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Tio Petros

Segunda demostración de la infinitud de primos

Viene de aquí

Con el bagage que hemos conseguido en el post anterior, atacamos una segunda demostración de la infinitud de los números primos.

Supongamos lo contrario de lo que deseamos demostrar: Supongamos que el conjunto de primos es finito, siendo p el mayor de todos ellos.

Consideremos el número x = 2p -1.

Está claro que x es mayor que p, por lo que no podrá ser primo. Si lo fuera ya estaría demostrada la falsedad de nuestra suposición.

Así pues, x debe ser un número compuesto (esto es: tiene divisores distintos de sí mismo y de la unidad). Llamemos q a uno de sus divisores primos. Si q divide a 2p -1, (esto es: dividiendo 2p -1 entre q obtenemos resto nulo) entonces al dividir 2p ( que es una unidad más grande que 2p -1) entre q nos dará 1 de resto. Diremos que 2p en congruente con 1, módulo q, y lo expresaremos así:

2p ≡1 (mod q)

Las congruencias fueron introducidas en este blog cuando hablábamos del calendario. El lector interesado puede echar una ojeada a aquel post.

Centrémonos en el conjunto Zq de restos módulo q. Este conjunto está formado por q elementos, cada uno de los cuales es una clase de equivalencia. El [0] es el elemento nuetro de la suma definida en Zq, y el [1] lo es en el producto.

El conjunto de las clases Zq de restos módulo q con las operaciones suma y producto es un cuerpo, y por lo tanto el conjunto Zq -{0} con la operación producto es un grupo. Este grupo tiene (q-1) elementos.

Volvamos a la congruencia arriba indicada, cuya trascendentalidad en la demostración está indicada por el color rojo sangre con el que ha sido escrita:

2p ≡1 (mod q)

¿Qué quiere esto decir?

Pues traducido al lenguaje de las clases de restos módulo q quiere decir ni más ni menos que dentro de Zq el elemento [2] operado (multiplicado) consigo mismo p veces nos da como resultado el neutro del grupo (el [1]). Además, podemos asegurar (y esto es crucial), que no existe ningún valor menor que p para el cual ocurre lo mismo.

¿Porqué?

Pues porque p es primo! Piénsenlo un poco y lo verán claro:

Si hubiera un número menor, r para el cual ocurre que 2r ≡1 (mod q), si siguiéramos operando el 2 consigo mismo a la de 2r, 3r,...,kr veces volveríamos a la unidad, tras repetir órbitas de r pasos. Así pues, serían los múltiplos de r los que consiguen la unidad. Dada la vuelta al razonamiento, si 2p ≡1 (mod q); entonces sólo caben dos posibilidades:

1.- El orden (número mínimo de veces necesarias para obtener la unidad) del [2] es p

2.- El orden del [2] es un divisor de p

Al ser p primo, no tiene divisores, y por tanto operando sucesivamente el 2 consigo mismo no conseguimos el 1 hasta haber repetido p veces.

Por el Teorema de Lagrange, el orden (que, recordemos, es el número mínimo de veces que debemos operar dicho elemento consigo mismo para obtener el elemento neutro) de cualquier elemento (p en este caso) es divisor del orden del grupo entero (q-1).

Así pues, p debe dividir a (q-1)

Pero para que eso ocurra, p debe ser menor que q.

Pero p era, por suposición inicial el primo más grande.

Y q es un primo divisor de 2p -1.

Luego hemos encontrado un primo más grande que el primo más grande.

Luego p no puede ser el primo más grande.

Luego la hipótesis de partida era falsa necesariamente.

Luego el número de primos es infinito.

Espero que les haya gustado la demostración. En cierta medida es una demostración no elemental, pues necesita del auxilio de una parte de la matemática aparentemente alejada del tema central que se está tratando. Las demostraciones no elementales suelen ser más sencillas, pero requieren un precio: hay que utilizar herramientas más sofisticadas, y lo que uno se ahorra en el cálculo lo tiene que invertir en conocerlas. La matemática es una cruel amante, y exige sangre, sudor y lágrimas por un camino o por el otro...

En el próximo post veremos una demostración más elemental, pero también sorprendente de la infinitud de los números primos. Espero que me esperen...

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11 comentarios

Encantada -

Por casualidad entré a este interesante sitio, buscando acerca de las recurrencias y me ha encantado. Solía entretenerme con demostraciones, pero ahora estoy muy alejada de ello. Y una vez más compruebo que la práctica hace al maestro. Los felicito, seguiré visitando, para nutrirme de tanta calidad e ingenio.

daed_flores@hotmail.com -

como saber de un numero dado si es primo o no; con una formula ooperaciones

Romeo -

para demostrar que el cero es par, basta suponer que es un número impar y llegar así a una contradicción: veamos.
sea 0=2n+1, entonces 2n=-1, esto implicaría que n=-1/2, lo cual es una contradicción puesto que el número n se encuentra dentro de los naturales;Por tanto, cero es un número par.
luego haré mi comentario sobre la demostración realizada más arriba.

Leo -

quiero saber como comienza la supuesta demostracion del Teorema de que todo numero par es construible por dos primos

Kyo -

Hay discrepancias entre si el sero es par o no...pues algunos lo toman como si fuera par devido a el es divisible con 2, y todo numero divisible con 2 es par...Verè como desmostrarlo
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aficionado -

No se si corresponde para este tema, pero una duda que tengo es que si 0 es un número par o no. Como puedo demostrarlo. Gracias.

faraox -

El enlace al post de congruencia está mal :-(

Samuel -

El cuadrado de n es igual a la suma de los primeros n impares.

4*4=16=1+3+5+7

Una \"demostracion\":
por ejemplo para n=4:

4*4=16
....
....
....
....

pero tambien es
1=
X...
....
....
....

3=
.X..
XX..
....
....

5=
..X.
..X.
XXX.
....

7=
...X
...X
...X
XXXX

1+3+5+7 = 16

y pensando asi parece razonable ...

aficionado -

Tienes razón Dani. En vez de números primos debería haber dicho números impares.
Siento esta equivocación y mantengo mi consulta y mis preguntas.

Dani -

La conjetura de Goldbach (fuerte) dice que todo numero par mayor que 3 se puede expresar como suma de dos primos.Ejemplos: 14=11+3, 42=37+5.
Y la conjetura debil de Goldbach dice algo asi como que todo numero impar se puede mayor que 6 (creo) se puede expresar como suma de tres primos: 7=3+2+2, 17=11+3+3, 25=17+5+3.
Lo que tu dices en tu ejemplo del 5 no es cierto pues el 9 no es un numeor primo y,aun asumiendo el 1 como primo (las unidades en un anillo no se suelen considerar elementos primos), te comiste el unico primo par, el 2. Es decir, 25 no es igual a 1+2+3+5+7, ni tampoco (eliminando el 1) igual a 2+3+5+7+11.

aficionado -

No entiendo mucho de matemáticas, pero soy curioso. La famosa conjetura de Goldbach desd hace siglos no se ha demostrado. Yo tengo anotaciones de \"cositas\" que yo hacía hace tiempo y he encontrado una que dice: El cuadrado de cualquier número es igual a la suma de los números primos que el mismo número indica, empezando por el 1. Es decir, el cuadrado de 5 es 25. Es también la suma de los cinco primeros números primos, o sea 1+3+5+7+9
¿Qué es esto? ¿Es conocido? ¿Me puede alguien decir si tiene algo que ver con la conjetura de Goldbach?
Gracias y felicitaciones por este blog.
Un saludo
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