rápidamente para ser una recursiva primitiva.

La idea de Ackermann fue crear una procesión sin fin de operaciones aritméticas, cada una más potente que la anterior. Primero viene la suma. Segundo viene la multiplicación, que podemos pensarla como una suma repetida: por ejemplo, 5×3 significa 5 sumado a sí mismo 3 veces, o 5+5+5=15. Tercero viene la potenciación, que podemos pensarla como una multiplicación repetida. Cuarto viene... ¿qué? Bueno, tenemos que inventar una rara operación nueva, para la potenciación repetida. El matemático Rudy Rucker la llama `tetración’. Por ejemplo, `5 tetrado a 3’ significa 5 elevado a su propia potencia 3 veces, o 55^5, un número con 2185 dígitos. Podemos continuar. Quinto llega la tetración repetida: ¿podemos llamarla `pentación’? Sexto llega la pentación repetida: ¿`hexación’? Las operaciones continúan infinitamente, con cada una soportada por su predecesora para asomarse incluso más alta hacia el firmamento de los grandes números.

Si cada operación fuese un sabor dulce, entonces la sucesión de Ackermann sería el catálogo de muestras, mezclando un número de cada sabor. Primero en la secuencia está 1+1, o (no contengas la respiración) 2. Segundo está 2×2, o 4. Tercero es 3 elevado a la tercera potencia, o 27. ¡Eh, estos números no son tan grandes!

Cuarto es 4 tetrado a 4, o 44^4^4, que tiene 10154 dígitos. Si estás planeando escribir este número, mejor que empieces ahora. Quinto es 5 pentado a 5, o 55^...^5 con `5 tetrado a 4’ numerales en la pila. Este número es demasiado colosal para describirlo en cualquier término ordinario. Y los números se vuelven mucho mayores a partir de aquí.

Esgrimiendo la sucesión de Ackermann, podemos dar palizas a oponentes sin estudios en el desafío de los mayores números. Pero necesitamos ser cuidadosos, dado que hay varias definiciones de la sucesión de Ackermann, no todas idénticas. Bajo el límite de tiempo de quince segundos, aquí está lo que yo podría escribir para evitar la ambigüedad:

A(111), suc. Ackermann, A(1)=1+1, A(2)=2x2, A(3)=3^3, etc.

Profunda como parece, la sucesión de Ackermann tiene algunas aplicaciones. Un problema en un área llamada la teoría de Ramsey pregunta por la mínima dimensión de un hipercubo que satisface una cierta propiedad. La dimensión correcta se piensa que es 6, pero la más baja dimensión que nadie ha sido capaz de probar es tan enorme que sólo puede ser expresada utilizando la misma `aritmética rara’ que fundamenta la sucesión de Ackermann. En verdad, el Libro Guinness de los récords una vez listó esta dimensión como el mayor número jamás usado en una demostración matemática. (Otro contendiente para el título fue una vez el número de Skewes, sobre 1010^10^10^3, que surge en el estudio de cómo los números primos están distribuidos. El famoso matemático G. H. Hardy dijo sarcásticamente que el número de Skewes era "el mayor número que jamás ha servido para algún propósito definido en matemáticas".) Lo que es más, la cabalgata vivamente ascendente de Ackermann hace un cameo ocasional en la ciencia computacional. Por ejemplo, en el análisis de una estructura de datos llamada `Union-Find’, un término se multiplica por la inversa de la sucesión de Ackermann, significando, para cada número entero x, el primer número n tal que el n-ésimo número de Ackermann es mayor que x. La inversa crece tan lentamente como la sucesión de Ackermann original crece rápidamente; para todos los propósitos prácticos, la inversa es como máximo 4.

Continua aquí

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2 comentarios

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El sistema notacional nos permite identificar el numero mayor, o elevar un numero a su potencia mas cercana.
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discipulodegauss -

que tal esta sucesion:h(1)=A(1)+A(1),h(2)=A(2)*A(2),h(3)=A(3)^A(3),...solo se que no hay quien pueda nombrar el mumero mas grande y no lo habra nunca.
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